Tarixiy ma‘lumotlar. Chiziq tushunchasi. Regulyar chiziqlar

Chiziqlar va ularning berilish usullari

Reja:

1. 
   Tarixiy ma‘lumotlar.
   
2. 
   Chiziq tushunchasi.
   
3. 
   Regulyar chiziqlar.
   
4. 
   Chiziqning turli tenglamalari.
   

Differentsial geometriya chiziqlar va sirtlar xamda ularning xossalarini differentsial xisob vositasida o`rganuvchi fandir. Shuningdek, differentsial geometriya kursida chiziqlar va sirtlarni tekshirishda ko`pincha integral xisobdan va differentsial tenglamalardan xam foydalaniladi. Umuman olganda differentsial geometriyada foydalaniladigan metod matematik analiz, yani cheksiz kichik miqdorlar xisobidir. Differentsial geometriya chiziq va sirtlar cheksiz kichik qismlarga doir xossalarni tekshiradi. Bu xossalar odatda "differentsial" xossalar deyilib, chiziq va sirtning ayni bir nuqtasiga taalluqlidir. Yani ular bu nuqtaning nihoyat kichik atrofiga bog`liq bo`lib, chiziq va sirtni aniqlovchi tenglamalarga kirgan funktsiyalarning shu nuqtadagi turli tartibli xosilalari orqali ifodalanadigan kattaliklar bilan aniqlanadi.
Differentsial geometriyaning rivojlanishi matematik analiz bilan chambarchas bog`lik bo`ladi. Geometriyaning bazi tushunchalari matematik analizning tegishli tushunchalaridan oldin kelib chiqadi.
Masalan, urinma tushunchasi xosila tushunchasining, yuz va hajm tushunchalari esa integral tushunchasining kelib chiqishiga sabab bo`ladi. Demak, analiz bilan geometriyaning turli tushunchalari va masalalari bir-birini taqazo qilib keldi va bir-biriga o`zaro bog`liqdir.
Differentsial geometriyaning rivojlanish tarixi asosan XVIII asrga to`g`ri keladi. Bu paytda sanoat va texnika tez rivojlandi. Bu bilan birga matematik analiz va differentsial geometriya tez o`sdi va unga Bernulli, Eyler, Gauss, Lobachevskiy va boshqa yirik olimlar asos soldilar.
Chiziq tushunchasi. Biz chiziqlar nazariyasini Е₃ fazoda boshlaymiz. Kelgusida biz almashtirishlardan foydalanishimiz sababli ularni avval eslatib, so`ng bu tushunchalarni chiziqlar nazariyasini o`rganishga tadbiq etamiz.
Agar biror F figuraning xar bir nuqtasini biror usul bilan siljitsak, ular qandaydir boshqa nuqtalarga o`tadi va bu nuqtalar to`plami yangi biror F' figurani xosil kiladi. Bunday xolda F' figurani F figurani almashtirishdan xosil kilindi deyiladi. Almashtirishlarni odatda f,g,l,... kabi xarflar bilan belgiladi.
Aytaylik F figuraning F' figuraga o`tkazuvchi qandaydir f almashtirish berilgan bo`lsin.
1-Ta‘rif. Agar f almashtirish F figurani o`zaro yaqin nuqtalarini F' figuraning o`zaro yaqin nuqtalariga o`tkazsa, f almashtirishni uzluksiz almashtirish deyiladi.
2-Ta‘rif. Agar F figuraning turli nuqtalarini F' figuraning turli nuqtalariga o`tkazuvchi f almashtirish va unga teskari bo`lgan f<sup>-1</sup> almashtirishlarning xar ikkalasi xam uzluksiz bo`lsa, f almashtirishlarni topologik almashtirish deyiladi.
3-Ta‘rif. Agar F figurani F' figuraga o`tkazuvchi f almashtirish F figurani xar bir nuqtasining yetarlicha kichik atrofida topologik almashtirish bo`lsa, f almashtirishni F figuraning lokal-topologik almashtirishi deyiladi.
Endi bu tushunchalardan foydalanib chiziqlarning turini aniqlovchi quyidagi Ta‘riflarni keltiramiz.
4-Ta‘rif. АВ ochiq kesmani topologik almashtirishdan xosil bo`lgan figurani elementar chiziq deyiladi.
5-Ta‘rif. xar bir nuqtaning shunday fazoviy atrofi mavjud bo`lib, bu atrofga tegishli bo`lgan qismi elementar chiziqdan iborat bo`lgan figurani sodda chiziq deyiladi.
6-Ta‘rif. Sodda chiziqni lokal-topologik almashtirishdan xosil bo`lgan figurani umumiy chizikq deb ataladi.
Tenglamalari y=kx+b, y=cоsx, y=sinx bo`lgan chiziqlar elementar chiziqlarga misol bo`ladi. Tenglamasi х<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>=1 bo`lgan aylana esa sodda chiziqdir.
Faraz qilaylik АВ kesmani topologik almashtirishdan xosil qilingan  elementar chiziq berilgan bo`lsin. Agar АВ to`g`ri chiziqda sonlar o`qidagi kabi biror t koordinata kiritsak, u xolda АВ kesmani  elementar chiziqqa o`tkazuvchi f almashtirishni quyidagi tenglamalar orqali berish mumkin:
(1)

Bu yerda f₁, f₂, f₃ funktsiyalar uzluksiz bo`lib, t ning turli qiymatlari uchun turlicha qiymatlarni qabul qiladi.

Odatda (1) tenglamalarni  egri chiziqning parametrik tenglamalari deb yuritiladi.

Shu narsani eslatib o`tamizki, elementar chiziqni turli ko`rinishdagi parametrik tenglamalar orqali berish mumkin. Masalan,  elementar chiziqni x=f₁(()), y=f₂(()), z=f₃(()) ko`rinishda berish mumkin. Bu yerda () ixtiyoriy uzluksiz, doimiy monoton bo`lgan  ning funktsiyasidir.