Suyuqlik va gaz mexanikasi faniga kirish

4. D.Eyler differensial tenglamalari. Suyuqliklar muvozanatining differensial tenglamasi. Gidrostatikaning asosiy tenglamasi. Bosimi teng sirtlar. Erkin sirt. Ogirlik kuchi ta’sirida tinch turgan Suyuqliklar.

Жавоблар

Суюқликлар мувозантининг Эйлер дифференциал тенгламаси. Мувозанат ҳолатидаги суюқликларга босим ва оғирлик кучлари таъсир қилади. Босим суюқлик эгаллаган ҳажмнинг ҳар хил нуқтасида ҳар хил қийматга эга. Шунинг учун босимни координата ўқлари х, у, z ларнинг функцияси деб қараш керак. Кўрилаётган суюқликда томонлари dx, dy, dz га тенг бўлган параллелопипедга тенг элементар ҳажм ажратиб оламиз (1.6-расм). Энди суюқликка таъсир қилувчи кучларнинг мувозанат ҳолатини текширамиз. Оғирлик кучининг проекциялари ХdV; YdV; ZdV бўлсин; яъни G{ХdV; YdV; ZdV. Элементар ҳажмнинг уОz текисликда ётган сиртига Ох ўқига йўналишида р га тенг, унга параллел бўлган сиртига эса рҚ га тенг босимлар таъсир қилади.

Бу сиртларга таъсир қилувчи босим кучлари эса тегишлича рdydz ва (р+dx)dydz ларга тенг. Олинган элементар ҳажм Ох ўқи бўйича мувозанатда бўлиши учун бу ўқ бўйича йўналган кучлар йиғиндиси нолга тенг бўлиши керак:

рdydz-(р+dx)dydz-рxdxdydz=0

Шунингдек, Оу ўқи бўйича, уОz текисликда ётувчи сиртга рdxdz,

унга параллел бўлган сиртга эса, (рҚdу) dxdz кучлар таъсир қилади

Шунинг учун элементар ҳажмининг Оу ўқи бўйича мувозанат шарти қуйидагича бўлади:

рdxdz-(р+dy)dxdz-рYdxdydz=0

Шунингдек, Оz ўқи бўйича

рdxdy ва (р+dz)dxd

кучлар таъсир қилади ҳамда уларнинг мувозанат шарти қуйидагича бўлади:

рdxdy-(р+dz)dxdy-рZdxdydz=0 (4.1)


Суюқликлар мувозанатининг Эйлер тенгламасига доир чизма.

Ўхшаш миқдорларни қисқартириш ва қолган ҳадларни dx, dy, dz га бўлишдан кейин қуйидаги тенгламалар тизимсини оламиз:

Бу тенгламалар тизимсида кўриниб турибдики, гидростатик босмининг бирор координата ўқидаги зичликнинг бирлик оғирлик кучининг шу ўқ йўналишидаги проекциясига кўпайтмасига тенг экан, яъни мувозанатдаги суюқликларда босимнинг ўзгариши масса кучларга боғлиқ. (4.2) тенгламалар тизимси суюқликлар мувозанат ҳолатининг умумий дифференциал тенгламасидир. Бу тенгламани 1755йилда. Л.Эйлер кашф этган.

Текис тезланувчан ҳаракат қилаётган идишдаги суюқлик. Суюқлик а тезланиш билан ҳаракат қилаётган идишда мувозанат ҳолатида бўлсин. Бу ҳолда суюқлик зарралари тезланиш а ва оғирлик таъсирида бўлади, улар учун бирлик масса кучлар эса қуйидагича бўлади:
Х=-a, Y=0, Z=-g
Бу қийматларни (4.2) га қўйсак, -adx – adz=0 тенгламани оламиз. Уни интеграллаб қуйидаги тенгламага эга бўламиз:
ax+gz=cоnst
Бу эса нишаб текислик тенгламасидир. Шундай қилиб, кўрилаётган ҳолда босими тенг сиртлар Ох ва Оz ўқларга бурчак остида йўналган, Оу ўқига эса параллел бўлган сиртлардир. Бу сиртларнинг горизонтал текислик билан ташкил қилган бурчаги қуйидагича аниқланади:

=arctg

Эркин сиртда босим р_о эканлигини ҳисобга олсак, (4.1) тенгламадан қуйидаги муносабат келиб чиқади:
р=рах+z+р₀+С
Айланаётган идишдаги суюқлик. Суюқлик вертикал ўқ атрофида  бурчак тезлик билан айланаётган идиш ичида. Бу ҳолда суюқлик зарралари марказдан қочма куч ва оғирлик кучлари таъсирида бўлади. Марказдан қочма куч қуйидагига тенг:
F_ц=m²r
Унинг проекциялари эса қуйидагича топилади:
F_цх=m²х, F_цу=m²у
Шунинг учун бирлик масса кучлар қуйидагиларга тенг:
Х= ²х; Y=²y; Z=-g
Буларни (2.4) га қўйсак, қуйидаги тенгламани оламиз:
²хdx+²ydy-gdz=0
Уни интегралласак

- gz=cоnst

бўлади.

Лекин х²+у²=r² бўлмагани учун

-gz=cоnst

Бу босими тенг сиртнинг тенгламасидир. Бу сирт айланма параболоид эканлиги кўриниб турибди. Шундай қилиб, босими тенг сиртлар ўқи вертикал бўлган айланма параболоидлар оиласидан иборат. Бу сиртлар вертикал текислик билан кесишганда ўқи Оz да бўлган параболалар, горизонтал текисликлар билан кесишганда эса маркази Оz да бўлган концентрик айланалар ҳосил қилади.