Стереометрия

Vektorlar:

• 
  Vektor - bu segment bo'lib, uning qaysi uchi boshlanishi va qaysi biri oxiri ekanligi ko'rsatilgan. Rasmdagi vektorning yo'nalishi (boshidan oxirigacha) o'q bilan belgilangan.
  

V AB – vektor A

• 
  Kosmosdagi har qanday nuqta ham vektor deb hisoblanishi mumkin. Bunday holda vektor nol deb ataladi. Ushbu vektorning boshi va oxiri bir xil.
  
• 
  Nolga teng bo'lmagan vektorning uzunligi segmentning o'zi uzunligidir.
  
• 
  Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlar, agar ular bir to'g'ri chiziqda yoki parallel to'g'ri chiziqda yotsa, ular kollinear deyiladi.
  
• 
  Vektorlar kollinear bo'lsa va bu vektorlarni o'z ichiga olgan nurlar ko'p yo'nalishli bo'lsa, ular ko'p yo'nalishli deyiladi.
  
• 
  Vektorlarning uzunligi teng bo'lsa va ular bir yo'nalishda bo'lsa, ular teng deyiladi.
  
• 
  Vektorlar koplanar deyiladi, agar bir nuqtadan chizilganda ular bir tekislikda yotsa.
  
• 
  Har qanday berilgan vektor ikkita berilgan kollinear bo'lmagan vektorga ajralishi mumkin va kengayish koeffitsientlari yagona aniqlanadi.
  
• 
  Har qanday berilgan vektor uchta berilgan koplanar bo'lmagan vektorga ajralishi mumkin va kengayish koeffitsientlari yagona aniqlanadi.
  
• 
  Uchburchak qoidasiga ko'ra ikkita vektorni qo'shish:
  

• 
  Ikki vektorni parallelogramm qoidasiga ko'ra qo'shish:
  

• 
  Ko'pburchak qoidasiga ko'ra bir nechta vektorlarni qo'shish:
  

• 
  Parallelepiped qoidasiga ko'ra uchta tekis bo'lmagan vektorni qo'shish:
  

→ → → →
OD=a + b + c

• 
  Ikki vektorni uchburchak qoidasiga ko'ra ayirish:
  

→ → →

• 
  Agar a va b vektorlar kollinear bo'lsa va a nolga teng bo'lmasa, u holda mavjud
  

→ →
a=k*b shunday son, bu yerda k qandaydir koeffitsient.
→→→

• 
  Uch vektor berilgan bo'lsin: a, b va c. Agar ulardan kamida bittasi boshqa ikkita vektorning ko'paytmalari yig'indisi sifatida ba'zi raqamlar bilan ifodalanishi mumkinligi aniqlansa, bu holda vektorlarning bu uchligi chiziqli bog'liq deb ataladi (ya'ni, bu vektorlar koplanar).
  

→ → →
Agar a, b va c vektorlardan hech biri boshqa ikkitasining chiziqli birikmasi bo'lmasa, a, b va c vektorlari chiziqli mustaqil deyiladi.

• 
  O'lchov aksiomasi: uchta chiziqli mustaqil vektor mavjud, ammo har qanday to'rtta vektor chiziqli bog'liqdir.Bu aksiomadan kelib chiqadi. Chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni 3 ga teng. Bu fazoning uch o'lchovli ekanligini anglatadi.
  
• 
  Teorema: Har qanday a vektori har qanday uchta chiziqli mustaqil vektorning chiziqli birikmasi sifatida yagona tarzda ifodalanishi mumkin.
  

Isbot:
→→→ →
i, j, k chiziqli mustaqil vektorlar va a ixtiyoriy vektor bo'lsin. Keling, buni isbotlaylik
→ →→→
a vektori i, j, k vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin, ya'ni.
→ → → →
a= xi+ yj+ zk
→→→→
O'lchov aksiomasiga asoslanib, to'rtta vektor a, i, j, k chiziqli bog'liqdir. Bu shuni anglatadiki, ular orasida boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lgan kamida bitta vektor mavjud. Bunday holda, ikkita holat mumkin:
→
1) Qolgan uchtasining chiziqli birikmasi bo'lgan vektor aynan a.
→
Keyin bu chiziqli birikma a vektorining kerakli ko'rinishi bo'lib, faqat uning o'ziga xosligini isbotlash uchun qoladi.
2) Qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi chiziqli ma'lumotlardan biridir
→→→
i, j, k mustaqil vektorlari:
→ → → →
i=n1a+n2j+n3k
Ushbu kengayishda n1≠0 soni. Agar n1=0 bo'lsa, biz shunday bo'lar edik
→ → → →
i=0*a+n2j+n3k
yoki
→ → →
i= n2j+n3k →→→
Ikkinchisi i, j, k vektorlari chiziqli bog'liqligini bildiradi, bu teorema shartiga ziddir. Demak, n1≠0.
Vektorni songa ko'paytirishni taqsimlashdan foydalanib, biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

yoki oxirgi tenglikning ikkala tomoniga vektorlarga qarama-qarshi vektorlarni qo'shish olamiz:

Raqamlarni belgilash , , mos ravishda x, y va z orqali biz tenglikni olamiz
→ → → →
a= xi+ yj+ zk

→
Endi a vektorni tasvirlashning yagonaligini isbotlaylik. Aytaylik, bu kengayishdan tashqari, quyidagilar ham mavjud:

→ → → →
a=x1i+y1j+z1k
Keyin bizda:
→ → → → → →
xi+ yj+ zk= x1i+y1j+z1k
buni qayerdan olasiz
→ → →
(x – x1)i+(y – y1)j+(z – z1)k=0
Agar farqlarning kamida bittasi nolga teng deb hisoblasak (aytaylik, x - x1), unda biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

→→→
Bu i, j, k vektorlari chiziqli bog'liqligini bildiradi. Bu teorema sharti bilan ziddiyatga olib keladi. Shuning uchun, taxmin noto'g'ri. Demak, x – x1=0; y – y1=0; z – z1=0, yoki x=x1, y=y1, z=z1 va hokazo.