Тақырып: теріс болмаған бүтін сандар жиынын аксиоматик қҰРУ

1^o. Группалау (ассоциативтік) қасиеті .
( ) [(a+b+c) = а + (b + c)].
Бу қасиетті математик индукция методы жәрдемінде дәлелдейік .
Дәлел . I. с =1 болсын . Онда (а + b) + c = (а + b) + 1) = a+(b+1) (анықтамадан). Демек , с = 1 үшін группалау қасиеті орынды .

2. 
   с = n үшін (а + b) + n = а + (b + n) орынды деп жориық .
   

с = n + 1 үшін бұл қасиеттің дұрыс екенін дәлелдейік .
(а + b) + (n + 1) = [(а + b) + n] + 1 =>( анықтамадан ) [а + (b + n)] + 1 (жоруға негізделіп ) а + [(b + n) + 1]  (анықтамадан ) => =>а +[b + (n + 1)] =>(анықтамадан ).
Демек , (а + b) + (n + 1) = [(а + b) + (b + 1)].
Пеаноның 4-аксиомасына негізделіп , (а + b) + с = а + (b + c) екендігі келіп шығады .
2°. Орын алмастыру (коммутативлик) қасиеті .
( ) (а + b = b + а).
Бу қасиетті де математик индукция методынан пайдаланып дәлелдейміз .Дәлел екі басқышта амалға асырылады .
Дәлел . I. а = 1 болса , 1+b=b+1 бөлінуін дәлелдейік . b = 1 болса , 1 + 1 = 1 + 1 болады . Демек , b = 1 үшін 1 + b = b + 1 теңдік дұрыс .

2. 
   b = n үшін 1 + n = n + 1 дұрыс деп жориық . b =n + 1 үшін 1 + (n + 1) = (n + 1) + 1 дұрыс екенін дәлелдейміз .
   

1 + (n + 1) = (1 + n) + 1  (анықтамадан ) =>(n + 1) + 1(жоруға негізделіп).
Демек , 1 + (n + 1) = n + 1) + 1 болады .
Енді жоғарыдағы қасиет  үшін орынды екендігін дәлелдейік .
а=1 үшін орынды екендігін көрдік . а = m үшін m + b = b+ m деп жориық ва а =m + 1 үшін (m+ 1 ) + b=b+ (b+ 1) екендігін дәлелдейік .
Онда (m + 1) +b=m+(1 + b) =m + (b + 1) => (1^o - қасиетке негізделіп ) => (m + b) + 11 (анықтамадан ) (b + m) + 1 = b+ (m + 1) (жоруға негізделіп ). Демек , а + b = b + а (4-аксиомаға негізделіп ).

4.