Taqdimoti 2 Gruppa. Gruppaning sodda xossalari Reja

Yarim gruppa va monoid.
Ta’rif. (F; +, , 0,1) maydon, (K;+, , 0, 1) butunlik sohasi bo‘lsnn. Agar KF ning qism halqasi bo‘lsa; " (xF) (a,bK)x=ab-1 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda F ni K butunlik sohasining nisbatlari maydoni deyiladi. Ta’rif. Ratsional sonlar maydoni deb, butun sonlar halqasining nisbatlari maydoniga aytiladi va uni Q kabi belgilanadi. Misollar: 4. M={a,b} to‘plamni qo‘shish va ko‘paytirish amallarini quyidagicha aniqlaymiz: aa=bb=a, ab=ba=b, a©a=a©b=b©a=a, b©b=b bulardan bevosita ko‘rinadiki, a- (qo‘shish) amaliga nisbatan, b esa © (ko‘paytirish) amaliga nisbatan neytral element bo‘ladi. Tekshirib ko‘rish mumkinki (M; 0, ©, a,b) – maydon bo‘ladi.9. halqa bo‘ladi. Lekin u maydon bo‘lmaydi. Masalan, 3+2 Z , ammo (3+2 )-1=- . Demak, (Z ;+, ,0,1) maydon bo‘lmaydi.Halqa va maydonlarning gomomorfizmi (izomorfizmi), algebraik sistemalarning gomomorfizmi (izomorfizmi) ning xususiy holi sifatida qaraladi.
10. G = { | a, b  Q, a2 + b2> 0} to’plаmni hаlqа tаshkil etishini isbоtlаng.
Yechish. Hаlqа tа’rifigа ko’rа bеrilgаn to’plаmdа qo’shish vа ko’pаytirish аmаllаri аniqlаngаn bo’lishi hаmdа bu аmаllаrgа nisbаtаn quyidаgi хоssаlаr bаjаrilishi kеrаk:
1. -аdditiv аbеl gruppа.
2. -mulьtiplikаtiv gruppоid.
3. (A,A1,A2G), (A(A1+А2)=aa1 +Аa2;(A1+a2)А=a1А+a2А).

Gruppaning sodda xossalari.
Chekli yoki cheksiz to`plamda bitta algebraik amal aniqlangan deb faraz qilamiz. Demak bu amal to`plamda bajariluvchan va bir qiymatlidir. Bu yerda ham algebraik amalni ko`paytirish deb atab, istalgan ikkita element ko`paytmasini yoki ko`rinishda belgilaymiz. Shunday qilib, uchun bo`lib ikkita element ko`paytmasi ning yagona elementiga tengdir.1-ta`rif. Quyidagio ikkita aksiomaga bo`ysinuvchi chekli yoki cheksiz to`plam, yarimgruppa deyiladi:
Demak yarim gruppada bitta algebraik amal aniqlangan va ning elementlarini ko`paytirish assotsiativdir.
Masalan, butun sonlar to`plami yolg`iz qo`shish amali yoki yolg`iz ko`paytirish amaliga nisbatan yarimgruppa tashkil qiladi, P sonlar maydoni ustida n-tartibli kvadrat matritsalar to`plami ham matritsalarni qo`shish va ko`paytirishga nisbatan yarimgruppa tashkil etadi. 2-ta`rif. Quyidagi to`rtta aksiomaga bo`ysinuvchi chekli yoki cheksiz to`plam gruppa deb ataladi: 1) da algebraik amal aniqlangan); 2) da ko`paytirish assotsiativ). 4) (xar bir da o`ng teskari element mavjud). ko`rinishda belgilanadi gruppada ko`paytirish kommutativ bo`lishi shart emas.
Agar gruppa yana talabni ham qanoatlantirsa, ni kommutativ gruppa (yoki Abel gruppasi ), bo`lgan holda ni nokommutativ gruppa deyiladi. gruppaning shartni qanoatlantiruvchi elementlari o`rin almashinuvchi elementlar, bo`lgan holda esa o`rin almashinmas elementlar deyiladi. gruppaning quyidagi asosiy xossalarini ko`rib o`tamiz.1. gruppa ning o`ng birligi chap birlik ham bo`ladi. Xaqiqatdan , 3- aksioma bo`yicha yoki 4- aksiomada aytilgan ga muvofiq, Yana 4-aksiomaga ko`ra bo`lganligi sababli (1) dan ushbuni hosil qilamiz : yoki . Demak , element uchun o`ng birlik vazifasini bajaruvchi element chap birlik ham bo`ladi. da yagona birlik element mavjud , chunki va birlik elementlar bo`lsa, va dan , ko`paytmaning bir qiymatliligiga asosan darxol kelib chiqadi.2. Xar bir elementning o`ng teskari elemanti chap teskari element vazifasini ham bajaradi. Xaqiqatdan ham , bilan birga , 4-aksiomaga muvofiq bo`ladi. Buning ikkala tomonini chapdan ga ko`paytirib , quyidagiga ega bo`lamiz: yoki . Demak, (2) ko`rinishni oladi, yani element ning chap teskari elementi vazifasini ham bajaradi. ga teskari element mavjud, chunki va ni ga teskari element desak , . ga yagona teskari element ko`rinishda belgilanadi. Shunday qilib , va lar o`zaro teskari elementlar deyiladi.
3. dan va kelib chiqadi.