Tarixchilar ehtimollik nazariyasining rivojlanishida bir necha davrlarni ajratib ko'rsatishgan [5] [6]

Qadimgi zar naqshlari
Birinchi ehtimoliy vazifalar turli qimor o'yinlarida paydo bo'ldi - zar, karta va boshqalar. [8] 13-asrdagi frantsuz kanoneri Richard de Furnieval uchta zardan keyin barcha mumkin bo'lgan nuqtalarni to'g'ri hisoblab chiqdi va ushbu summalarning har birini olish usullarini ko'rsatdi. Ushbu usullar sonini, ehtimollikka o'xshash, kutilayotgan hodisaning birinchi raqamli o'lchovi sifatida ko'rib chiqish mumkin. Fournivaldan oldin va ba'zan undan keyin, masalan, 3 va 4 balllarning yig'indisi bir xil ehtimoli borligini hisobga olgan holda, ko'pincha noto'g'ri hisoblab chiqilgan, chunki ikkalasi ham "faqat bitta yo'nalishda" bo'lishi mumkin: rulon natijalariga ko'ra "uch birlik" va "ikkitadan ikkitasi" birliklari "mos ravishda. Uch birlik aslida bitta yo'l bilan olinishi hisobga olinmadi: {\ displaystyle 1 + 1 + 1}
, va ikkita birlikdan iborat dekus - uchta: {\ displaystyle 1 + 1 + 2; \; 1 + 2 + 1; \; 2 + 1 + 1} , shuning uchun bu hodisalar bir xil ehtimolli emas [9]. Shunga o'xshash xatolar keyingi fan tarixida bir necha bor topilgan.
Italiyalik Luka Pakioli (1494) tomonidan nashr etilgan "Arifmetika, geometriya, munosabatlar va nisbatlar yig'indisi" keng matematik entsiklopediyasida ushbu mavzudagi o'ziga xos topshiriqlar mavjud: agar ketma-ket o'yinlar muddatidan oldin to'xtatilsa, ikki o'yinchi o'rtasida tikish qanday bo'linadi. Shunga o'xshash vazifaning misoli: o'yin 60 ochkoga qadar boradi, g'olib 22 dukat miqdorida pul to'laydi, o'yin davomida birinchi o'yinchi 50 ochko to'pladi, ikkinchisi - 30, shundan so'ng o'yin to'xtatilishi kerak edi; Boshlang'ich stavkani adolatli ravishda taqsimlash talab qilinadi. Qaror "adolatli" degan ma'noni anglatadi; Pacioli o'zi to'plangan ballarga mutanosib ravishda taqsimlashni taklif qildi (55/4 va 33/4 dukatlar) [10]; Keyinchalik uning qarori xato deb topildi [11].
XVI asrning katta algebraisti Gerolamo Kardano o'yinni tahlil qilishga bag'ishlangan "Zar zarralari o'yinidagi kitob" (1526, vafotidan keyin nashr etilgan) ma'lumotli monografiyasini nashr etgan. Kardano ballar qiymati uchun to'liq va xatosiz kombinatsion tahlilni o'tkazdi va turli hodisalar uchun "qulay" hodisalar ulushining kutilgan qiymatini ko'rsatdi: masalan, uchta zarni tashlashda, barcha 3 zarning qiymatlari 6/216 yoki 1/36 ga to'g'ri keladigan holatlar nisbati. Kardano ehtiyotkorlik bilan ta'kidladi: o'rganilgan voqealar soni, oz sonli o'yinlar uchun nazariy jihatdan juda farq qilishi mumkin, ammo seriyalardagi o'yinlar qancha ko'p bo'lsa, bu farqning ulushi shunchalik kichik bo'ladi. Aslida, Kardano ehtimollik tushunchasiga yaqinlashdi [12]:
Shunday qilib, hisoblashning bitta umumiy qoidasi mavjud: mumkin bo'lgan tomchilarning umumiy sonini va ma'lumotlarning paydo bo'lish usullarini hisobga olish kerak, so'ngra oxirgi raqamning qolgan mumkin bo'lgan tomchilar soniga nisbati topiladi.
Yana bir italiyalik algebraist Nikkolo Tartalya, Patsiolining pul tikish masalasini yechishda yondashishini tanqid qildi: oxir-oqibat, agar o'yinchilardan biri bitta ochkoni qo'lga kirita olmagan bo'lsa, Pacioli algoritmi raqibiga to'liq tiklanishni beradi, ammo bu juda adolatli, chunki g'alaba qozonish uchun ba'zi imkoniyatlar mavjud. lagger hali ham bor. Kardano va Tartalya o'zlarining bo'linish usullarini taklif qilishdi, ammo keyinchalik bu usullar ham muvaffaqiyatsiz deb topildi [13].
"Zar o'ynayotganda ballarning chiqib ketishi to'g'risida" risolasini yozgan Galiley Galiley (1718, vafotidan keyin nashr etilgan) ham ushbu mavzuni o'rgangan. Galileyning o'yin nazariyasini taqdimoti har tomonlama va tushunarli. Galiley o'zining "Dunyoning ikkita yirik tizimidagi dialog, Ptolemeyik va kopernik tilidagi muloqoti" kitobida astronomik va boshqa o'lchovlar xatoligini taxmin qilish mumkinligini ta'kidlab, kichik o'lchov xatolar kattaroqroq bo'lishini ta'kidladi, ikkala yo'nalishda ham og'ish ehtimoli bir xil va o'rtacha natija bo'lishi kerak. o'lchangan qiymatning haqiqiy qiymatiga yaqin bo'lish. Ushbu sifat jihatlari tarixda birinchi bo'lib xatolarning normal taqsimlanishini bashorat qilgan edi [14].
XVII asr: Paskal, Farm, Gyuygens

Paskalning kombinatorial tadqiqotlarining asosi bo'lgan arifmetik uchburchak


XVII asrda ehtimolliklar nazariyasi muammolari to'g'risida aniq tasavvur shakllana boshladi va ehtimoliy muammolarni echishning birinchi matematik (kombinatorial) usullari paydo bo'ldi. Ehtimollar matematik nazariyasining asoschilari Blez Paskal va Per Fermat edi [15].
Bunga qadar, havaskor matematik, Chevalier de Mere, "ko'zoynak muammosi" deb nomlangan Paskalga murojaat qildi: bir vaqtning o'zida yo'qotish uchun kamida ikkita oltitani qo'yish uchun necha marta ikkita zar zarb qilish kerak edi? Paskal va Fermat bu muammo va u bilan bog'liq masalalar to'g'risida bir-birlari bilan yozishmalarga kirishdilar (1654). Ushbu yozishmalarning bir qismi sifatida olimlar ehtimoliy hisoblashlar bilan bog'liq bir qator muammolarni muhokama qilishdi; xususan, garovni ajratishning eski muammosi ko'rib chiqildi va ikkala olim ham taklifni yutib olishning qolgan imkoniyatlariga qarab bo'lish kerak degan qarorga kelishdi. Paskal de "Mere" "nuqta muammosini" hal qilishda yo'l qo'ygan xatosiga ishora qildi: de Mere tenglashtirilgan hodisalarni noto'g'ri aniqlab, javobni oldi: 24 ta otish, Paskal to'g'ri javob berdi: 25 ta otish [15] [16].
Paskal o'z yozuvlarida kombinatorial usullardan foydalanishni ancha ilgari surdi va uni "Arifmetik uchburchak to'g'risidagi risola" (1665) kitobida tizimlashtirdi [17]. Ehtimollikka asoslangan yondashuvga asoslanib, Paskal hatto (vafotdan keyin e'lon qilingan eslatmalarda) imonli bo'lish ateistdan ko'ra foydaliroq ekanligini isbotladi (Paskalning pul tikish qarang).

