Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o`rinlashtirishlar va o`rin almashtirishlar. Reja

Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o`rinlashtirishlar va o`rin almashtirishlar.
Reja:

1. 
   Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar
   
2. 
   Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar
   
3. 
   Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar.
   

1.Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar.

Masala. m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k uzunlikdagi kortejlar sonini toping.

Yechish. k o’rinli kortej dekart ko’paytmaning elementi bo’lib, tartiblangan k-likni (ka-lik deb o’qiladi) bildiradi. Masalani yechish uchun X×X× ... ×X dekart ko’paytma elementlari sonini topish kerak. Bu son n(X) = m bo’lgani uchun

n(X×X×...×X)=n(X)·n(X)·…·n(X)=m·m·...·m=m^k ga teng.

Demak, m elementli X to’plam elementlaridan tuzilgan k o’rinli kortejlar soni m^k ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar deyiladi. Ularning soni bilan belgilanadi. (A — fransuzcha arrangement so’zining bosh harfidan olingan bo’lib, «o’rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.) = m^k.

Masala. 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping.

Yechish. Telefon nomerlari 0 dan 9 gacha bo’lgan 10 ta raqamdan tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan 6 o’rinli kortejlar sonini topamiz:

Javob: = 10⁶ = 1000000. 6 raqamli telefon nomerlari soni 10⁶ ga teng.

2.Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar. Umumiyroq masalani ko’rib chiqaylik: m elementli X to’plamdan nechta tartiblangan k elementli to’plamlar tuzish mumkin?

Suppose we choose m object in succession from a set of X distinct objects a₁, a₂, …, a_m, each time recording the choice and returning the object to the set before making the next choice. This gives an ordered sample of the form (b₁, b₂, …, b_k), where each b_i is some a_j. We call this sampling with replacement.

Faraz qilaylik, m elementli X ={a₁,a₂,a₃,…,a_m}to’plamdan ketma-ket elementlar tanlanmoqda, tanlangan element to’plamga qaytarilmaslik sharti bilan. Bu holda k o’rinli (b₁, b₂,…,b_k) kortej hosil bo’ladi va bu yerda har bir b_i biror a_j ga teng bo’ladi¹.

Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k -elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni

m(m -1)(m - 2) ·... · (m - k +1)

ko’paytmaga teng. U bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar soni deb ataladi:

Bu yerda m! = m × (m- 1) × … × 2 × 1.

Masalan, sinfdagi 20 o’quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o’quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?

= 20·19 = 380 (usul bilan).

3.Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar.

1. Agar chekli X to’plam elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo’lsa, X to’plam tartiblangan deyiladi.

Masalan, X= {x₁, x₂,…,x_m}. Bitta to’plamni turli usullar bilan tartiblash mumkin.

Masalan, sinf o’quvchilarini yoshiga, bo’yiga, ogirligiga qarab yoki o’quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo’yicha tartiblash mumkin.

m elementli X to’plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan savolga javob beraylik.

Tartiblash — bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni m ta elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun

1-elementni m usul bilan, 2-elementni 1-element tanlanib bo’lgandan so’ng m -1 usul bilan tanlash mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblashlarning umumiy soni

m(m -1)(m -2)·... ·2·1= m! ga teng.

m! — dastlabki m ta natural son ko’paytmasi (m faktorial deb o’qiladi). Masalan, 5!= 1·2·3·4·5 = 120, m! = P_m bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar soni deb ataladi.

O`rin almashtirishlarni o`rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash mumkin   bo`lgan holi.

P belgisi fransuz tilidagi “permutation”, ya’ni “o`rin almashtirish” so`zining 1- harfidan olingan

Masala. 8 ta ladyani shaxmat doskasida bir-birini urmaydigan qilib necha usul bilan joylashtirish mumkin?

Yechish. Ladyalar soni 8 ta.

O`rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari:

 ta’rif bo`yicha!

1. 
   Ko‘paytma qоidasi bilan yеchiladigan kоmbinatоrik masalalardan namuna kеltiring.
   
2. 
   1 dan 9 gacha bo‘lgan raqamlardan nеchta 5 хоnali sоn tuzish mumkin? Masala yеchimi kоmbinatоrikaning qaysi fоrmulasi bilan ifоdalanadi?
   
