y(0) = 0, y(π) = 0
Dirixle chegaraviy masalani ko‘rib chiqamiz. ξn(t), n ≥ 1 sonlar bu
chegaraviy masalaning xos qiymatlaridan iborat ekanligi ma’lum,
ularga mos keluvchi normallangan xos funksiyalarni yn = yn(x, t) orqali belgilaymiz. U holda ushbu
L(t)yn = ξn(t)yn , (L(t)yn, yn) = ξn(t),
(L(t)yn, yn)• = ˙ξn(t), ((L(t)yn)
, yn) + (L(t)yn, y˙n(t)) = ˙ξn(t)
tengliklarning bajarilishini tekshirish qiyinchilik tug‘dirmaydi.
˙ξn(t) = (L(t) ˙yn, yn) + (q(x + t)yn, yn) + (L(t)yn, y˙n) (4.2.10)
ayniyat kelib chiqadi. L(t) operatorning simmetrikligini ishlatib
(4.2.10) tenglikni quyidagicha yozamiz:
˙ξn(t) = ( ˙yn, L(t)yn) + (q0(x + t)yn, yn) + (L(t)yn, y˙n) riladi.
Dubrovin-Trubovis differentsial tenglamalar sistemasi uchun
qo‘yilgan Koshi masalasi yechimining mavjudligi va yagonaligi
Dubrovin-Trubovis sistemasini quyidagi boshlang‘ich shartlar
bilan birga ko‘rib
chiqamiz:
ξn(t)|t=0 = ξ0n, σn(t)| t=0 = σ0n , n = 1, 2, ... . (4.3.2)
Bu yerda ξ0 n ∈ [λ2n−1, λ2n] va σ0
n = ±1, n = 1, 2, ... berilgan spektral parametr-lar. Shu bilan birga,
σn(t) = ±1 ishoraning qiymati ξn(t) spektral parametr o‘z
lakunasining chetiga kelganida qarama-qarshisiga o‘zgaradi.
Bu paragrafda Dubrovin-Trubovis sistemasi uchun qo‘yilgan.
Koshi masalasi yechimining mavjudligini va yagonaligini
tekshirish bilan shug‘ullanamiz. Buning uchun avvalo, (4.3.1)
tenglamalardagi σn(t) = ±1 o‘zgaruvchan ishoralardan, shu birga
o‘zgarmas yechimlardan qutilish maqsadida ushbu
ξn(t) = λ2n−1 + (λ2n − λ2n−1) sin2 xn(t), n = 1, 2, ...
Agar biz ξn(t) spektral parametr o‘z lakunasining chetiga
kelganida σn(t) ishora bilan birgalikda sin xn(t) cos xn(t) ifodaning
ishorasi ham qarama-qarshisiga o‘zgarishini e’tiborga olsak,
hamda boshlang‘ich shartlarni quyidagi tarzda tanlanadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
