Ta’lim yo’nalishi: Fizika-astronomiya Guruh 101 (kechki) Talabaning F. I. Sh. Keldiyorova Gulsevar

To‘g‘ri chiziq va tekislikning fazoda joylashishi.
Fazoda Ax + By + Cz + D = 0 tekislik va parametrik ko‘rinishdagi


' X = lt + x₀
■ y = mt + yo . x = nt + z₀ to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin.


102

Bularni fazoda qanday joylashganini o‘rganaylik. Buning uchun A(lt + x₀) + B(mt + y₀) + C(nt + z₀) + D = 0 ^ (Al + Bm + Cn)t = —(Axo + Byo + Czo + D) (6.14)

bo‘ladi.


Keltirib chiqarilgan tenglamamizni xususiy hollarda qaraymiz:

1. 
   Al + Bm + Cn Ф 0 bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq va tekislik bitta nuqtada kesishadi.
   

Axo + Byo + Czo + D
¹ = Xl + Bm + Cn
_ f Al + Bm + Cn = 0 _{t t} . . . . .

2. 
   {Ax_o + By_o + Cz_o + D = 0 ^{to g ri ch,z,q teklslikning ustlda} yotgan bo‘ladi.
   
3. 
   { л ~D^Bm+^Cn| o to‘g‘ri chiziqlar va tekislik parallel
   

Ax_o + By_o + Cz_o + D Ф 0 ^{1 F}
bo‘ladi.


12-Misol. 4x — 3y + 2z — 4 = 0 tekislik bilan Д(—3; 4; 2),


B(1; 2; 3) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning kesishish nuqtasini toping.


Yechish. X(—3; 4; 2) va B(1; 2; 3) nuqtalardan o‘tuvchi to‘g‘ri


chiziqning parametrik tenglamasini tuzamiz va bu to‘g‘ri chiziq bilan


tekislikni kesishish nuqtasini topamiz.


x+3 y—4 z—2 x+3 y—4 z—2 1+3=2—4=3—2 ^ 2 = —2 = 1 =^k ^
' X = 4k — 3
■ y = —2k + 4 =^ 4(4k — 3) — 3(—2k + 4) + 2(k + 2) — 4 = 0 =^
. z = k + 2
(x = 1


24k = 24 ^ k = 1 ^ y = 2
z = 3


M(1; 2; 3) nuqtada kesishar ekan.


13-Misol. Fazoda \5 = ^p = | va ^y¹ = ^^1 = ^y³ to‘g‘ri


chiziqlar orasidagi vaziyatni aniqlang.


103

Yechish. Berilgan to‘g‘ri chiziqlar tenglamalarini ixtiyoriy t va

k sonlariga tenglashtirib,
(x — 5 y + 1 z
x — 1 y + 1 z —


x = 5k + 1
—1
I z = k + 3


'x = 2t + 5
y = t — 1 va ]y = 2k


2 1
X — 1 y + 1 z — 3
A^— = —— = —— = k
5 2 1
oxirgi ikkala tenglamalar sistemasidagi noma’lumlarni tenglashtirsak,


quyidagiga


2t + 5 = 5k + 1
^{t — 1 = 2k — 1


í2t — 5k = —4
t — 2k = 0


^ 4k — 5k =


—4 ^ k = 4,


^


t = 8


ega bo‘lamiz. Uni tenglamalar sistemasiga eltib qo‘ysak 3 • 8 + 4 + 3 ekanligidan bizga berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamalari o‘zaro ayqashligi ma’lum bo‘ladi.



Mavzu: Umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni aniqlash va sinflarga ajratish.
Reja:
1. Ikkinchi tartibli chiziqlarni aniqlash
2. Ikkinchi tartibli chiziqlarni sinflarga ajratish

Umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqlarni aniqlash va sinflarga ajratish.
'x' = x + a
y' = y + a




parallel ko‘chirish formulasi.
'x = x'cosa — y'sina y = x'sina + y'cosa burish formulasi.


'x = x'cosa — y'sina + a
y = y'cosa + x'sina + b
parallel ko‘chirish va burish birgalikda harakat deyiladi.
a_1±x² + a22y² + 2a₁₀x + 2a2₀y + 2a^xy + a₀₀ = 0
shu ifoda bilan berilgan tenglama ikkinchi tartibli chiziqning umumiy
tenglamasi deyiladi.
Umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli chiziqni qanday
chiziq ekanligini aniqlash uchun quyidagi ishlarni bajaramiz.
'x' = x + a
y' = y + a
a₁₁(x' + a)² + a₂₂(y' + b)² + 2a₁₀(x' + a) + 2a₂₀(y' + b) +
+2a₁₂(x' + a)(y' + b) + a₀₀ = 0 ^
a₁₁(x'² + 2ax' + a²) + a₂₂(y'² + 2by' + b²) + (2a₁₀x' + 2aa₁₀) +
+2a₂₀y' + 2a₂₀b + 2a₁₂(x'y' + ay' + bx' + ab) + a₀₀ = 0 ^
aux’ + 2aaux’ + a² a,, + a22y'² + 2y’ba₂₂ + a22b² +
+2a₁₀x' + 2aa₁₀ + 2a₂₀y' + 2a₂₀b + 2a₁₂x'y' +
+2a₁₂ay' + 2a₁₂bx' + 2a₁₂ab + a₀₀ = 0
2a₁₀
—2a₂₀


