T a' r I f. Uchta yassi burchakdan va har bir yarim to'g'ri chiziqlar juftlari orasidagi yarim tekisliklarning qismlaridan tashkil topgan shakl uch yoqli burchak

T a' r i f. Yopiq ko'pyoqli sirt bilan uning ichki sohasining birlashmasi ko'pyoq deyiladi.
T a' r i f. Ko'pyoqli sirt va uning ichki sohasi mos ravishda ko 'pyoqning sirti va ko 'pyoqning ichki sohasi deyiladi.
Ta'rif. Ko'pyoqli sirtning yoqlari, qirralari, uchlari mos ravishda ko'pyoqning yoqlari, qirralari va uchlari deyiladi.
Ta'rif. Ko'pyoqning bir yog'iga tegishli bo'lmagan ikki uchini birlashtiruvchi kesma ko'pyoqning diagonali deyiladi (73- rasm).
73- rasmda ABCDEF oltiyoq va uning diagonali DF, BE tasvirlangan. Ko'pyoqlar ko'pburchaklar singari qavariq (73-rasm) va noqavariq (74- rasm) bo'lishi mumkin.

Obodjon, [24.05.2022 22:15]
Ko'pburchak va uning elementlari haqida tushuncha

Ko'pburchak haqida tushuncha

“POLİTOPLAR NAZARIYASI, XUSUSIY QAVARIY POLİTOPLARDA, GEOMETRİYANING ENG AJIZLI BOBLARIDAN BIRI”, - bu fikri L.A. Lyusternik, SSSR Fanlar akademiyasining muxbir a'zosi, matematikaning ushbu sohasida ko'p ish qilgan olim.

Ko'pburchak tushunchasi qattiq geometriya kursidagi markaziy tushunchalardan biridir. Polyhedra o'zining qiziqarli xususiyatlari, chiroyli shakllari bilan ajralib turadi. Ko'p yuzli nazariya Pifagor, Evklid, Arximed, Apolloniy nomlari bilan bog'liq bo'lgan boy va qadimiy tarixga ega. Shu bilan birga, u matematikaning zamonaviy bo'limi hisoblanadi. Unda chuqur natijalarni sovet matematiklari B.N. Delaunay, A.D. Aleksandrov, A.V. Pogorelov. Ko'p yuzli nazariya geometriyadagi nazariy tadqiqotlar uchun ham, matematikaning algebra, sonlar nazariyasi va tabiatshunoslik kabi boshqa sohalarida amaliy qo'llanilishi uchun ham katta ahamiyatga ega.

Ko'p yuzlilar odatda sirtlari cheklangan miqdordagi ko'pburchaklardan tashkil topgan jismlar deb ataladi, ular ko'p yuzli yuzlar deb ataladi. Ushbu ko'pburchaklarning tomonlari va cho'qqilari mos ravishda ko'pburchakning qirralari va cho'qqilari deb ataladi. Ko'pburchakning diagonali - bu bir yuzda yotmaydigan ikkita cho'qqini bog'laydigan chiziq segmenti. Ko'pburchakning diagonal tekisligi - bu ko'pburchakning bir yuzida yotmaydigan uchta uchidan o'tadigan tekislik.

Qavariq tushunchasi matematikada eng muhim tushunchalardan biridir. Bu nisbatan yaqinda paydo bo'ldi. Qavariq koʻp yuzlilar nazariyasining asoslari 19-asr oxirida qoʻyilgan. Nemis olimlari G. Brunn, G. Minkovskiy va 20-asrda sovet olimlari B.N. Delaunay, A.D. Aleksandrov, A.V. Pogorelov.

Ko'pburchak qavariq deb ataladi, agar u qavariq shakl bo'lsa, ya'ni uning istalgan ikkita nuqtasi bilan birga ularni bog'laydigan segmentni ham o'z ichiga oladi. Qavariq ko'pburchak muntazam deyiladi, agar uning barcha yuzlari bir xil miqdordagi tomonlari va bir xil miqdordagi qirralari ko'pburchakning har bir uchida bir-biriga yaqinlashsa.

