Тажриба иши: Энг кичик квадратлар (экк) усулининг аналитик талқини

^{Тажриба иши:} Энг кичик квадратлар (ЭКК) усулининг аналитик талқини
Табиатнинг кўп ҳодисаларини, иқтисодий-ижтимоий жараёнларни ўрганишда, табиий фанларда, мураккаб иншоотларни лойиҳалаштириш- да иқтисодий оптимал моделлаштиришда ўтказилган синовлар асосида тўпланган маълумотлар бўйича тузилган эмпирик формулалардан фой- даланилади.
Эмпирик формулаларни ҳосил қилишнинг энг самарали усулларидан бири – бу энг кичик квадратлар (ЭКК) усулидир. ЭКК усули функцияларни экстремумга текширишда ва номаълум функ- цияларни аппроксимациялаш (текислаш) билан тузишда самарали қўлланилади.
Мазкур усулнинг матнини иккита x ва y ўзгарувчиларнинг боғланишига нисбатан келтирамиз.
Фараз қилайлик, ўтказилган n та кузатувлар натижасида x нинг кетма-кет қийматлари ҳосил қилинган. Ушбу кузатувларда y нинг ҳам мос қийматлари топилган. Кузатилган маълумотлар асосида қуйидаги жадвални тузамиз:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Агар ушбу жадвалдаги қийматлардан тузилган нуқталар текисликда координаталар тизимида бирорта тўғри чизиқ атрофида тарқалган бўлса, унда x ва y лар ўртасида чизиқли боғланиш мавжуд деб фараз қилинади, яъни

(3.1)

Бу ерда a₀ ва а₁ лар ҳозирча номаълум параметрлар. Равшанки, х=х_i да (3.1) формулага асосан ни ҳосил қиламиз ва кузатувлар натижасида ҳосил қилинган жадвалда келтирилган қийматлар ҳам мавжуд. Ушбу иккита ва y қийматларни ҳисоблашда маълум хатоликка йўл қўйилган деб фараз қилайлик, яъни

(3.2)
Ушбу хатоликлардан қуйидаги квадратик функционални тузамиз:
(3.3)
Бунда а₀ ва а₁ параметрларни шундай танлаш керакки, хатоликлар йиғиндисининг квадрати мумкин бўлган энг кичик қий- матга эришадиган бўлсин. S(a₀, a₁) ни иккита а₀ ва а₁ ўзгарув- чиларнинг функцияси сифатида қараб, масалани функциянинг ми- нимумини топишга келтирамиз.

Кўп ўзгарувчилик функциялар назариясига асосан экстремум мавжуд бўлишининг зарурий шартлари унинг барча ўзгарувчи- лар бўйича ҳисобланган хусусий ҳосилалари нолга тенг бўлишидан фойдаланиб, (3.3) ни дифференциаллаб, тенгламалар тизимини ҳосил қиламиз:

Ушбу тенгламаларни қулайроқ тарзда ёзиб оламиз:

(3.4)

Шундай қилиб, номаълум а₀ ва a₁ параметрларга нисбатан иккита (3.4) тенгламалар тизимини ҳосил қилдик. Ушбу тенгла- малар тизими ЭКК усулининг нормал тенгламалар тизими деб аталади. (3.4) тенгламалар тизимини ечиб, номаълум параметрларни топамиз:

(3.5)

Ушбу аниқланган а₀ , а₁ қийматларни эмпирик формулага қўйиб, қаралаётган масала функционал боғланишнинг энг яхши яқинлашувчи (аппроксимацияловчи) функциясини ҳосил қиламиз.

Агар x ва y ўртасидаги боғланиш жараёни ушбу
(3.6)
кўрсаткичли функцияси билан ифодаланган бўлса, унда номаълум параметрлар а₀ ва а₁
(3.7)

тенгламалар тизимини ечиш билан топилади.

Агар x ва y ўзгарувчилар ўртасида гиперболик боғланиш

(3.8)

мавжуд бўлса, унда унинг параметрлари а₀ ва а₁ лар ушбу

(3.9)

тенгламалар тизимидан аниқланади.