Strreplcheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar

Teorema 4. Agar cheksiz halqa bo‘lsa, u holda halqaning 2 ta ko‘phadi orqali aniqlangan funksiyalarning tengligi shu ko‘phadlarning tengligi bilan ifodalanadi.

Isboti: , ko‘phadlar bir xil funksiyalarni ifodalasin. Bundan ko‘rinadiki uchun

, ko‘phadlardagi eng yuqori darajasini bilan belgilaymiz. halqa cheksiz bo‘lgani uchun unda ta har xil elementlar mavjud bo‘ladi.

Farazimizga ko‘ra va ko‘phadlar nuqta larning har birida (va umuman nuqtada) bir xil qiymatlar qabul qiladi.

Teorema 3 ning natijasiga ko‘ra xulosa kelib chiqadi.

Agar halqadagi ko‘phad da aniqlangan va dagi qiymatlarni qabul qiluvchi funksiyani aniqlasa, teorema4 ko‘phadlar uchun va fuknsiyalar uchun aniqlangan amallarni mos keltiradi. Agar halqa cheksiz bo‘lsa dagi har bir ko‘phadga u orqali aniqlanuvchi funksiyani mos qo‘yuvchi akslantirish va da aniqlangan holda dagi qiymatlarni qabul qiluvchi qandaydir funksiyalar halqasida izormorfizm bo‘ladi.

Agar halqaning elementi uchun tenglik bajarilsa, u holda element ko‘phadning ildizi deb atalar edi. Berilgan ko‘phadning ildizini topish yoki algebrik tenglamani yechish masalasi matematikaning turli bo‘limlarida asosiy o‘rin tutadi. Ayniqsa, - haqiqiy sonlar yoki kompleks sonlar maydoni bo‘lganda bu masala yana ham chuqurlashadi.

Algebraik tenglamalarni yechish usullarini, jumladan ko‘phadlar algebrasi hamda guruppalar nazariyasi bo‘limlarida ham ko‘rib chiqilgan.

Quyidagi sabablarga ko‘ra maydon ustidagi ko‘phadlarni qaraymiz:

1. 
   Koeffitsiyentlar halqasi maydon bo‘lgan hol yanada muhimroq.
   
2. 
   Maydon ustidagi ko‘phadlar halqasining xossalari birmuncha sodda.
   
3. 
   butunlik sohasi ustidagi ko‘phadlar halqasi nisbatlar maydoni ustidagi ko‘phadlar halqasi uchun qism halqa bo‘ladi. halqaning ko‘pgina xossalari halqaning xossalaridan kelib chiqib isbotlanadi.
   

Quyida maydon ustidagi ko‘phadlarning ildizlari haqidagi umumiy teoremalarni isbotlaymiz.

- koeffitsiyentlari maydondan olingan ko‘phad bo‘lib - uning ildizi bo‘lsin. Bezu teoremasiga ko‘ra ko‘phad ga bo‘linadi. ko‘phad nafaqat ga balki va xatto ning yuqoriroq darajasiga ham bo‘linishi mumkin.