1.1-rasm. Qavariq va qavariq bo'lmagan ko'pburchaklarga misollar

Polihedra quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Qavariq ko‘pburchakning har bir yuzi qavariq ko‘pburchakdir.

2. Qavariq ko‘pburchakning ichki nuqtasidan o‘tuvchi tekislik uni qavariq ko‘pburchak bo‘ylab kesib o‘tadi.

3. Qavariq ko‘pburchak uning har bir yuzining bir tomonida yotadi.

4. Qavariq ko‘pburchak uning barcha uchlarining qavariq qobig‘i, ya’ni shu uchlarini o‘z ichiga olgan eng kichik qavariq to‘plamdir.

Keling, ulardan birini isbotlaylik.

Isbot: F ko‘pburchakning M yuzi bo‘lsin; A, B - F yuziga tegishli nuqtalar (1.2-rasm). M ko'pburchakning qavariqlik shartidan kelib chiqadiki, AB segmenti to'liq F ko'pburchak tekisligida joylashgan, u to'liq shu ko'pburchakda joylashgan bo'ladi, ya'ni F qavariq ko'pburchakdir.

Obodjon, [25.05.2022 17:34]
Euler Teoremasi
Konveks ko'pburchak uchun 1752da Leonard Eiler tomonidan tasdiqlangan va Euler teoremasi deb nomlangan vertexlar, qovurg'alar va yuzlar sonini bog'laydigan mulk mavjud. Ushbu teoremani shakllantirishdan oldin biz bilgan ko'pburchaklarni o'rganamiz.

PG da polyhedronning nomi

Uchburchak piramida 4 6 4
5 8 5 to'rtburchak Piramidi
Uchburchak piramida 6 9 5
To'rt burchakli prizma 8 12 6
B-vertices soni
P-qovurg'alar soni
G-yuzlar soni
Ushbu jadvaldan to'g'ridan-to'g'ri tanlangan ko'pburchak uchun B-P+g = 2 tengligi mavjudligi aniq. Tenglik nafaqat bu ko'pburchak uchun, balki o'zboshimchalik bilan konveks ko'pburchak uchun ham amal qiladi.
Euler Teoremasi
Har qanday konveks ko'pburchak uchun tenglik mavjud: B-P+g=2.
Proof: ushbu tenglikni isbotlash uchun elastik materialdan tayyorlangan ushbu ko'pburchak yuzasini taqdim etamiz. Uning yuzlaridan birini olib tashlang va qolgan sirt tekislikda cho'ziladi. Biz kichik poligonlarga bo'lingan ko'pburchakni olamiz.
Shuni esda tutingki, ko'pburchaklarni deformatsiya qilish, ko'paytirish, kamaytirish va hatto tomonlarini burish mumkin, agar tomonlarning yorilishi bo'lmasa. Tepaliklar, qovurg'alar, yuzlar soni o'zgarmaydi.
Ko'pburchakni kichikroq ko'pburchaklarga ajratish uchun tenglik mavjudligini isbotlaymiz
B-P + G= = 1 (*)
Bu erda b-vertikalarning umumiy soni, p-qovurg'alarning umumiy soni va g - - bo'linishni tashkil etuvchi ko'pburchaklarning soni. G многог= g-1, bu erda g - bu ko'pburchak yuzlari soni.
Agar bu bo'linishning ko'pburchagida diagonal chizilgan bo'lsa, tenglik (*) o'zgarmasligini isbotlaymiz (shakl. 1.3 a).‌‌
Haqiqatan ham, diagonal chizilgandan so'ng, yangi bo'limda B uchlari, P+1 qirralari bo'ladi va ko'pburchaklar soni bittaga ko'payadi. Shuning uchun bizda V - (R+1) + (Gg'+1) = V-R+ Gg'. Bu xususiyatdan foydalanib, ko'pburchaklarni uchburchaklarga bo'luvchi diagonallarni chizamiz (3-b-rasm) va hosil bo'lgan bo'lim uchun (*) tenglikning haqiqiyligini ko'rsatamiz. Buning uchun biz uchburchaklar sonini kamaytirib, tashqi qirralarni doimiy ravishda olib tashlaymiz. Bunday holda, ikkita holat mumkin:
a) ABC uchburchagini olib tashlash uchun ikkita chetini olib tashlash kerak, bizning holatlarimizda - AB va BC;
b) MKN uchburchagini olib tashlash uchun bir chetini olib tashlash talab qilinadi, bizning holatlarimizda - MN.
Ikkala holatda ham tenglik (*) o'zgarmaydi. Masalan, birinchi holatda, uchburchakni olib tashlaganingizdan so'ng, grafik B-1 uchlari, P-2 qirralari va Gg' - ko'pburchakdan iborat bo'ladi.
(B-1) - (R-2) + (Gg'-1) \u003d V-R + Ggg
Shunday qilib, bitta uchburchakni olib tashlash tenglikni (*) o'zgartirmaydi. Ushbu uchburchaklarni olib tashlash jarayonini davom ettirib, biz oxir-oqibat bitta uchburchakdan iborat bo'limga ega bo'lamiz. Bunday bo'lim uchun B=3, P=3, G'g'=1 va shuning uchun V-R+ Gg'=1. Demak, tenglik (*) asl bo'lim uchun amal qiladi, shundan biz nihoyat ko'pburchakning berilgan bo'limi uchun tenglik (*) amal qilishiga erishamiz. Shunday qilib, dastlabki qavariq ko'pburchak uchun tenglik to'g'ri bo'ladi:
V-R+ G=2
Har qanday ko‘pburchak uchun quyidagi tengsizliklar to‘g‘ri bo‘ladi:

