Tarixiy ma‘lumotlar. Chiziq tushunchasi. Regulyar chiziqlar

Regulyar chiziq.Oddiy va maxsus nuqtalar.
Aytaylik  egri chiziq berilgan bo`lsin.
Ta‘rif. Agar  chiziqning barcha nuqtalarni shunday qisqa atrofi mavjud bo`lib, uning shu atrofga tegishli qismini f₁, f₂, f₃ regulyar funktsiyalar orqali parametrlash mumkin bo`lsa, yani  egri chiziqni x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t), z=f<sub>3</sub>(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar orqali berish mumkin bo`lsa,  ni regulyar (k marta differentsialanuvchi) chiziq deyiladi.
Bu yerda f<sub>1</sub>, f<sub>2</sub>, f<sub>3</sub> лар f<sub>1</sub><sup>2</sup>+ f<sub>2</sub><sup>2</sup>+f<sub>3</sub><sup>2</sup>0 shartni qanoatlantiruvchi regulyar funktsiyalardir. k=1 bo`lgandа  ni silliq chiziq deb ataladi. Yukoridagi Ta‘rifdan shu narsani anglash mumkinki,  ning regulyarlik shartidan egri chiziq yoyining silliqligi kelib chiqadi.
Egri chiziq yoyining regulyarlik shartini sodda qilib quyidagicha ifodalash mumkin, yani f₁, f₂, f₃ funktsiyalar 1) bir qiymatli; 2) uzluksiz; 3)tegishli tartibli uzluksiz xosilalarga ega bo`lishi bilan ifodalanadi.
Ayrim chiziqlarni koordinata o`qlarini qulay tanlash yo`li bilan x=t, y=(t), z=(t) ёки y=(x), z=(x) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berish mumkin bo`ladi. Bu fikrdan tabiiy ravishda quyidagi savol kelib chiqadi: qachon egri chiziqni yetarlicha kichik soxada bo`lsa, xam bunday parametrlash mumkin bo`ladi? Bu savolga quyidagi isbotsiz keltirilgan teoremamiz javob beradi.
TEOREMA. Aytaylik  regulyar egri chiziq bo`lib, x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) uning (x₀,y₀,z₀) nuqta atrofidagi regulyar parametrlangan tenglamalari bo`lsin. U xolda t=t­­<sub>0</sub> qiymatda f'<sub>1</sub>(t)0 bo`lsa, (x₀,y₀,z₀) nuqtaning yetarlicha kichik atrofida  egri chiziqni y=(x), z=(x) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar orqali berish mumkin, bu yerda (х), (х) lar х ning regulyar funktsiyalaridir.
Endi oddiy va maxsus nuqtalar tushunchasini kiritamiz.  egri chiziq va uning biror Р nuqtasi berilgan bo`lsin.
Ta‘rif. Р nuqtaning yetarlicha kichik atrofida  egri chiziqni sillik parametrlash mumkin bo`lsa, yani  chiziqni x=f<sub>1</sub>(t), y=f<sub>2</sub>(t), z=f<sub>3</sub>(t) ko`rinishdagi parametrik tenglamalar orqali berilib f₁, f₂, f­₃ funktsiyalar f₁²+f₂²+f­₃²0 shartni qanoatlantiruvchi regulyar funktsiyalar bo`lsa, Р nuqtani  chiziqning oddiy nuqtasi deyiladi.
Ta‘rif. Agar  chiziqni Р nuqtasining yetarlicha kichik atrofida sillik parametrlash mumkin bo`lmasa, Р nuqtani  chiziqning maxsus nuqtasi deyiladi.
1-shakldagi М nuqta oddiy N nuqta esa maxsusdir.
Differentsial geometriya kursida chiziqlar va sirtlarni ularning oddiy nuqtalarida urganiladiganligi sababli biz bu yerda maxsus nuqtalar ularning turlari haqidagi mulohazalarga to`htalmaymiz. Bu masala matematik analiz kursida atroflicha o`rganiladi.
Asosiy adabiyotlar:

1. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   
5. 
   Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.