Xristian Gyuygens


Paskal va Fermatning munozara mavzusi (tafsilotlarsiz) Kristian Gyuygensga ma'lum bo'ldi, u o'zining "Qimor o'yinlaridagi hisob-kitoblar to'g'risida" (1657) o'z tadqiqotini nashr qilgan: ehtimollik nazariyasi to'g'risidagi birinchi risola [15]. Kirish qismida Gyuygens yozadi [18]:
O'ylaymanki, mavzuni sinchkovlik bilan o'rganish bilan o'quvchi uning nafaqat o'yin bilan shug'ullanishini, balki bu erda juda qiziqarli va chuqur nazariya asoslari qo'yilganligini payqaydi.
Gyuygens traktati Ferma va Paskal ko'rib chiqadigan masalalarni batafsil bayon qiladi, shu bilan birga yangi savollar tug'diradi [11]. Gollandiyalik olimning asosiy yutug'i matematik kutish kontseptsiyasini, ya'ni tasodifiy o'zgaruvchining nazariy o'rtacha qiymatini kiritish edi. Gyuygens, shuningdek, uni hisoblashning klassik usuliga e'tibor qaratdi [18]:
Agar summa {\ displaystyle a} bo'lgan holatlar soni bo'lsa.
 {\ displaystyle p} a ga teng, va {\ displaystyle b}  yig'indisi {\ displaystyle q}  ga teng bo'lsa, u holda men kutgan narsaning narxi {\ displaystyle {\ frac {ap + bq} { p + q}}} .
Iqtibosdan ko'rinib turibdiki, Gyuygens "xarajat" atamasini birinchi bo'lib ishlatgan va "kutish" atamasi Gyuygensning risolasini van Shouten tomonidan lotin tiliga tarjima qilishda birinchi marta paydo bo'lgan va fanda keng qabul qilingan [19].
Kitob ko'plab vazifalarni o'z ichiga oladi, ba'zilari echim bilan, boshqalari "mustaqil echim uchun". Ikkinchidan, "o'yinchini yo'q qilish muammosi" alohida qiziqish va jonli munozaraga sabab bo'ldi. Bir oz umumlashtirilgan shaklda u quyidagicha tuziladi: A va B o'yinchilari {\ displaystyle a}
 va {\ displaystyle b}  tanga, mos ravishda har bir o'yinda bitta tanga yutiladi, har bir o'yinda A yutib chiqish ehtimoli {\ displaystyle p,} ga teng bo'ladi  uning to'liq yo'q bo'lib ketish ehtimolini topish talab etiladi. "Buzilish muammosiga" to'liq umumiy yechim yarim asrdan keyin (1711) Avraam de Muavre tomonidan berildi [20]. Hozirgi vaqtda “vayronagarchilik muammosi” ning ehtimoliy sxemasi “tasodifiy yurish” turidagi ko'p muammolarni hal qilishda qo'llaniladi [21].
Gyuygens shuningdek, pul tikish masalasini ham tahlil qilib, uning yakuniy echimini topdi: tikish o'yin davom etganda g'alaba qozonish ehtimoliga mutanosib ravishda taqsimlanishi kerak [22]. Shuningdek, u birinchi bo'lib demografik statistikaga ehtimoliy usullarni qo'llagan va o'rtacha umr ko'rishni qanday hisoblashni ko'rsatgan [23].
Ingliz statistiklari Jon Graunt (1662) va Uilyam Pettining (1676, 1683) nashrlari o'sha davrga tegishli. Bir asrdan ko'proq vaqt davomida ma'lumotlarni qayta ko'rib chiqib, ular London aholisining ko'plab demografik xususiyatlari, tasodifiy dalgalanmalarga qaramay, juda barqaror ekanligini ko'rsatdi - masalan, yangi tug'ilgan o'g'il va qizlar sonining nisbati kamdan-kam hollarda 14 dan 13 gacha, mayda tebranishlar va o'lim darajasi aniq darajadan farq qiladi. tasodifiy sabablar. Ushbu ma'lumotlar ilmiy jamoalarni yangi g'oyalarni qabul qilishga tayyorladi [18].
Graunt shuningdek, birinchi marotaba o'lim ko'rsatkichlari jadvallarini - o'lim funktsiyalari yoshini belgilab qo'ydi. Ehtimollik nazariyasi va uni demografik statistikada qo'llash muammolari Gollandiyada Yoxann Xudd va Yan de Vitt tomonidan ham hal qilindi, ular 1671 yilda o'lim jadvallarini tuzdilar va ulardan hayotning yillik stavkalarini hisoblashda foydalandilar. To'liqroq savollarning ushbu doirasini 1693 yilda Edmund Xelli e'lon qilgan [11] [24].
XVIII asr
Gyuygensning kitobi Per de Montmo'rning "Qimor o'yinlarini o'rganish tajribasi" risolalariga (fr. Essay d'analyse sur les jeux de hazard; 1708 yilda nashr etilgan va 1713 yilda qo'shimchalar bilan nashr etilgan) va Yakob Bernulli 18-asr boshlarida paydo bo'lgan "Taxminlar san'ati" risolalariga asoslanadi. (lat. Ars conjectandi; olim vafotidan keyin nashr etilgan, xuddi shu 1713 yilda). Ikkinchisi ehtimollik nazariyasi uchun juda muhim edi [11].
Yoqub Bernulli tomonidan taxminlar san'ati

Yoqub Bernulli


Bazel, Tarix muzeyi
Jeykob Bernoulli "Taxminlar san'ati" risolasi ustida yigirma yil ishlagan, nashr etilishidan o'n yil oldin, ushbu asarning tugallanmagan qo'lyozma ko'rinishidagi matni butun Evropada tarqala boshladi va katta qiziqish uyg'otdi. Traktat ehtimollik nazariyasining birinchi tizimli ekspozitsiyasi bo'ldi. Ushbu kitobda muallif, ushbu voqea bilan bog'liq bo'lgan natijalar sonining umumiy natijalar soniga nisbati sifatida voqea ehtimolining klassik ta'rifini keltirgan (ishonchli voqea uchun ehtimol bitta, imkonsiz uchun nol). Bernoulli sistematik o'rganilgan ehtimollik sxemasi endi binomial tarqalish deb nomlanadi [25].
Ilgari, matematiklar juda ko'p natijalar asosida harakat qilishgan; Tarixchilarning fikriga ko'ra, miqdorni "chastota" ga almashtirish (ya'ni natijalarning umumiy soniga bo'lish) statistik mulohazalar bilan rag'batlantirildi: chastota, miqdordan farqli o'laroq, kuzatuvlar soni ko'payishi bilan barqarorlashishga moyildir. "Bernulli bo'yicha" ehtimollik ta'rifi darhol qabul qilindi, uni Avraam De Muavre "Ishlarning ta'limoti" kitobida (1718) va keyingi barcha matematiklar tomonidan qayta ishlangan. Yagona muhim tushuntirish 1812 yilda Per-Simon Laplas tomonidan qilingan "barcha boshlang'ich natijalar" bir xil ehtimol bilan bo'lishi kerak. Agar biron-bir voqea uchun klassik ehtimollikni hisoblash imkoni bo'lmasa (masalan, ehtimoliy natijalarni aniqlash qobiliyatining etishmasligi tufayli), Bernoulli statistik yondashuvdan foydalanishni, ya'ni ushbu voqeani yoki u bilan bog'liq voqealarni kuzatish natijalaridan kelib chiqqan holda ehtimolni hisoblashni taklif qildi.

