Taqdimoti 2 Gruppa. Gruppaning sodda xossalari Reja

2.2-amaliy mashg’ulot: Halqa va uning sodda xossalari. Butunlik sohasi. Halqalar gomomorfizmi. Halqa tushunchasi ham algebraning muhim xususiy ko‘rinishlaridan biridir. Ta’rif. Agar E to‘plamda + va binar algebraik amallarni aniqlangan bo‘lib u quyidagi shartlarni (halqa aksiomalarini) qanoatlartirsa (E, +,»,0) algebraik sistemani halqa deyiladi. l.a,bEa + b=b + a; 2.a,b,cE a + (b + c); 3. 0E, aE a+0=a; 4.aE(-a)E a+(-a) = 0; 5.a,bcE a=(bc)=(a,b)c; 6.a,bcE a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca Arap E halqada 70. a.bE ab=ba shart bajarilsa, bu holda E ni kommutativ halqa deyiladi. (E,+,0)-E halqaning additiv gruppasi deyiladi.Agar halqada ko‘paytirish amaliga nisbatan neytral element mavjud bo‘lsa, ya’ni
7. 1E, 10, aEa1=1a=a bo‘lsa, bu holda E ni birlik elementga ega bo‘lgan halqa deyiladi.
Agar ikkita sonning ko‘paytmasi nolga teng bo‘lsa, u holda ko‘paytuvchilarning kamida bittasi nolga teng bo‘ladi. Bu xossani istalgan halqa uchun tarqatib bo‘lmaydi, ba’zi halqalardan noldan farqli elementlarning shunday juftini ko‘rsatish mumkinki, ularning ko‘paytmasi nolga teng bo‘ladi, ya’ni a=0va b=0 lekin a-b =0; bunday xossaga ega bo‘lgan elementlarni nolning bo‘luvchilari deyiladi.
Nolning bo‘luvchilariga egabo‘lgan halqalarga misollarini, tabiiy, sonlar halqalar ichidan topish mumkin emas.

Yarim gruppa va monoid.
Ta’rif. Birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa nolning bo‘luvchilariga ega bo‘lmasa uni butunlik sohasi deyiladi. Misollar: 1. (Z; +; -; 0) algebraik sistemasi birlik elementiga ega bo‘lgan halqa bo‘ladi.
(Z, ;+;;0) algebraik sistemasi halqa bo‘ladi.
K={ : a,b Q) to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish , K lar uchun + = , - - ko‘rinishda aniqlangan bo‘lsa, (K,+, -) algebraik sistema <1,1> birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa bo‘ladi, bu halqa <1,0>=<0,1>=<0,0>, Bu yerda <1,0>=<0,0><0,1>=<0,0>. Bu halqada <0,0> va <0,b> lar ko‘rinshidagi elementlar nolning bo‘luvchilari bo‘ladi. Ta’rif. E halqa F esa uni bo‘sh bo‘lmagan qism to‘plami bo‘lsin, agar F to‘plam E da aniqlangan amallarga ko‘ra o‘zi halqa bo‘lsa, F halqa E halqaniig qism halqasi deyiladi. Misol. 3. (Z; +; -; 0) butun sonlar halqasi (Z, ;+;-;0) halqaning qism halqasi bo‘ladi. Ta’rif. Agar (R; + ,-, 0) kommutativ halqa va bu halqada 1) 1=P 1=0 =(a=0P) a=1=a; 2)(a=P) a=0, (a -1=P) a=a -1=1
shartlar (aksiomalar) o‘rinli bo‘lsa, u holda (P; +, -, 0,1) algebraik sistemasi maydon deyiladi. Ta’rif. P maydon, P1=P bo‘lib, (P1;+, -, 0, 1) maydon bo‘lsa, u holda P1 ni P maydonning qism maydoni deyiladi.