Strreplcheksiz maydon ustidagi ko‘phadlar

1⁰-5⁰ xossalardan ko‘ramizki, koeffitsiyentlari halqadan olingan ko‘phadlar to‘plamining o‘zi ham ko‘phadlar ustida aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi.

Bu halqa halqa ustidagi ( o‘zgaruvchili) ko‘phadlar halqasi deyilib, kabi belgilanadi. Barcha halqalardagi kabi ko‘phadlar halqasida ham qo‘shish amaliga teskari amal ayirish amali aniqlangan. Kelgusida biz amalning halqa aksiomalaridan kelib chiqadigan asosiy sodda xossalarini ko‘rsatamiz. (2) va (3) ko‘rinishda berilgan ko‘phadlarning ayirmasi (5) formula yordamida topiladi. Bu tenglikning o‘rinli ekanligini ayrimani

ko‘rinishda ifodalasa osongina isbotlanadi.

ni o‘z ichiga olmagan ko‘phadlar, ya'ni (1) ifodada bo‘lgan holda halqaning elementlari bo‘ladi. Ulardagi qo‘shish va ko‘paytirish amali, ta'rifdan ko‘rinadiki halqada bajariladi. Boshqacha aytganda, halqa halqaning qism halqasi bo‘ladi.

(1) Ifodadagi qo‘shiluvchilar ko‘phadning hadlari deyiladi. Xususan, ozod had deyiladi. Odatda (yozuvni soda bo‘lishi uchun)ko‘phadning yozuvida koeffitsiyenti nolga teng bo‘lgan hadlar tashlab yuboriladi.

Masalan:

ko‘phad kabi yoziladi.

ko‘rinishidagi ko‘phad bir had deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi ta'rifiga ko‘ra (1) ko‘phadni

birhadlarning yig‘indisi deb qarasak, ko‘phadning yozuvidagi «+» belgini qo‘shish amali deb qarash mumkin bo‘ladi.

birhadga qarama-qarshi birhad deyiladi. Shuning uchun qandaydir ko‘phadga birhadni qo‘shish deganda ko‘phaddan birhadni ayirish tushuniladi. Bu «-» ni ko‘phadlarni ayirish sifatida qarab o‘rniga - ni yozish imkonini beradi.

Masalan:

ko‘phad o‘rniga

ko‘phadni yozish mumkin.

Endi halqa birlik elementga ega bo‘lsin deb faraz qilamiz. ko‘phadni qaraymiz. Ko‘phadlarni ko‘paytirish formulasiga ko‘ra,

va xokozolarga ega bo‘lamiz. Umuman,

bo‘ladi . halqada ko‘phadni elementga ko‘paytirsak,

hosil bo‘ladi. Odatda ifodani kabi belgilash ishlatiladi.

Nihoyat, bir nechta xuddi shunday tengliklarni qo‘shish natijasida

ga ega bo‘lamiz.

Bu tenglik qanday ma'noni anglatadi?

Uning chap tomoni ko‘phadning ta'rifiga ko‘ra ko‘phadning ifodasini bildiradi, o‘ng tomonida esa elementlar va halqaning elementlari o‘rtasida bu halqadagi qo‘shish va ko‘paytirish amali bajarildi. Shuning uchun halqada birlik element mavjud bo‘lsa biz deb belgilagan ko‘phadni harfi orqali ifodalab ko‘phadning formal ifodasiga mazmun berdik.

Ko‘phad haqidagi dastlabki ma'lumotlarning yakunida ko‘phadning darajasi tushunchasini va unga bog‘liq bo‘lgan boshqa bir nechta tushunchalarni kiritamiz.

Ta'rif :

Noldan farqli bo‘lgan

ko‘phadning darajasi deb, bo‘lgandagi eng katta soniga aytiladi.

Nol ko‘phadning darajasi - deb hisoblanadi.

ko‘phadning darajasi kabi belgilandi.

Nolinchi darajali ko‘phad- bu halqaning noldan farqli elementidir. Darajasi bo‘lgan ko‘phad

ko‘rinishda yoziladi, bu yerda va uning bosh hadi , esa bosh koeffitsiyenti deyiladi.

Ta'rif :

Bosh koeffitsiyenti 1 ga teng bo‘lgan (agar halqada birlik element mavjud bo‘lsa) ko‘phad normallashgan ko‘phad deyiladi.

Ko‘phadlarning yig‘indisi va ko‘paytmasini ifodalovchi (4) va (6) formulalardan ko‘rinadiki yig‘indi ko‘phad dan ko‘paytma ko‘phad esa dan yuqori darajali hadga ega bo‘lmaydi.

Bundan

(9)

(10)

munosabatlar kelib chiqadi.

Hozirga qadar biz halqaga hech qanday shart qo‘ymadik. (Ko‘paytirishning kommutativligi yoki assotsiativligini talab qilmadik). halqada ko‘paytirish amali yuqoridagi u yoki bu hossani qanoatlantirishi uchun bu xossalarning halqada o‘rinli bo‘lishini talab qilish lozim bo‘ladi. Shu nuqtai nazardan halqada butunlik sohasi bo‘lishini, ya'ni birlik elementli nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmagan, kommutativ,assotsiativ halqa bo‘lgan holni ko‘rib chiqamiz.

Shunday qilib qaralayotgan ko‘phadlarning koeffitsiyentlari butunlik sohasidan olingan bo‘lsin.

butunlik sohasi bo‘lganda ko‘phadlarni ko‘paytirish amali uchun o‘rinli bo‘lgan bir nechta qo‘shimcha xossalar kelib chiqadi.