"Taxminlar san'ati" risolasi


O'z risolasining birinchi qismida Bernoulli Gyuygensning kitobini to'liq nashr etadi, unga eng yuqori baho berilgan va o'z izohlarini jiddiy ravishda to'ldirgan. Xususan, u umumiy "Bernulli formulasini" beradi: agar voqea ehtimoli bo'lsa {\ displaystyle p}
, unda {\ displaystyle n}  sinovlarida voqeaning {\ displaystyle m}  marta sodir bo'lishi ehtimoli {\ displaystyle C_ {n} ^ {m} p ^ {m} (1-p) ^ {nm }} . Keyin Bernoulli kombinatorikani batafsil bayon qiladi va uning asosida tasodifiy tanlov bilan bir nechta muammolarni hal qiladi. Kitobning tugallanmagan oxirgi qismida Bernoulli ehtimollik nazariyasining iqtisodiy va boshqa amaliy qo'llanmalarini ko'rib chiqmoqchi edi [26].
Bernoulli tomonidan isbotlangan katta sonlar qonunining birinchi talqini ehtimollik nazariyasi uchun ham, umuman ilm uchun ham katta ahamiyatga ega edi (Poisson keyinchalik qonunga shunday nom berdi) [27]. Ushbu qonun nega statistik chastota kuzatuvlar sonining ko'payishi bilan uning nazariy ahamiyatiga - ehtimollikka yaqinlashishini va shu bilan ehtimollikning ikki xil ta'rifini bog'laydi. Keyinchalik, ko'plab matematiklarning asarlari tomonidan ko'p sonli qonunlar sezilarli darajada umumlashtirildi va takomillashtirildi; Ma'lum bo'lishicha, statistik chastotaning nazariy jihatdan tendentsiyasi tahlilda chegaralanish tendentsiyasidan farq qiladi - chastota kutilgan chegaradan sezilarli darajada chetga chiqishi mumkin va biz shuni aytishimiz mumkinki, bunday og'ish ehtimoli testlar sonining ko'payishi bilan nolga tushadi. Shu bilan birga, ehtimollikdan chastotaning og'ishi ham ehtimoliy tahlilga yordam beradi [28].
Bernoulli g'oyalarini ishlab chiqish

Muovra risolasi


"Ishlar doktrinasi"
Jacob Bernoulli traktati ehtimoliy muammolarga qiziqishning keskin o'sishiga va yangi muammolarni o'rganish sonining ko'payishiga olib keldi. Avraam Muavr bir nechta asarlar nashr etdi, ular orasida eng qiziqlari: "Tasodifni o'lchash yoki qimor o'yinlarining natijalari haqida" (1711) va 18-asrda uchta nashrni saqlab qolgan "Ishlar doktrinasi" (1718) risolasi. Ushbu risolada Moirre nafaqat yuqorida aytib o'tilgan "o'yinchini yo'q qilish muammosini" to'liq hal qildi, balki u uchun o'yinning o'rtacha davomiyligini va har bir o'yinchi uchun ma'lum miqdordagi o'yinlarda g'alaba qozonish ehtimolini hisoblab chiqdi [11] [29]. "Analitik aralashma" deb nomlangan boshqa bir ishda Muir Moirrning birinchi versiyasini taqdim etdi - Laplas teoremasi, u statistik chastotaning ehtimoldan chetga chiqishini taqsimlashni o'rganadi. Moire faqatgina ehtimolligi 1/2 bo'lgan ishni ko'rib chiqdi, har qanday ehtimolning umumiy holati Laplas tomonidan tasdiqlangan [30]. Muavrning yana bir yutug'i oddiy taqsimot haqidagi fanga birinchi kirish edi (1733), bunda binomial taqsimotning yaqinlashishi sifatida paydo bo'ldi [31].
Ehtimollik nazariyasi asoschisining jiyani Daniel Bernoulli ham ushbu fanga o'z hissasini qo'shgan. Moire qanday bo'lishidan qat'iy nazar, u kuzatishlar xatolarining normal taqsimlanishini o'rganib chiqdi, birinchi bo'lib matematik tahlil usullarini probabilistik muammolarga qo'lladi va ehtimoliy paradokslarning birinchisini nashr etdi (1738) [32].
Keyingi muhim qadam ingliz matematiki Tomas Simpson tomonidan amalga oshirildi, u "Ishning tabiati va qonunlari" kitobida (1740) raqamli tahlilida haqiqatdan ham uchinchi (klassik va statistik bilan birga) ehtimollik ta'rifini ishlatgan - cheksiz sonli doimiy tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rganish uchun mos geometrik. qadriyatlar. XXVI muammosida Simpson tasodifiy ravishda samolyotga tashlangan parallelepiped berilgan yuzida to'xtashi ehtimolini topdi [33].

Buffonning igna muammosi


Simpsonning yondoshuvi 1777 yilda geometrik ehtimollik muammosiga klassik misol keltirgan Jorj-Lui de Buffon tomonidan ishlab chiqilgan [31]. Keyinchalik bu ko'plab matematiklar tomonidan "Buffonning igna tashlash muammosi" bilan shug'ullangan: samolyot "o'lchagichda" yotqizilgan, igna tasodifiy tashlangan, ignaning chiziqdan o'tish ehtimolini topish kerak [33]. Agar igna uzunligi {\ displaystyle a} bo'lsa
 {\ displaystyle l}  satrlari orasidagi masofadan kichik bo'lsa, u holda qidiruv ehtimoli {\ displaystyle {\ frac {2a} {\ pi l}}}  ga teng. Ushbu formulani eksperimental ravishda bir necha bor, shu jumladan Buffonning o'zi ham sinab ko'rdi va 1901 yilda italiyalik matematik Mario Lazzarini {\ displaystyle \ pi}  sonini eksperimental ravishda aniqlashda foydalandi. Buffon muammosi, uni tahlil qilish va turli xil o'zgartirishlar ko'p yillar davomida matematiklar tomonidan muhokama qilingan [34].
Murakkab hodisalar ehtimolini hisoblashning eng muhim vazifasi hal qilindi. Ingliz matematikasi Tomas Bayes bir nechta nomuvofiq hodisalar uchun ehtimollik qo'shilish teoremasini va ehtimollik nazariyasi va statistikasida asosiy bo'lgan "Bayes formulalari" ni (vafotidan keyin e'lon qilingan 1763) taqdim etgan. Zamonaviy terminologiyada Bayesiya formulalari shartli ehtimollikni hisoblash, shuningdek yangi ma'lumotlarni olgandan keyin hisoblangan ehtimollikni aniqlashtirishga imkon beradi. Moyavre ilgari ehtimolning ko'payish teoremasini (1718) kashf etgan va unga zamonaviy, og'zaki bo'lsa ham shunday ta'rif bergan: "Ikki bog'liq hodisaning sodir bo'lish ehtimolligi, ulardan bittasining sodir bo'lish ehtimoli va agar birinchisi allaqachon paydo bo'lgan bo'lsa, ikkinchisining paydo bo'lishi ehtimoliga teng". [35].
18-asrning o'rtalariga kelib, o'yinlarni tahlil qilish hali ham qiziqishni uyg'otdi - masalan, Leonhard Eyler lotereyalarning har xil turlarini batafsil tahlil qildi [36], ammo demografik statistika, sug'urta va xatolarni baholash (o'lchash, yaxlitlash va hk) tobora ko'proq matematiklarning diqqat markazida bo'lmoqda. .). Eyler ko'p ishlarni statistika va sug'urtalashga bag'ishladi; xususan, u muammoni hal qildi: statistik jadvallardan baholash uchun, {{displaystyle m} yoshidagi odamning ehtimolligi qanday?
 yil yana {\ displaystyle n}  yil yashaydi [37].
XIX asr

