Taqdimoti 2 Gruppa. Gruppaning sodda xossalari Reja

Gruppa tushunchasi.
Gruppa (nem. Gruppe) — 1) guruh — biror jihati (belgisi, xususiyati, maqsad-gʻoyasi, faoliyati va b.) bilan oʻzaro bogʻliq yoki yaqin narsa va jonzodlar majmui (mas, qon G.si, ijtimoiy G.); 2) matematikada — algebraik sistemalarning bir turi. Mat. ning turli yoʻnalishlarini munosabatlar va amallar nuqtai nazaridan qayta koʻrib chiqish natijasida vujudga kelgan. G.lar nazariyasi mat. va uning tatbiqlarida koʻp uchraydigan algebraik amallarning eng umumiy xossalarini oʻrganadi. Mac, sonlarni koʻpaytirish, vektorlarni qoʻshish, almashtirishlarni ketma-ket qoʻllash va h. k.
Biror S toʻplamning ixtiyoriy a va b elementlariga uchinchi bir s elementini mos qoʻyuvchi * — amal kiritilgan boʻlib, quyidagi uch shart oʻrinli boʻlsa, G toʻplam deyiladi: 1) amal assotsiativ, yaʼni ixtiyoriy a, b, se G uchun (a*b) * c=a*(b*c) boʻladi; 2) amalga nisbatan birlik element mavjud, yaʼni G da shunday ye elementi borki, ixtiyoriy aye G uchun a*ye=ye*a~a boʻladi; 3) amalga nisbatan teskari elementlar mavjud, yaʼni G ning har bir a elementi uchun G da shunday a~’ element borki a*a-1=a~[*a=ye boʻladi. Mac: 1. Butun sonlar toʻplamidagi qoʻshish amaliga nisbatan birlik element 0; a ga teskari element (—a) boʻladi. 2. Noldan farqli xaqiqiy sonlar toʻplamida koʻpaytirish amalini qarasak, birlik element 1; a ga teskari element boʻladi. G. tushunchasi dastlab J. Lagranj ishlarida uchraydi. U algebraik tenglamalarni radikallarda yechish masalasi bilan shugʻullanganda oʻrniga qoʻyishlar G.sini ishlatgan. Oʻrniga qoʻyishlar G.sining xossalari va tenglamalar xossalari orasidagi gʻoyaviy chuqur bogʻlanishlar Abel va Galualar tomonidan ochib berilgan.
Keyinchalik G. tushunchasi geometriyada paydo boʻldi. Turli almashtirishlarga nisbatan geometrik shakllarning oʻzgarishini yoki oʻzgarmay qolishini oʻrganish sekin-asta almashtirishlarning oʻzini oʻrganishga olib keldi. Ingliz matematigi A. Keli (1821 — 1895) invariantlar nazariyasini tadqiq qilar ekan, har qanday chekli G. oʻrniga qoʻyishlar G.si orqali ifodalanishini koʻrsatdi. Sonlar nazariyasi sohasida ish olib borgan Gauss chekli Abel G.lari muhim ahamiyat kasb etishini isbotladi. Nazariy gʻoyalarning rivojlanishi mat.da muhim boʻlgan abstrakt G.lar tushunchasi yaratilishiga olib keldi. Li G.si — elementlari tabiatiga hech qanday shartlar qoʻymasdan, faqat kiritilgan amal nuqtai nazaridan oʻrganadigan yoʻnalish sifatida mat.ning mustaqil sohasi boʻlib shakllandi. G.lar nazariyasi ilm-fanning juda koʻp tarmoqlarida qoʻllaniladi. Mac, fizikada Galiley almashtirishlari G.si, nisbiylik nazariyasida Lorens almashtirishlari G.si vab. 3)geologiyada — bir geologik era davomida vujudga kelgan jinslar majmuini birlashtiruvchi umumiy stratigrafik shkala boʻlimi (qarang Eratema).
Musulmonqul Berdiqulov.

10
Gruppa tushunchasi.
j2(j1(y))=j2(y)=x(j2oj1)oj2=j1; [j2o(j1oj2)](x)=j2o(1(x)))= =j2(j1(y))=j2(y)=xj2o(j1oj2)= j1bulardan (j2oj1)oj2=j2o(1oj2) kelib chiqadi. Qolgan mumkin bo‘lgan hollarni ham shu kabi tekshirib ko‘rish mumkin. 20: G da j! Neytral element vazifasini bajaradi. 30: f, va f2 larning har biri o‘z - o‘ziga teskari bo‘ladi.
(j2oj2)(x)= j2(j2)(x)=j2(y)=xj2oj2=j1oj1 (j 2oj 2)(y)=j 2(j 2)(y)=j 2(y)=yj1(y) j 2oj 2=
(j1oj1)(x)=j1(j1(x))=j1(x),(j1oj1)(y)=j1(j1(y))=j1(y)j1oj1=j1
Demak, j1-1=j1j2-1=j 240: j1oj2=j2oj1 ekanligini bevosita tekshirib ko‘rish oson. Demak, (G; 0 , j1) Abel gruppasi ekan.G gruppa bo‘lsa, (aG) e*a=a. Va a'*a=e tengliklar ham o‘rinli bo‘ladi. Ta’rif. G gruppa GN bo‘lib, agar N to‘plam G da aniqlangan amalga nisbatan o‘zi gruppa bo‘lsa, u holda N gruppa G gruppaning qism gruppasi deyiladi. Misol 6. (2Z; + , 0) gruppa (Z; + , 0) gruppaning qismgruppasi bo‘ladi. Ta’rif. Aytaylik (G1; * ) va (G2; ) gruppalar bo‘lsin.Agar j:G1G2 - syur’ektiv akslantirish "(a,bÎG) j(a*b)=j(a)j(b) shartni qanoatlantirsa, G1 gruppa G2 gruppaga gomomorf deyiladi, j- akslantirish esa bu gruppalarning gomomorfizmi deyiladi.Agar j:G1G2 – biektiv akslantirish bo‘lsa, u holda G1 va G2 gruppalarning gomomorfizmi a ni izomorfizm deyiladi. Misol. 7. Aytaylik G1=Z, G2={2n::nÎ Z} bo‘lsin, uholda (Z; +, 0), (G2;  , 1) lar gruppalar bo‘ladi."(nÎZ) j(n)=2n, j:ZG2 biektiv akslantirish, shu bilan birga , " (n,mÎ Z) j (n+m)=2p+m=2n-2m=j(n)j (m) ekanligidan (Z; + , 0) gruppa {G2;  , 1) gruppaga izomorf. j esa ularning izomorfizmi bo‘ladi.