Ta’lim yo’nalishi: Fizika-astronomiya Guruh 101 (kechki) Talabaning F. I. Sh. Keldiyorova Gulsevar

Mavzu: Fazoda tekislik va to’g’ri chiziq orasidagi burchak
Reja:
1. To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak
2. To’g’ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak


To’g’ri chiziqlar orasidagi burchak

Urinmalar yordamida ikki egri chiziq orasidagi burchak tushunchasi ta’riflanadi. Ikki egri chiziq orasidagi burchak deb ularning kesishish nuqtasida shu chiziqlarga o‘tkazilgan urinmalari orasidagi burchakka aytiladi.

Bu ta’rifdan foydalanib ikki chiziq orasidagi burchak tangensini topish mumkin. Faraz qilaylik y=f₁(x) va y=f₂(x) chiziqlar M₀(x₀;y₀) nuqtada kesishsin, hamda y=f₁(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma abssissa o‘qi bilan α burchak, y=f₂(x) chiziqqa M₀ nuqtada o‘tkazilgan urinma esa β burchak tashkil qilsin. (3-rasm)

Agar γ urinmalar orasidagi burchak bo‘lsa, u holda γ=β-α bo‘ladi. Bundan

esa
tgγ=tg(β-α)= ^tgβ−tgα

1+tgβ⋅tgα

tenglikka ega bo‘lamiz.

9-rasm

Ammo hosilaning geometrik ma’nosiga ko‘ra tgα=f₁’(x₀) va tgβ=f₂’(x₀), demak ikki chiziq orasidagi burchak uchun

tgγ=	f2' ( x0 ) − f1' ( x0 )							(3.4)
	1 −f	2	' ( x	0	) ⋅ f ' ( x	0	)
					1

formula o‘rinli bo‘ladi.

3-misol. y=x² parabola va y=¹ giperbolalar orasidagi burchakni toping. x

		2
Buning uchun ushbu ^y^=^x					,		sistemani yechamiz. Bundan x^2=		1		, x^3=1, x=1
y =	1							x
	x

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, sistemaning yolg‘iz (1,1) yechimi mavjud. (x²)’=2x

bo‘lgani uchun f1’(1)=2, shuningdek,

1

^'

= −

1

bo‘lgani

uchun f2’(1)=-1

х

х^2

bo‘ladi. Demak, (3.4) formulaga ko‘ra tgγ=

−1− 2

= 3bo‘lib, bundan burchak

1+ 2⋅(−1)

kattaligi uchun γ=arstg3 tenglikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.

(9 -rasm).

Fazoda ikkita to’g’ri chiziq kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

Bu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak, ularning yo’naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka teng bo’lib,
(7)
formula yordamida topiladi.
Berilgan to’g’ri chiziqlar parallel bo’lsa,
(8)
bo’lib, bu fazoda ikki to’g’ri chiziqning parallellik sharti deyiladi.
To’g’ri chiziqlar perpendikulyar bo’lsa, yo’naltiruvchi vektorlar ham perpendikulyar bo’lib,
(9)
bo’ladi, bu ikki to’g’ri chiziqning perpendikulyarlik shartidir.
Ikki to‘gri chiziqning paralellik va perpendikulyarlik shartlari.
1-tа'rif. Dеkаrt kооrdinаtаlаri kiritilgаn tеkislikdа yotgаn egri chiziq tеnglаmаsi dеb, bu egri chiziqdа yotuvchi nuqtаlаr kооrdinаtаlаri vа ni bоg‘lоvchi tеnglаmаgа аytilаdi. Umumiy hоldа egri chiziq tеnglаmаsi ko‘rinishdа, mumkin bo‘lgаn hоllаrdа yoki оshkоr ko‘rinishdаgi tеngliklаr оrqаli bеrilаdi. Bu yerda vа funksiyalаr egri chiziqni аniqlоvchi qоnun-qоidаlаrni ifоdа etаdilаr.
Endi bеrilgаn vа nuqtаlаrdаn bir xil mаsоfаdа yotuvchi nuqtаlаrning gеоmеtrik o‘rnini ifоdа etuvchi tеnglаmаni tоpаylik.

