Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

б) (n³ + 2n) 3 екендігін математик индукция методы жәрдемінде дәлелде .
Шешу. I. n = 1 да 1³ + 2 = 1+ 2 = 3=>3 3.
II. n=k да (k³+ 2k) 3 деп жоримыз және n = k+ 1 да [(k + 1)³ + 2(k + 1)] 3 екендігін дәлелдейміз .
Дәлел . (k + 1)³ + 2(k + 1)=>k³ +3k² +3k + 1+2k + 2 =
= (к³ + 2к) + (3к² + 3к + 3) = (к³ + 2к) + 3(к² +к + 1).
Бу қосынды 3 ке еселі , себебі бірінші қосылушы (к³+2к)  3 фаразимизга негізделіп рас . 3(к² +к + 1) қосылушы 3 ке еселі екендігі көрініп тұр: 3 • (к² + к + 1) 3. Демек ,  n да (n³ + 2n) 3 болады .
с) (n³+11n) 6 екендігін математик индукция методы жәрдемінде дәлелде .
Шешу. I. n = 1 да 1³+11 1 = 1 + 11 = 12=>12 6
II. n = k да (k³ + 11k) 6 деп жоримыз ва n=k+1 да [(k+1)³+11(k+1)] 6 рас екендігін дәлелдейміз .
Дәлел . (k+ 1)³+ 11(k+ 1)= k³+3k²+3k +1+11k+11 = (k³+11 k)+(3k² + 3 k+ 12) = = (к³ + 11 к) + 3 (к² + к + 4).
Соңғы өрнекте фаразимизга негізделіп (k+11) 6 болады . 3 • [k² + k + 4] өрнектің 3ке еселі екендігі көрініп тұр , яғни , 3 • [k² + k + 4] 3 болады . Енді (k² + k + 4) өрнектің 2 ге еселі екендігін көрсету жеткілікті . k² + k + 4= k(k+1)+4 болып , k(k+1) болады . Себебі k және (k+1) кетма-кет келген натурал сандар . Сонымен бірге , 4 2 болады . Бұдан  (k² + k + 4)  рас . Демек ,  n де (n³ + 11n) 6 болады .