Umumiy tendentsiyalar va tanqid
19-asrda ehtimollik nazariyasi bo'yicha ishlar ko'payishda davom etdi, hatto fanni uning usullarini oqilona chegaralar doirasidan tashqariga chiqarishga urinishlar bo'ldi, masalan axloq, psixologiya, huquqni muhofaza qilish va hattoki ilohiyot sohalarida [38]. Xususan, uels faylasufi Richard Prays va undan keyin Laplas, Bayesning formulalari bilan quyoshning chiqishi ehtimolini hisoblash mumkin deb hisoblagan [39], Puyson sud hukmlarining asosliligi va guvohlik guvohliklarining ishonchliligi bo'yicha ehtimoliy tahlilni o'tkazishga harakat qilgan [40]. 1843 yilda faylasuf J.S.Mill bunday spekulyativ dasturlarga ishora qilib, ehtimollik hisoblashini "matematikaga sharmandalik" deb atadi [41]. Bu va boshqa baholar ehtimollik nazariyasini asoslashda qat'iylik yo'qligini ko'rsatdi.
Ehtimol ehtimollik nazariyasining matematik apparati takomillashishda davom etdi. O'sha paytda uni qo'llashning asosiy sohasi tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan kuzatuvlar natijalarini matematik qayta ishlash, shuningdek sug'urta biznesidagi xavflarni hisoblash va boshqa statistik ko'rsatkichlar edi. Ehtimollik nazariyasi va 19-asrning matematik statistikasining asosiy amaliy muammolaridan quyidagilar [42]:
Xuddi shu (ma'lum) taqsimot qonuniga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi berilgan chegaralar ichida bo'lishi ehtimolini toping. Ushbu muammo o'lchov xatolar nazariyasi uchun, birinchi navbatda, kuzatishlar xatolarini baholash uchun alohida ahamiyatga ega edi;
tasodifiy qiymatlar yoki bunday qiymatlar seriyasidagi farqlarning statistik ahamiyatini aniqlash. Misollar: yangi dori haqiqatan ham yaxshiroq yoki yo'qligini aniqlash uchun yangi va eski dorilarni qo'llash natijalarini taqqoslash;
berilgan omilning tasodifiy o'zgaruvchiga ta'sirini o'rganish (omil tahlili).
19-asrning o'rtalariga kelib, artilleriya o'qlarining ehtimoliy nazariyasi shakllanmoqda. Evropaning aksariyat mamlakatlarida milliy statistika tashkilotlari tashkil etilgan. Asr oxirida ehtimoliy usullarni qo'llash sohasi fizika, biologiya, iqtisod va sotsiologiyaga muvaffaqiyatli kengaya boshladi [43] [44].
Gauss, Laplas, Poisson
Doimiy astronomik hisob-kitoblar bilan shug'ullanadigan Karl Fridrix Gauss xatolarni o'z ichiga olgan o'lchovlar bilan ishlashning ehtimoliy usulini ishlab chiqdi (1809). Oddiy taqsimotni chuqur o'rganib chiqdi, ko'plab amaliy vaziyatlarda bu tasodifiy qiymatlar chegarasi ekanligini, o'lchangan qiymatni va uning tarqalish diapazonining parametrlarini hisoblash uchun eng kam kvadratchalar usulidan foydalanishni oqladi. Gauss nazariyaning yakuniy variantini ikkita asarda taqdim qildi, "Tasodifiy xatolarga yo'liqqan kuzatuvlarning kombinatsiyasi nazariyasi" (1823, 1828) [45]. Oddiy qonun Gaussdan ancha oldin ma'lum bo'lgan bo'lsa ham, uning ushbu eng muhim taqsimot nazariyasiga qo'shgan hissasi shunchalik kattaki, uzoq vaqt davomida oddiy qonun "Gauss qonuni" deb nomlandi; zamonaviy atama Karl Pirsonning XIX asr oxiridagi faoliyati tufayli belgilandi [44].
Ehtimollar nazariyasining asosiy yutuqlari Laplasning kapital monografiyasida, ushbu fanning "klassik bosqichini" yakunlagan tahliliy ehtimollik nazariyasi (1812) da jamlangan. XIX asrda Laplasning asarlari Frantsiyada uchta bosmaga bardosh berib, dunyoning ko'plab tillariga tarjima qilingan [43]. Laplas diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rgangan (hali "tasodifiy o'zgaruvchi" atamasini kiritmasdan) va u doimiy ravishda Daniel Bernoulli tomonidan ishlatilgan va cheklangan holda ishlatilgan ehtimollik taqsimotining asosiy tushunchasini berdi. Taqsimot funktsiyasining integral tushunchasi ancha keyinroq paydo bo'ldi (1912 yilda A. M. Lyapunov tomonidan kiritilgan); "tasodifiy o'zgaruvchi" umumiy atamasi birinchi marta rus ehtimoliy maktabining asarlarida paydo bo'lgan [46]. Ehtimollar zichligi va xarakterli funktsiyalarning kiritilishi Laplasga ehtimoliy muammolarni, shu jumladan qisman derivativlarda differentsial tenglamalarni echishda kuchli analitik vositalarni qo'llashga imkon berdi [40].
Laplas bir nechta nomuvofiq "sabablar" (zamonaviy terminologiyada "farazlar") uchun to'liq ehtimollik formulasini olib keldi, bir qator cheklash teoremalarini isbotladi, shu jumladan Moyavre - Laplas teoremasi va binomial tarqalishning normal holatga yaqinlashishi sinovlar sonining ko'payishi bilan. Kitobning muhim qismi statistik qo'llanmalar va muammolarni echishga bag'ishlangan. O'lchangan qiymatlarning mumkin bo'lgan diapazonini baholash uchun Laplas, Gauss kabi, eng kam kvadrat usulni tavsiya qildi [47].
Laplas shuningdek, tasodif va ehtimollikning mohiyatini tushunishini ham tasvirlab bergan. Uning fikriga ko'ra, real jarayonlarning yo'nalishi to'liq oldindan belgilanadi ("aniqlangan"), tasodifiylik faqat inson idrokida paydo bo'ladi va odam nima bo'layotgani to'g'risida to'liq ma'lumotga ega bo'lmaganda paydo bo'ladi [48]:
Har qanday daqiqada tabiatni harakatga keltiruvchi barcha kuchlarni va uning barcha tarkibiy qismlarining nisbiy pozitsiyasini biladigan aql, agar qo'shimcha ravishda ushbu ma'lumotlarni tahlil qilishga bo'ysundirish uchun etarlicha keng bo'lib chiqsa, bitta formulada koinotning eng katta jismlarining harakatini teng asosga oladi. eng engil atomlarning harakatlari bilan; unga ishonib bo'lmaydigan hech narsa qolmaydi, kelajak ham o'tmish kabi uning nigohi oldida paydo bo'ladi.
1837 yilda Simeon Denis Poisson ko'p sonli Bernulli qonunini umumlashtirdi va har bir o'yinda voqea ehtimoli bir xil bo'lish shartini olib tashladi; Ushbu yangi sharoitlarda statistik chastota individual o'yinlarning ehtimolligi uchun arifmetik o'rtacha qiymatga aylanadi [49]. U voqea ehtimoli nolga yaqin yoki birlikka yaqin bo'lgan taqdirda Bernulli sxemasini tasvirlash uchun qulay bo'lgan Poisson formulasini nashr etdi. Poisson taqsimoti ("kamdan-kam uchraydigan hodisalar qonuni") amaliy muammolarning eng asosiylaridan biri hisoblanadi, masalan, radioaktiv parchalanish, uchliklarning tug'ilishi, baxtsiz hodisalar va baxtsiz hodisalar statistikasi bunga bo'ysunadi [50].
O'lchov xatosi nazariyasi
Ushbu sohadagi asosiy muammo quyidagilar. Ma'lum miqdordagi ketma-ket o'lchovlar {\ displaystyle n}
 yaqin, ammo teng bo'lmagan qiymatlar. Tizimli xatolar va miqdorning o'lchash vaqtiga bog'liqligi (aytaylik, osmon gumbazini aylantirish paytida) hisobga olinadi, shunda ma'lumotlardagi farq shunchaki tasodifiy xatolar tufayli yuzaga keladi. O'lchov natijalaridan o'rganilgan qiymatning haqiqiy qiymatini eng yaxshi baholashni topish kerak [51].
Ushbu amaliy ahamiyatga ega bo'lgan (ayniqsa astronomiyada) birinchi matematik tadqiqni Tomas Simpson (1755) o'tkazgan. U o'lchov xatolari "uchburchaklar qonuni" bo'yicha taqsimlangan degan noto'g'ri farazdan kelib chiqqan, ammo to'g'ri xulosaga kelgan - o'lchash natijalarining arifmetik o'rtacha qiymati yagona o'lchovga qaraganda haqiqiy qiymatga yaqinroq. Daniel Bernoulli (1778) xatolar tarqalishining zichligi aylananing yoyi ekanligiga ishongan, ammo Simpsonning xulosasi tasdiqlangan [52]. Simpsonning g'oyalari birinchi bo'lib funktsiyalarni ishlab chiqarish usulini va maksimal ehtimollik usulini qo'llagan I. G. Lambert tomonidan ishlab chiqilgan, keyinchalik R.E.Fisher [53] tomonidan umumlashtirilgan.
XIX asrda Laplas ta'kidlaganidek, o'lchov xatolari odatda ko'plab tasodifiy xatolarning yig'indisi natijasidir va shuning uchun ularning tarqalishi normal holatga yaqin bo'lishi kerak. Arifmetik o'rtachaning o'rniga u statistik vositani taklif qildi. Ammo deyarli bir vaqtning o'zida ancha amaliy amaliy Gaussning eng kam kvadratchalar usuli (1809) nashr qilindi va u keng qo'llanila boshladi. 1853 yilda Koshi arifmetik o'rtacha qiymat juda past bo'lgan taqsimot misolini topdi. 19-asrning oxiriga kelib, xatolar bilan ishlashning statistik nazariyasi asosan yakunlandi [52].
Bertrandning paradokslari
1889 yilda frantsuz matematiki Jozef Bertrand "Ehtimollar tahlili" kursida geometrik ehtimollik bilan bog'liq qator paradokslarni taklif qildi. Har bir paradoksda "tasodifiy" yoki "o'zboshimchalik bilan olingan" tushunchalarini turlicha talqin qilish muammoning turli xil echimlariga olib keldi. Bertrandning paradokslaridan biriga misol: tanlangan aylananing tasodifiy akdasi bu doirada yozilgan uchburchakning yonidan uzunroq bo'lish ehtimolini topish. "Tasodifiy" akkordni tanlashning turli usullari bilan turli xil javoblar olinadi.