nuqtа vа nuqtаlаrdаn bir хil mаsоfаdа yotsin, u hоldа

bu yеrdа bеlgilаshlаrni kiritsаk, quyidаgi tеnglаmа hоsil bo‘lаdi
(1)
bu tеnglаmаdа lаr o‘zgаrmаs sоnlardir. (1) tеnglаmа to‘g‘ri chiziqning umumiy tеnglаmаsi dеyilаdi. Bu tеnglаmаning аyrim mаxsus hоllаrini qаrаymiz:
1) аgаr bo‘lsа, yoki , ya'ni to‘g‘ri chiziq kооrdinаtа bоshidаn o‘tаdi.
2) аgаr bo‘lsа, , ya'ni to‘g‘ri chiziq o‘qqа pаrаllеl bo‘lаdi.
3) аgаr bo‘lsа, , ya'ni to‘g‘ri chiziq o‘qqа pаrаllеl bo‘lаdi.
4) аgаr vа bo‘lsа , ya'ni to‘g‘ri chiziq o‘q bilаn ustmа-ust tushаdi.
5) аgаr vа bo‘lsа, to‘g‘ri chiziq o‘q bilаn ustmа-ust tushаdi.
Аgаr (1) tеnglаmаdа , vа bo‘lsа, quyidаgini hоsil qilаmiz dеb bеlgilаsаk .
To‘g‘ri chiziqning kеsmаlаrgа nisbаtаn tеnglаmаsini hоsil qilаmiz, bu yеrdа vа bеrilgаn to‘g‘ri chiziqning kооrdinаtа o‘qlаrini kеsishidаn hоsil bo‘lgаn kеsmаlаr uzunliklariga tеng bo‘lаdi.
Аgаr (1) tеnglаmаdа bo‘lsа, uni quyidаgi ko‘rinishgа оlib kеlish mumkin: , bu yеrdа dеb bеlgilаsh kiritib, ko‘rinishdаgi tеnglаmаni hоsil qilаmiz. Bu tеnglаmа to‘g‘ri chiziqning burchаk kоeffitsiеntli tеnglаmаsi dеyilаdi. Tеnglаmаdаgi koeffitsient to‘g‘ri chiziqning o‘qi bilаn musbаt yo‘nаlish bo‘yichа hоsil qilgаn burchаkning tаngеnsigа teng, ya'ni _.
Endi nuqtаdаn o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tеnglаmаsini tоpаmiz, bunda burchak koeffitsienti berilgan deb qaraladi. To‘g‘ri chiziq tеnglаmаsini ko‘rinishdа izlаymiz, u hоldа tеnglik o‘rinli bo‘lаdi, ikkаlа tеnglikni hаdmа-hаd аyirib hоsil qilаmiz.
Mavzu: Fazoda ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak
Reja:
1. Fazoda berilgan ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak
2. To‘g‘ri chiziq va tekislikning fazoda joylashishi

Fazoda berilgan ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak.

Faraz qilaylik, berilgan to‘g‘ri chiziqlarning tenglamalari

7* ^- *1 ₌ у^-у1 ^z-zi
^{x-X2 у-1у_{2 =} z-%
bo‘lsin. Ular orasidagi burchakni topmoqchimiz. Ma’lumki, birinchi to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori a1 (/1; m1; n1), ikkinchi to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori a₂(/₂;m₂;n₂) bo‘ladi. Bu to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak a1 va a₂ vektorlar orasidagi burchakka teng bo‘ladi va

ai a2
cos^ =
kil • \a₂\
iii₂ + ^m1^m2 +njn₂

(6.11)


cos^ = —
Jil² + m!² + ni² • У² + ™2² + П2²
bu formula yordamida berilgan ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak
topiladi.


. . ^x-1 y ^z+^{3 x} y+^{2 z}
10-Misol. —— = — = ——, - = —— = —- tenglamalar bilan
1 —4 1 2 —2 — 1
berilgan to‘g‘ri chiziqlar orasidagi ф burchakni toping.
Yechish. Berilganlardan /1 = 1, m₁ = -4, n1 = 1, /₂ = 2, m₂ = -2, n₂ = -1. Bularni (6.11) qo‘ysak:


100

1. 
   • 2 + (—4) • (—2) + 1 • (—1) 9 1 V2
   

cosœ = _r _ —====== = -=—- = — = —
V1² + 4² + 1² • V2² + 2² + 1² VÎ8-V9 V2 2
to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak 45⁰ ga teng ekanligi ma’lum bo‘ldi.


Fazoda tekisliklar orasidagi burchak.
Fazoda bizga
'A_ix + B_iy + C_iz + D1 = 0 (a1)
A2X + В2У + C2Z + D2 = 0 («2)
tenglamalar bilan berilgan tekisliklar orasidagi burchakni topish uchun


a_i tekislikning normal vektori nX^i; B_i; Q), a₂ tekislikning normal


vektori n₂(X₂; B₂; C₂) bo‘ladi.Bundan,


Д1Д2 + ^B1^B2 + ^C1^C2


cos^ =

2. 
   ^{2 2} , I ^{2 2 2}
   

I Ai + ^Bi + Ci IA2 + ^B2 + ^C2


(6.12)


tekisliklar orasidagi burchak (6.12) formula orqali topiladi.





6.3.1-chizma


Berilgan to‘g‘ri chiziq va tekislik orasidagi burchak.
Fazoda Ax + By + Cz + D = 0 tekislik va ^-^° = ^-^° = ^-^°
I m n
to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. Tekislikning normal vektori n(X; B; C) va to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori n(l;m;n) bo‘lsa,
Al + Bm + Cn
cos(90 —
— —. ^
Va² + b² + c² • Vi² + m² + n²
101

Al + Вт + Cn

sin^ = — —,
Va² + в² + c² • Vl² + m² + n²
tenglamasi hosil bo‘ladi.


(6.13)

2. 
   chizma
   

11-Misol. Kanonik tenglamasi x +1 y — 2 z — 1 ^{- -}
bo‘lgan l to‘g‘ri chiziq va umumiy tenglamasi x + V2y — z + 1 = 0 bo‘lgan P tekislik orasidagi burchakni toping.
Yechish. Yuqorida berilgan (6.13) formuladan foydalanib, 1-1 + V2-V2 + 1-(—1) 2 1
sinœ = , ——, — = -—- = -
2 2 2'2 2
J1² + (V2) +1²J1² + (V2) +(—1)²
tekislik va to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak 30⁰ ga teng ekanligi ma’lum bo‘ldi.