Стереометрия

1.2 Аксиомы стереометрии

Плоскость – основная фигура, рассматриваемая в стереометрии. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру стоит представлять себе простирающейся неограниченной во все стороны. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах. Вся система ряда аксиом стереометрии состоит из ряда аксиом, большая часть знакома нам из курса планиметрии.
Вот несколько аксиом о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:

1. 
   Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. (Рис. 2)
   
2. 
   Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Рис. 3)
   
3. 
   Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которых лежат все общие точки этих плоскостей. (Рис. 4) ВЕКТОР
   

Векторное решение многих стереометрических задач значительно проще их решения средствами элементарной геометрии («чисто геометрически»). Причина этого «упрощения» заключается в том, что при векторном методе решения можно обойтись без тех дополнительных построений, которые следует выполнять (аргументированно!) при «чисто геометрическом» решении даже простых задач.
Вместе с тем, чтобы векторы стали аппаратом решения геометрических задач, необходимо уметь переводить условие геометрической задачи в векторную терминологию и символику (на «векторный язык»), затем выполнять соответствующие алгебраические операции над векторами и, наконец, полученный в векторной форме результат переводить «обратно», на «геометрический язык». Знание условий коллинеарности двух векторов и компланарности трех векторов позволяет в векторной форме решать аффинные задачи стереометрии — задачи, в которых изучаются вопросы взаимного расположения прямых и плоскостей. Свойства скалярного произведения двух векторов, условия перпендикулярности двух векторов позволяют легко перевести в векторную форму отношения перпендикулярности прямых и плоскостей и с помощью векторов решать метрические задачи — задачи, в которых находят расстояния, углы, площади, объемы геометрических фигур.