1-usul



2-usul


3-usul

Bertrandning paradokslari muhokamasi ehtimollik nazariyasining asoslarini va "teng ehtimolli" atamasining ma'nosini aniqlab berishga yordam berdi [54].
Statistik fizika

Lyudvig Boltsman


19-asrning o'rtalariga qadar ehtimollik nazariyasining amaliy qo'llanilishi asosan statistika va taxminiy hisob-kitoblar bilan cheklangan edi, shuning uchun "tasodifiy o'zgaruvchi" umumiy atamasi kechroq paydo bo'lgan [55]. 1827 yilda Robert Braun tomonidan mikroskop ostida o'rganilgan suvda suzuvchi gul changlarining tasodifiy harakati fizikadagi birinchi tasodifiy jarayonlardan biri edi. Ammo uning matematik modeli faqat 20-asrning boshlarida paydo bo'ldi (A. Eynshteyn, M. Smoluxovskiy, N. Wiener) [56].
Birinchi fizik ehtimollik modellari 19-asrning ikkinchi yarmida L. Boltszman, D.K. Maksvell va D.W.Gibbs tomonidan ishlab chiqilgan statistik fizikada vujudga keldi. Boltszman bir qator asarlaridagi (1870-yillar) termodinamik qonuniyatlar tabiatda ehtimoliy-statistik xususiyatga ega ekanligini va fizik tizimlarning ehtimolligi past bo'lgan holatdan ehtimolligi yuqori bo'lgan holatga o'tishi bilan bog'liqligini va entropiya ehtimollik o'lchovi ekanligini ko'rsatdi. Shu yillar davomida Maksvell gazdagi molekulyar tezliklarning tarqalishi qonunini aniqladi, bu molekulalarning energiyasini, o'rtacha yo'lini va boshqa xususiyatlarini hisoblash imkonini beradi. 1902 yilda Gibbs fizikaning rivojlanishiga katta ta'sir ko'rsatgan Statistik mexanikaning asosiy printsiplari monografiyasini nashr etdi [57]. 19-asrning oxiriga kelib, ehtimoliy usullarning katta amaliy ahamiyati umume'tirof etilgan haqiqatga aylandi.
Rus maktabi
Rossiyada, 19-asrning birinchi yarmida, ehtimollik nazariyasi bo'yicha jiddiy tadqiqotlar boshlandi. Birinchi o'quv kursi S. Revkovskiy tomonidan Vilnyus universitetida (1829) o'qitila boshlandi va 1830 yilda u erda Rossiya imperiyasida birinchi ehtimollik nazariyasi kafedrasi tashkil etildi. Peterburg universitetida 1837 yildan ma'ruzalarni birinchi bo'lib V. A. Ankudovich, 1850 yildan esa V. Ya. Bunyakovskiy o'qidilar. Bunyakovskiy 1846 yilda "Matematik ehtimollar nazariyasining asoslari" asosiy o'quv qo'llanmasini nashr etdi va u tomonidan ixtiro qilingan rus atamasi umum qabul qilindi. Kurs 1850 yilda Moskva Universitetida paydo bo'lgan, ma'ruzalarni Moskva Matematik Jamiyatining bo'lajak prezidenti A. Yu.Dovidov o'qigan [58].
Ehtimoliy mavzular bo'yicha maqolalar Rossiyaning ko'plab yirik matematiklari tomonidan nashr etilgan, shu jumladan M.V. Ostrogradskiy, ND Brashman, N. I. Lobachevskiy, N. E. Zernov. Ushbu asarlarning muhim qismiga Laplasning yozuvlari va qarashlari kuchli ta'sir qiladi [59].

