Стереометрия

3. Векторный метод решения стереометрических задач

При решении геометрических задач, кроме традиционных методов с использованием алгебры и тригонометрии, могут применяться и другие методы, в частности, векторный. Умение пользоваться векторами требует определённых навыков. Надо научиться переводить геометрические утверждения на векторный язык, а также, наоборот, векторные соотношения истолковать геометрически. Векторный метод, как и любой другой, применим не всегда. Умение заранее предвидеть, годится ли он для решения конкретной задачи или нет, вырабатывается опытом.
Естественно вначале научиться применять векторы к решению планиметрических задач. Такие задачи можно найти в книге автора «Задачи по планиметрии и методы их решения» и других учебных пособиях.
В настоящей главе помещены планиметрические задачи, в § 3.1 — задачи на параллельность, принадлежность трёх точек одной прямой и четырёх точек одной плоскости, на отношение отрезков параллельных прямых. Такие задачи называют аффинными. Для их решения используются операции сложения и вычитания векторов, умножения вектора на число и их свойства. Задачи на вычисление расстояний, углов и некоторые другие, помещённые в § 3.2не могут быть решены только с помощью указанных операций и требуют применения скалярного произведения векторов. Такие задачи называются метрическими.

3.1 Аффинные задачи в стереометрии

Свойства аффинных преобразований:
1) По свойствам координат аффинное преобразование является взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость:
- каждая точка имеет образ и притом только один;
- разные точки имеют разные образы;
- каждая точка области значений имеет прообраз.
2) Так как аффинное отображение сохраняет координаты точек, то оно сохраняет уравнения фигур. Отсюда следует, что прямая переходит в прямую.
3) Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.
4) Точки, не лежащие на одной прямой, переходят в точки, не лежащие на одной прямой, а, значит, пересекающиеся прямые - в пересекающиеся прямые, а параллельные – в параллельные.
5) При аффинных преобразованиях сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной или параллельных прямых.
6) Отношения площадей многоугольников также сохраняются.
7) Не обязательно сохраняются отношения длин отрезков непараллельных прямых, углы.
Часто бывает удобно при решении задач на аффинные свойства перейти с помощью аффинных преобразований к более простым фигурам, например, к правильному треугольнику. А затем с помощью обратного аффинного преобразования перенести полученный результат на искомую фигуру.





Задача 5 (олимпиада 11 класс). Треугольная пирамида рассечена плоскостью так, что медианы боковых граней разбиты точками пересечения в отношении 2:1,3:1 и 4:1, считая от вершины пирамиды. В каком отношении, считая от вершины пирамиды, разбиты боковые рёбра? (Из материалов МГТУ им. Баумана). Ответ: 12:7 , 12:5, 12:1
1) В задаче фигурирует произвольная пирамида, в которой проведены медианы (а быть медианой - это аффинное свойство), на медианах взяты пропорциональные отрезки ( при аффинном преобразовании сохраняются отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой). Значит, эту задачу можно решить для “удобной” пирамиды, а затем с помощью аффинного преобразования перенести результат на произвольную.
2) Решим задачу для пирамиды, у которой три плоских угла при вершине прямые. Поместим новую пирамиду в прямоугольную систему координат OXYZ (рис. 6).
3) Проведем медиану OO1 на одной из граней. O1A1и O1B1 - средние линии треугольника АОВ. Точка , такая что . Тогда координаты точки К( ), или, учитывая, что A1 и B1 середины соответственно ОА и ОВ, К( ). На другой грани проведем медиану OO2. На ней отметим точку М, такую чтоOM:MO2=3:1.Аналогично находим координаты М( или М . Наконец, точка N лежит на медианеOO3иON:NO3=2:1, тогда N или N(0 .
Анализируя, выберем сами удобные числовые координаты для точек А(40;0;0), В(0;15;0), С(0;0;24).
Плоскость (MNK) пересекает ребра пирамиды в неких точкахX`, Y`, Z` . Найдем сначала координаты точки X` (х; 0; 0). ТочкаX` (KMN), если существуют такие, что, допустим (это векторы). Запишем координаты векторов (15; -5; 1), (16; 1; -8), (х; -5; -8). Тогда имеет место следующая система уравнений . Решаем ее: умножим второе уравнение на 8, получим .Далее, сложив второе и третье, имеем . Откуда найдем и х .
Нам надо найти отношение .Значит, точка X` делит ребро ОА в отношении 12:1. Вычисления тоже приличные, но понятные. Аналогично можно найти отношения и для двух других сторон.
Решив задачу на “удобной” пирамиде, учитывая, что существует аффинное преобразование, переводящее эту пирамиду в произвольную, переносим результат на произвольную пирамиду.
Если бы в условии данной задачи была предложена “удобная” пирамида, наверное, кто-то из учеников сделал хотя бы попытки решить задачу.Метод аффинных преобразований позволяет трудные факты свести к легкому доказательству.