Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

2-Анықтама . а натурал санының b натурал санына көбейтіндісі деб, сондай алгебралық операцияға айтылады , онда

1. 
   а • 1 = а,
   
2. 
   а • (b + 1) = а • b + а болады .
   

Бу анықтама жәрдемінде бір ханалы сандар үшін көбейту кестесін түзуіміз мүмкін .
Масалан. а) 2 ні көбейту кестесін түзейік:
2 1=2; 2 = 2 (1 + 1) = 2 + 2 = 2+ 2= 4 ;
2  3 = 2  (2 + 1) = 2 • 2 + 2 = 4 + 2 = 6; 2 4 = 2  (3 + 1) = 2 3 + 2 = 6 + 2 = 8,
б) 3 ті көбейту кестесін түзейік:
3 1=3; 3 • 2 = 3 • (1+1) = 3 1 + 3 = 6;
3 3= 3 (2 + 1) = 3 2 + 3 = 6 + 3 = 9; 3 • 4 = 3 • (3 + 1) = 3 • 3 + 3 = 9 + 3 = 12
3 5=3 (4 + 1) =3 4 + 3 = 12 + 3 = 15; 3 6 = 3 (5 + 1 )=3 5 + 3 = 15 + 3 = 18
Көбейту амалы төмендегі қасиеттерге ие .
1°. Дистрибутивтік қасиеті (солдан). Бірер a натурал санды b және c натурал сандар қосындысына көбейтіндісі, осы a санды b және c сандарды әр бірі мен көбейтіндісінің қосындысына тең: (
Дәлел .Бұл қасиетті дәлелдеуде математик индукция методынан пайдаланамыз .
c = 1 үшін a • (b+1 = а•b + b•1 = а•b + а дұрыс болады . c = n үшін а • (b + n) = аb + аn дұрыс деп жорып , с = n + 1 үшін бұл қасиеттің дұрыс екенін дәлелдейміз .
a • (b + n+ 1) = а • [(b + n) + 1] = а • (n + b) + а • 1 => [анықтамадан ) => аn+ + аb + а => [жоруға негізделіп ) => аb + а(n+ 1) (анықтамадан ).
Демек , а • (b + c) = аb+ аc болады .