P. L. Chebyshev


Ehtimollar nazariyasida birinchi rus-jahon matematiklari P. L. Chebyshev va uning shogirdlari A. A. Markov va A. M. Lyapunov edilar. Chebyshev ilmiy karerasining boshidanoq ehtimollik nazariyasiga (sonlar nazariyasi bilan) katta e'tibor qaratgan va 1860 yildan boshlab u ehtimoliy nazariya kafedrasida Bunyakovskiyni almashtirgan va ma'ruza tsiklini boshlagan. U ushbu mavzu bo'yicha faqat to'rtta asarni nashr etdi, ammo fundamental xususiyatga ega. Uning "O'rtacha qiymatlar to'g'risida" (1866) maqolasi, ayniqsa, Markov tomonidan mustahkamlangan "Chebyshev tengsizligi" ni ta'kidlaydi:
{\ displaystyle \ mathbb {P} \ chap (| x-Mx | \ geqslant k \ sigma \ o'ng) \ leqslant {\ frac {1} {k ^ {2}}}} .

Chebishev tengsizligi, tasodifiy o'zgaruvchining katta matematik ehtimolini uning matematik kutishidan cheklash


Ushbu formula har qanday tasodifiy o'zgaruvchining o'zgarishi mumkinligini anglatadi {\ displaystyle x}
Average uning o'rtacha qiymatidan (matematik kutish) {\ displaystyle Mx}  {\ displaystyle k}  standart og'ishlardan ({\ displaystyle \ sigma} ) ortiq {{displaystyle {\ frac {1} {k ^ {dan oshmaydi. 2}}}} . Masalan, 5 {\ displaystyle \ sigma} of ning og'ish ehtimoli 1/25 dan oshmasligi, ya'ni 4% dan oshmasligi kerak.
O'zining tengsizligi natijasida, Chebishev ko'p sonlar qonunining juda umumiy ifodasini oldi: agar {{displaystyle n} seriyasining matematik taxminlari.
 bu matematik taxminlarning tasodifiy o'zgaruvchilari va kvadratlarining yig'indisi cheklangan, so'ngra {\ displaystyle n} increasing ortib, bu qiymatlarning arifmetik o'rtacha qiymati ularning matematik kutishlari uchun arifmetik o'rtacha qiymatga aylanadi. Ushbu teoremadan biz Bernoulli va Poisson teoremalari natijasida olamiz; Birinchi marta Chebyshev ushbu teoremalar va boshqa yaqinlashuvlarning to'g'riligini qat'iy baholadi [60].
1887 yilda Chebishevning "Ehtimollar to'g'risida ikkita teorema to'g'risida" maqolasi chiqdi. Ushbu ishda u ma'lum bir (juda umumiy) sharoitlarda chegara teoremasini ushlab turishini aniqladi: ko'p sonli mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi (masalan, o'lchov xatolari) taxminan normal qonunga muvofiq taqsimlanadi va aniqrog'i, qancha ko'p termin mavjud bo'lsa. Bu natija, uning umumiyligi bo'yicha, Moyavre - Laplas teoremasidan va uning barcha o'xshashlaridan ancha ustundir [61]. Keyinchalik A. A. Markov va A. M. Lyapunov ushbu Chebishev teoremasini aniqladilar va yanada umumlashtirdilar.
Ushbu ikkala Chebyshev teoremalari ehtimollik nazariyasida markaziy o'rinni egallaydi. Chebishev nafaqat chegara taqsimotini ko'rsatibgina qolmay, balki har ikkala holatda ham ushbu chegaradan mumkin bo'lgan og'ish chegaralarini batafsil tahlil qilganligi alohida ahamiyatga ega.
Agar Chebyshev mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarni o'rgangan bo'lsa, unda A. A. Markov 1907 yilda yangi tasodifiy qiymat eskisiga bog'liq bo'lgan vaziyatni hisobga olgan holda tadqiqot sohasini kengaytirdi. Markov bir-biriga bog'liq bo'lgan ba'zi umumiy turlari uchun katta sonlar qonunining bir variantini isbotlab, dunyo ilm-fanining terminologiyasiga "Markov zanjiri" ni kiritdi. Markov ko'plab ishlarni ushbu zanjirlarni tahlil qilish va tasniflashga bag'ishladi; Markov zanjirlari va Markov tasodifiy jarayonlari nafaqat matematikada, balki statistika fizikasi, kvant mexanikasi, avtomatik boshqarish nazariyasi va boshqa ko'plab fanlarda qo'llaniladi [62]. Markov, shuningdek, eng kichik kvadratlar usulining ehtimoliy asoslanishiga tegishli [63].

1. M. Lyapunov, ehtimollik nazariyasida cheklangan teoremalar nazariyasiga xarakterli funktsiyalar usulini kiritish masalasiga tegishli [63].

   
   

XX asr
Nazariy savollar va matematik usullar
XX asrda Chebishev va Markovning izlanishlari A. Ya. Xinchin, A. N. Kolmogorov va boshqalar tomonidan davom ettirildi, xususan, Jarl V. Lindeberg (1922) va Kolmogorov (1926) ko'p sonli qonunlar bajarilishi uchun zarur va etarli sharoitlarni topdilar [64. ].
Ehtimollar nazariyasining matematik apparati ko'plab yo'nalishlarda juda boyidi. O'lchov nazariyasini ishlab chiqqandan so'ng, ushbu umumiy tushuncha ehtimollik nazariyasiga, ya'ni ehtimollikni ko'plab "qulay voqealar" ning o'lchovi (cheksiz yoki cheksiz) sifatida ko'rib chiqish uchun qulay bo'lib chiqdi. Bunday yondoshish, nazariyaning yaxshi rivojlangan tilida ehtimollik xususiyatlarini tasvirlashga va o'rganishga imkon beradi [65].