Boshqa faktlar:

b Har bir ko'pburchak kamida 5 tadan ko'p bo'lmagan qirrasi chiqadigan bitta cho'qqiga, shuningdek, 5 tadan ko'p bo'lmagan qirrali yuzga ega.
b Har bir ko'pburchakda kamida bitta uchburchak yuz yoki kamida bitta uchburchak burchak mavjud.
b Aniq 7 qirraga ega bo'lgan ko'pburchak yo'q. 6 raqami va har qanday n8 butun soni qavariq ko'pburchakning qirralari soni bo'lishi mumkin.
b Har qanday qavariq ko‘pburchak uchun quyidagi tengsizliklar bajariladi:

b Har bir ko'pburchakda tomonlari bir xil bo'lgan kamida ikkita yuz mavjud.

b Har qanday qavariq ko'pburchakda barcha yuzlarning tekis burchaklarining yig'indisi uchlari bir xil bo'lgan qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisidan ikki baravar ko'pdir.
Agar qavariq ko'pburchakning har bir yuzida biz bitta ichki nuqtani tanlab, qo'shni yuzlarda joylashgan tanlangan nuqtalarni qirralari bilan bog'lasak, u holda biz berilganiga konjugat deb ataladigan yangi ko'pburchakni olamiz. Berilgan va konjugat koʻp yuzlilarning uchlari, qirralari va yuzlari soni B*=G, G*=B, P*=P munosabatlari bilan bogʻlanadi.
Masala 1. Kub chetlarining o‘rta nuqtalarida uchlari bo‘lgan qavariq ko‘pburchak uchun Eyler teoremasini tasdiqlang.

Qaror. Bizning ko'pburchakning uchlari soni kubning qirralari soniga teng, ya'ni B = 12.
Bundan tashqari, ko'pburchakning 8 ta uchburchak yuzi (kubning uchlari bo'lganidek) va 6 ta to'rtburchak yuzlari (kubning har bir yuzida bizning ko'pburchakning bitta yuzi mavjud). Demak, G=8+6=14. Nihoyat, qovurg'alar soni: P=1/2 x (8x3+6x4)=24.
Bizda: 12+14=24+2.
2-topshiriq. 9 ta uchi va 7 ta yuzli ko‘pburchaklarga misol keltiring.