3. 
   ekanini isbоtlang.
   

Nazorat uchun savollar:

1. 
   Takrorlanadigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring.
   
2. 
   Takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlarga misol keltiring.
   
3. 
   Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlarga misol keltiring..
   

Foydalaniladigan asosiy adabiyotlar ro‘yxati

Asosiy adabiyotlar

1. 
   Xamedova N.A, Ibragimova Z, Tasetov T. Matеmatika. Darslik. T.: Turon-iqbol, 2007. 363b.(28-33 bet)
   

Qo‘shimcha adabiyotlar

1.Abdullayeva B.S., Sadikova A.V., Muxitdinova M.N., Toshpo‘latova M.I., Raximova F. Matematika. TDPU. (Boshlang‘ich ta’lim va sport-tarbiyaviy ish bakalavriyat ta’lim yo‘nalishi talabalari uchun darslik) Toshkent-2012, 284 bet (70-83 bet)

2. David Surovski. Advanсed High-School Mathematics. 2011. 425s (61- bet).

Takrorlanadigan o`rinlashtirishlar va o`rin almashtirishlar.

Reja:

1.Takrorlanadigan o`rinlashtirishlarga oid misollar yechish

2.Takrorlanadigan o`rin almashtirishlar oid misollar yechish.

Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar.

Takrorlanadigan o’rinlashtirishlar (A — fransuzcha arrangement — «o’rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.) = m^k. formula bilan ifodalanadi.

Masala. 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping.

Yechish.A₁₀^b = 106 = 1000000. 6 raqamli telefon nomerlari soni 106 ga teng.

1. 
   A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 7 raqamli barcha pasport nomerlari sonini toping.
   
2. 
   V={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 4 raqamli barcha transport chiptalarining nomerlari sonini toping.
   
3. 
   S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 5 raqamli barcha talabalar talabalik guvoxnomasi nomerlari sonini toping.
   
4. 
   E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 4 raqamli barcha talabalik oylik chiptasining nomerlari sonini toping.
   
5. 
   F={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 7 raqamli telefon nomerlari soni toping.
   
6. 
   N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib podezddagi eshiklarning 5 raqamli nomerlari soni toping.
   
7. 
   M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 3 raqamli yengil avtomashina nomerlari soni toping.
   
8. 
   M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 3 raqamli yuk avtomashina nomerlari soni toping.
   
9. 
   M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0} to’plam elementlaridan foydalanib 4 raqamli yengil va yuk avtomashina nomerlari soni toping.
   

Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar.

1-ta’rif.-elementlito’plamni turli tartiblashtirishlar takrorsiz o`rinalmashtirishlar deyiladi, ularning soni deb belgilanadi va ga teng. Ta’rif bo`yicha deb olinadi

– fransuzcha “ermutation” – so`zidan olingan bo`lib, “o`rinalmashtirish” degan ma’noni bildiradi.

Masalan, uchta harfdan 3! = 6 ta o`rinalmashtirish qilish mumkin.

1. 
   Ifoda qiymatini toping: а) ; b) ; c) ; d) ; e) ;
   

f) ; j) ; k) .

2. 
   Soddalashtiring: a) ; b) .
   
3. 
   1,2,3,4,5 raqamlardan foydalanib nechta besh xonali son yozish mumkin?
   
4. 
   4 bemor shifokor oldiga necha usul bilan kirish mumkin?
   
5. 
   6 o`rinli aylana shaklidagi stolga necha usul bilan odamlarni joylashtirish mumkin?
   
6. 
   1,2,3,4,5,6 raqamlardan foydalanib 5 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   

1. 
   6 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   
2. 
   4 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   
3. 
   3 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   
4. 
   2 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   
5. 
   1 bilan tugaydigan nechta olti xonali son yozish mumkin?
   

7. 
   A, B, S, D harflaridan foydalanib to’rtburchakni necha usul bilan belgilash mumkin?
   
8. 
   3 detalni 3 qutiga necha xil tartibda joylashtirish mumkin?
   

1^ Herbert Gintis. Mathematical Literacy for Humanists. Printed in the United States of America, 2010. 61-b.