Uchta tanadagi muammodagi xaotik harakat (kompyuter simulyatsiyasi)


Dinamik tizimlar nazariyasida ba'zi tizimlarning differentsial tenglamalari echimlari tasodifiy jarayonlar kabi harakat qilishi aniqlandi. Ushbu yirik kashfiyot "dinamik betartiblik" va umumiy "betartiblik nazariyasi" tushunchasini yaratishga olib keldi. Bitta misol, samoviy mexanikaning "uch tanali muammosi" [66].
20-asrgacha, odatda, binomial va (ba'zan) Poisson taqsimotlari asosan ishlatilgan, ammo ko'plab boshqa nazariy qonunlar amalda foydali bo'lgan. Masalan, mantiqiy bo'lmagan taqsimot ko'pincha o'rganilayotgan miqdor bir necha mustaqil ijobiy tasodifiy o'zgaruvchilarning natijasi bo'lgan holatlarda uchraydi.
Ehtimollar metodlari nazariy va amaliy matematikaning ko'plab sohalarida, hatto sonlar nazariyasi [68] yoki mantiq [69] kabi klassik usullarda ham o'z samarasini berdi. O'z navbatida, zamonaviy ehtimollik nazariyasi 20-asrda paydo bo'lgan funktsional tahlil, topologiya va matematikaning boshqa sohalarida ishlab chiqilgan usul va yondashuvlardan foydalanadi [70].
Matematik statistika yarating

Karl Pearson


Matematik usullarni statistikada qo'llash Gyugens va Laplasdan Quetelet va Galtongacha ko'plab olimlar tomonidan amalga oshirilgan. Matematik statistika tasodifiy o'zgaruvchilar to'g'risida ishonchli qarorlarni qabul qilish uchun asos sifatida XIX-XX asr oxirlarida Galton shogirdi Karl Pirsonning fundamental ishlari tufayli paydo bo'ldi. Pearson korrelyatsiya nazariyasini, kelishuv mezonlari, regressiya tahlilini, gipotezani sinash algoritmlarini, qarorlarni qabul qilishni va parametrlarni baholashni ishlab chiqdi [71]. Pearson taklif qilgan algoritmlar fizika, tibbiyot, biologiya, sotsiologiya, qishloq xo'jaligi va boshqalarda keng qo'llaniladi. [72]
20-asrning birinchi yarmida Pearsonning amaliy matematik statistika bo'yicha ishlarining eng mashhur izdoshi Ronald Aylmer Fisher edi. U eksperiment dizayni bo'yicha ishlarni nashr etdi, maksimal ehtimollik usulini ishlab chiqdi, statistik ahamiyatliligini sinovdan o'tkazdi, tafovutlarni tahlil qildi va bir qator boshqa muhim statistik muammolarni hal qildi. Eji Neumann bilan birgalikda u ishonch oralig'i kontseptsiyasini ishlab chiqdi (1937). Fisher umume'tirof etilgan "tasodifiy o'zgaruvchining o'zgarishi" (Inglizcha varianlik) atamasining muallifidir [73].
O'tgan asrning 20-yillaridan boshlab sanoat mahsulotlarining statistik sifat nazorati nazariyasi jadal rivojlanmoqda. Ushbu mavzu bo'yicha birinchi muammoni 1846 yilda Tomas Simpson ko'rib chiqqan. Ommaviy ishlab chiqarishda mahsulot sifatini tekshirish uchun mahsulotning bir yoki bir nechta partiyasidan qanday usul bilan olib tashlanishi kerakligini aniqlash kerak [74].
Bugungi kunda aksariyat hollarda teskari natijalar beradigan (masalan, uyali telefonlar yoki genetik modifikatsiyalangan mahsulotlarning yo'qligi yoki yo'qligi) statistik tadqiqotlar ko'pligi statistik so'rovning ishonchli xulosalarini berish muammosini keltirib chiqardi va ko'pincha muhokama qilinadi. Eng ko'p uchraydigan xato - bu o'rganilayotgan omillarning statistik bog'liqligi (korrelyatsiya) go'yo ular orasidagi sabab-oqibat bog'liqligini ko'rsatadi, degan xabar, lekin ko'pincha bu omillarning o'zaro bog'liqligi ularning bir yoki bir nechta uchinchi omillarga bog'liqligi bilan izohlanadi [75]. "Statistik qaramlik, qanchalik kuchli bo'lishidan qat'i nazar, hech qachon sabablar bilan bog'liqlikni o'rnatolmaydi: sabab haqidagi fikrlarimiz statistikaning tashqarisidan, oxir oqibat boshqa bir nazariyalardan kelib chiqishi kerak" [76].
Tasodifiy jarayonlar

Tasodifiy jarayonlarni yozib olish (oq shovqin)


20-asrning boshlarida paydo bo'lgan tasodifiy (yoki stoxastik) jarayon tushunchasi ehtimollik nazariyasining markaziy, tez rivojlanayotgan va eng foydali qo'llanmalaridan biriga aylandi. Tasodifiy jarayon vaqt ichida tasodifiy o'zgaruvchidir. Tasodifiy jarayonlarning birinchi izlanishlari asosan elektronika va aloqa nazariyalari xabarlariga tegishli bo'lib, hozirgi kunda iqtisodiyot yoki tibbiyot sohasidagi vaqtlar qatori, ro'yxatga olish nazariyasi mexanizmlari, aholi biologiyasining hayot statistikasi misollarini keltiramiz. Amaliy qo'llanilishning keng doirasi navbat nazariyasiga ega. Tasodifiy jarayonlarni tahlil qilishning odatiy vazifalari orasida [77]:
o'tmish tarixiga asoslanib, jarayonning rivojlanishini prognoz qilish;
shovqin shovqinining fonida ishonchli signal izolyatsiyasi;
parametrlarni baholash va optimallashtirish (masalan, ish vaqti mumkin);
kerakli chiqish jarayonini olish uchun kirish tasodifiy jarayonini filtrlash.
Tasodifiy jarayonlarning turlari tasniflanadi, ularni tadqiq qilish uchun analitik vositalar (korrelyatsiya va kovaryatsion funktsiyalar, spektral parchalanish) ishlab chiqilgan [78] [79]. Stokastik differentsial tenglamalar, stoxastik integral, spektral tahlil va filtrlash vositalari kabi jarayonlarni tahlil qilish uchun shunday yangi vositalar ishlab chiqilgan [80].
Yangi dasturlar
Ehtimoliy usullarning yangi qo'llanmalari XX asrda doimiy ravishda va ko'plab fanlarda paydo bo'ldi; ushbu tendentsiyada ba'zi muhim voqealarni qisqacha sanab o'tamiz.
Fizika
1920-yillarda yaratilgan kvant mexanikasining markaziy kontseptsiyasi murakkab to'lqin funktsiyasidir, uning kvadrat moduli Kopengagen talqiniga ko'ra, kosmosning ma'lum bir nuqtasida mikropartikulani aniqlashning ehtimollik zichligini belgilaydi. Agar biz ushbu talqinni qabul qilsak, unda mikroto'lqinli matematik modelda tasodifiylik muqarrar va Laplasning determinizmi mutlaqo rad etiladi [81]. Mikroto'lqinlar uchun Bose - Eynshteyn va Fermi - Dirakning maxsus kvant statistikasi ishlab chiqilgan.