Qaror. Keling, B, P, G raqamlarining qiymatlari yaqin bo'lgan bir nechta ko'pburchakni olaylik. Masalan, kub - B=8, G=6.
E'tibor bering, agar siz kubni rasmda ko'rsatilgandek kesib olsangiz, kerakli miqdordagi uchlari, qirralari va yuzlari bo'lgan ko'pburchakni olasiz.
Topologiya nuqtai nazaridan muntazam ko'pburchak tushunchasi
Muntazam ko'pburchak tushunchasini topologiya nuqtai nazaridan ko'rib chiqing - har xil deformatsiyalarga bog'liq bo'lmagan figuralarning xususiyatlarini uzilishlarsiz o'rganadigan fan. Shu nuqtai nazardan, masalan, barcha uchburchaklar ekvivalentdir, chunki bitta uchburchakni har doim boshqasidan har qanday uchburchakdan tomonlarning mos keladigan qisqarishi yoki kengayishi bilan olish mumkin. Umuman olganda, tomonlari bir xil bo'lgan barcha ko'pburchaklar bir xil sababga ko'ra ekvivalentdir.
Bunday vaziyatda topologik muntazam ko'pburchak tushunchasini qanday aniqlash mumkin? Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, muntazam ko'pburchakning ta'rifida qaysi xususiyatlar topologik barqaror va qoldirilishi kerak va topologik barqaror emas va ularni tashlab yuborish kerak.
Muntazam ko'pburchakni aniqlashda tomonlar va yuzlar soni topologik jihatdan barqaror, ya'ni ular uzluksiz deformatsiyalar ostida o'zgarmaydi. Ko'pburchaklarning muntazamligi topologik barqaror xususiyat emas. Shunday qilib, biz quyidagi ta'rifga kelamiz.
Qavariq ko'pburchak topologik jihatdan to'g'ri deb ataladi, agar uning yuzlari bir xil sonli tomonlarga ega bo'lgan ko'pburchaklar bo'lsa va har bir tepada bir xil sonli yuzlar yaqinlashsa.
Ikki ko'p yuzli topologik ekvivalent deyiladi, agar biri ikkinchisidan uzluksiz deformatsiya orqali olinadigan bo'lsa.
Masalan, piramidaning barcha uchburchaklari bir-biriga ekvivalent bo'lgan topologik jihatdan muntazam ko'pburchaklardir. Barcha parallelepipedlar topologik jihatdan bir-biriga ekvivalentdir, masalan, to'rtburchaklar piramidalar.
Keling, bir-biriga ekvivalent bo'lmagan qancha topologik muntazam ko'pburchaklar degan savolni aniqlaylik.
Ma'lumki, beshta muntazam ko'pburchaklar mavjud: tetraedr, kub, oktaedr, ikosahedr va dodekaedr. Ko'rinishidan, topologik jihatdan ancha muntazam ko'pburchaklar bo'lishi kerak. Biroq, ma'lum bo'lishicha, allaqachon ma'lum bo'lgan muntazamlarga ekvivalent bo'lmagan boshqa topologik muntazam ko'pburchaklar yo'q.
Buni isbotlash uchun Eyler teoremasidan foydalanamiz. Yuzlari n-gonli va har bir uchida m qirralari yaqinlashuvchi topologik muntazam ko‘pburchak berilgan bo‘lsin. Ko'rinib turibdiki, n va m uchdan katta va teng. Avvalgidek, B - tepaliklar soni, P - qirralarning soni va G - yuzlar sonini belgilang. Keyin
pG= 2R; G=; TV=2R; B=.
Eyler teoremasi bo‘yicha V-R+G=2, demak,

Qayerda

Olingan tenglikdan, xususan, (n-2) (m-2)<4 tengsizlikka ekvivalent bo'lgan 2n+2m-nm >0 tengsizlikni qondirish kerakligi kelib chiqadi. Topilgan tengsizlikni qanoatlantiruvchi n va m ning barcha mumkin bo‘lgan qiymatlarini toping va quyidagi jadvalni to‘ldiring:

3	4	5
3	В=4, Р=6, Г=4 Tetraedr	В=6, Р=12, Г=8 oktaedr	В=12, Р=30, Г=20
4	В=8, Р=12, Г=4 Куб	Не существует	Не существует
5	В=20, Р=30, Г=12 Додекаэдр	Не существует	Не существует