x = x’’cosa — y’’sina
y = x’’sina + y’’cosa


(2aiia + 2a₁₂b =
2a₂₂b + 2a₁₂a =
a^x'² + a22y'² +A_oo = 0^ ■


kelib chiqadi.
a₁₁(x”cosa — y’’ sina)² + a₂₂(x’’ sina + y’’cosa)² +
+2a₁₂(x’’ cosa — y''sina)(x''sina + y''cosa) + X₀₀ = 0
a₁₁(x’’²cos²a — 2a₁₁x’’ cosay’’ sina + y’’²sin²a) +
+a₂₂(x’’²sin²a + 2x''sinay''cosa + y''²cos²a) +^₀₀ = 0 ^
a₁₁x’’²cos²a — 2a₁₁x’’ cosay’’ sina + a₁₁y’’² sin²a +
+a₂₂y’’² cos²a + 2a₁₃x''² sinacosa + 2a₁₂x''²y''²cos²a —

(11.42) -2a12x"y"sin^2a - 2a12y"^2sinacosa + X00 = 0 ^ (a11cos^2a + a22sin^2a + 2a12sinacosa)x"^2 + +(a11sin^2a + a22cos^2a - 2a12sinacosa)y"^2 + +(-2a11sinacosa + 2a22sinacosa + 2a12cos^2a - 2a12sin^2a)x"y" + -Moo = ^0 (a22 - a11)sin2a + 2a12cos2a = 0 ^ 2a12 tg2a = ^a22 X11*'^2 + X22y'^2 + Xoo = 0 tenglamani xususiy hollarini qaraymiz: A11 > 0, A22 > 0, Xoo < 0 bo‘lsa, ellips; A11 < 0, A22 < 0, Xoo > 0 bo‘lsa, ellips; A11 A22 < 0, Xoo > 0 bo‘lsa, giperbola; An A22 < ^0, ^oo < ^0 bo‘lsa, giperbola; A11 A22 < 0, Xoo = 0 bo‘lsa, nuqta; A11 = 0, A22 Xoo < 0, Xoo > 0 bo‘lsa, parallel to‘g‘ri chiziqlar hosil bo‘ladi. 1-Misol. Quyidagi tenglamaning geometrik ma’nosini tekshirib, uning kanonik tenglamasi tuzilsin: 5x^2 + 4xy + 8y^2 - 32% - 56y + 80 = 0. Yechish: Egri chiziqning jinsini aniqlash uchun A va M ni hisoblashga to‘g‘ri keladi:	5	2	- 16
A=	2	8	-28
	-16	- 28	80
	M =	B^2 -	AC = 4

-1296, X-A<0.


- 5 • 8 = -36 < 0.
Demak, berilgan tenglama haqiqiy ellipsdan iborat. Uning kanonik tenglamasining ko‘rinishi:


, . „ . A
^!%² + Cly² = —,
A1 = ¹ h + C + j(A - C)² + 4B² =

= ¹ [5 + 8 + 7(5 - 8)² + 4 • 2²] = 9;

C1 = 1[a + c - 7(^-O² + 4B² =
= 1[5 + 8 - 7(5-8)² + 4 • 2²
A -1296
— = = 36.
M -36
Demak, ellipsning kanonik tenglamasi
9x² + 4y² = 36


= 4;


yoki


2 2
X y² T + V⁼¹'
2-Misol. Ox o‘qi parabolaning simmetriya o‘qi bo‘lib, uning uchi koordinatalar boshida yotadi. Parabola uchidan fokusigacha bo‘lgan masofa 4 birlikka teng. Parabola va uning direktrisasi tenglamasini toping.


Yechish: Dastlab, masala shartiga asosan, parabolaning p parametrini topamiz:
|OF| = 4 ^ p/2 = 4 ^ p = 8.
Unda, (11.39) formulaga asosan, parabola tenglamasini topamiz:
y² = 2px ^ y² = 2 • 8x = 16%.
Bu yerdan direktrisa tenglamasi x = -p/2 ^ x = -4 ekanligini ko‘ramiz.


Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, y = ax² + bx + c (a ^ 0) kvadrat uchhadning grafigi uchi koordinatalari


*0 =


b
2a


4ac — b


4a


y =


bo‘lgan M₀(x₀; y₀) nuqtada, simmetriya o‘qi esa Oy o‘qiga parallel va x = -b/2a tenglamaga ega bo‘lgan vertikal to‘g‘ri chiziqdan tashkil topgan paraboladan iboratdir. Agar a > 0 bo‘lsa, parabola yuqoriga, a < 0 bo‘lsa, pastga yo‘nalgan bo‘ladi.





fazoda