Biologiya
Mendel va Morganning kashfiyotlaridan so'ng, irsiy belgilar avlodlarga otadan ikkita belgi (allellar) va onadan olingan ikkita o'xshash allellardan bittasining tasodifiy kombinatsiyasi orqali o'tishlari ma'lum bo'ldi. Otaning allelini tasodifiy tanlash bir vaqtning o'zida kelajak avlodning jinsini aniqlaydi. Tasodifiy mutatsiyalar bu jarayonga qo'shimcha ravishda qarshi qo'yilgan, shuning uchun ehtimollik usullari genetika asosini tashkil qilgan. Ular biologik populyatsiyalarning rivojlanishini o'rganish va boshqarishda ham qo'llaniladi [82]. Probabilistik yondashuvlar filogenetik daraxtlarni qurish uchun maxsus hisoblash algoritmlari va kompyuter dasturlaridan foydalanishni o'z ichiga oladigan hisoblash filogenetikasida (masalan, katta ehtimollik printsipiga asoslangan Bayesiya usullari va usullari) sezilarli darajada qo'llaniladi [83] [84].
Kibernetika va axborot nazariyasi
Axborot nazariyasi 1948 yilda Klod Shannon tomonidan kiritilgan axborot entropiyasi kontseptsiyasiga asoslanadi [85]. Agar tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsa {\ displaystyle x}
 {\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ n nuqta x_ {n}}  qiymatlarini olishi mumkin, ularning ehtimolligi mos ravishda {\ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, \ n p_ {n}} , keyin entropiya quyidagi formula bilan aniqlanadi: {\ displaystyle H (x) = - \ sum _ {i = 1} ^ {n} p_ {i} \ log _ {2} p_ {i}} .
Shu tarzda aniqlangan entropiya tasodifiylik o'lchovidir (yoki noaniqlik): agar tasodifiylik bo'lmasa, nolga teng bo'ladi, ya'ni 1 ehtimoli bilan, qiymat bitta aniq qiymatni oladi. Tasodifiylikning ortishi entropiyaning ko'payishi bilan bog'liq [86].
Avtomatik boshqarish nazariyasida dastlab ehtimoliy usullar qo'llanilgan. Kompyuterlarning paydo bo'lishi bilan bunday usullardan foydalanish ko'p marta kengaydi. Soxta tasodifiy sonlar generatori yordamida tasodifiy o'zgaruvchilar yoki jarayonlarni kompyuterda o'zboshimchalik bilan taqsimlash bilan taqlid qilish mumkin va bu o'z navbatida kompyuterda modellashtirish orqali turli xil real jarayonlarni o'rganishga imkon beradi (Monte Karlo usuli) [87].
Tilshunoslik
20-asrning 2-yarmida ehtimollar nazariyasi va matematik statistika usullarini lingvistik hodisalarni o'rganishda qo'llash matematik tilshunoslikning muhim sohalarida shakllandi. Bunday usullardan foydalanishga asoslangan ko'plab tadqiqotlar quyidagilarni o'z ichiga oldi: til normasining ehtimoliy-informatsion bahosini olish; so'z shaklidagi sintaktik ma'lumotlarning tarqalishini, matnlarning kontekstli shartliligi va ko'payishini, nutqda tasodifiy va aniqlangan jarayonlarning o'zaro ta'sirini tahlil qilish; lingvistik eksperimentning etarli usullarini ishlab chiqish; lingvistik variatsion qatorning statistik xususiyatlarini aniqlash va boshqalar. [88]
Asoslash va aksiomatizatsiya
Ehtimollar nazariyasi yaratilgan vaqtga kelib, matematikaning asosi ob'ektlarning ikki toifasi edi - raqamlar va geometrik shakllar. Ehtimollar nazariyasi uchun ushbu ro'yxatga mutlaqo maxsus ob'ektni qo'shish kerak edi: tasodifiy hodisa, shuningdek, yaqin bog'liq tushunchalar (ehtimollik, tasodifiy o'zgaruvchi va boshqalar). Yangi fanning o'ziga xosligi, uning matematikada ilgari qabul qilinganidek, so'zsiz so'zsiz emasligi, balki ehtimollik bilan tasdiqlanishi bilan ham namoyon bo'ldi.
Ehtimollar nazariyasi rivojlanib borgan sari, idealizatsiya qilingan hodisa matematik tushuncha sifatida ko'rib chiqilishi mumkinligi (va keyin ehtimollik nazariyasi matematikaning bir qismi) yoki u tajribada kuzatilgan haqiqatmi (va keyin ehtimollik nazariyasi tabiiy fanlarga tegishli bo'lishi kerak). Turli olimlar bu borada turlicha fikrlarni bildirishdi. P.L. Chebyshev ehtimollik nazariyasini matematik intizom deb qat'iy ishongan, uning vazifasi o'rganilayotgan hodisaning noma'lum ehtimolini ba'zi hodisalarning ma'lum bo'lgan ehtimolliklaridan aniqlash edi. Devid Xilbertning fikriga ko'ra, ehtimollik nazariyasi mexanika bilan bog'liq, ya'ni matematik «jismoniy intizom» [41]. Avgust de Morgan va uning izdoshi W. S. Jevons "sub'ektiv ehtimollik" ning asosiy tushunchasini, ya'ni o'rganish mavzusini tushunishimizning miqdoriy o'lchovini va ehtimollik nazariyasini mantiq bilan bog'lashgan [89]. Ikkilamchi sub'ektiv ehtimollik bilan bog'liq muammolar bir necha bor muhokama qilingan, ular ko'pincha "ehtimoliy paradokslar" shaklida tuzilgan (qarang, masalan, "uchta mahbus paradoksi" yoki "o'g'il va qiz paradoksi"). Kolmogorov ehtimoliga mos keladigan sub'ektiv ehtimollikni rasmiylashtirish Bruno de Finetti (1937) va Leonard Savaj (1954) tomonidan taklif qilingan.
Bernoulli aslida ehtimolning ikkita ta'rifini berdi: "qulay holatlar" ning bir qismi va statistik chastota sifatida; Ikkinchi tushunchani birinchisiga qisqartirish uchun ko'p sonli qonunlar kerak edi. Avstriyalik matematik va mexanik Richard fon Mises qarama-qarshi yondashuvni taklif qildi (1914): aniqlik bilan ehtimollik aniqlanishi hisobga olinadigan chastota chegarasi. Mises ehtimollik nazariyasini matematikaga aloqasi yo'q, u buni kuzatilgan faktlarni o'rganadigan eksperimental fan deb hisoblagan [41]. Misening ta'rifi va u taqdim etgan aksiomatika ularning mazmuni yo'qligi uchun tanqid qilindi, chunki biron bir hodisaning chastotasi chegaralanganligini aniqlashning imkoni yo'q [90]. Mises kontseptsiyasini muhokama qilish ba'zan bugun ham davom etmoqda [91]. Oqlash uchun boshqa urinishlar bo'lgan - Jon Maynard Keyns (1921) va Xarold Jeffri (1939), tasdiqning ehtimolini ushbu tasdiqning "o'rinlilik darajasi" sifatida tushunishni taklif qilishgan, bu yondashuv ham savolni muhokama qilishda vaqti-vaqti bilan eslatib o'tilgan [92].