Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari O‘lchovli funksiya. Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari

Tasodifiy miqdor va uning taqsimot funksiyasi
Reja:

1. 
   Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari
   
2. 
   O‘lchovli funksiya.
   
3. 
   Tasodifiy miqdorlarning funksiyalari.
   

Tasodifiy miqdor tushunchasi ehtimollar nazariyasining muhim tushunchalaridan biri bo`lib, u elementar hodisalar fazosida aniqlangan sonli funksiya sifatida qaraladi.

1-misol. Tajriba tangani ikki marta tashlashdan iborat bo`lsin. Bu tajribaga mos elementar hodisalar , , , va elementar hodisalar fazosi .
Agar bilan gerb tushishlari sonini belgilasak,
, , ,
ya`ni ya`ni da aniqlangan funksiya bo`ladi.
Tanga simmetrik bo`lganligi uchun deb olib, ning ma`lum qiymat qabul qilish ehtimolligini ham toppish mumkin. Masalan, .
2-misol. Biror qurilmaning vaqt oralig`ida buzilmasdan ishlash vaqtini qaraymiz. Biz elementar hodisalarni ={qurilma momentgacha ishladi va momentda ishdan chiqdi}, kabi aniqlaymiz. Bu holda elementar hodisalar fazosi ko`rinishida bo`lib, kontinium quvvatga ega bo`ladi.
Agar bilan qurilmaning vaqt oralig`ida buzilmasdan ishlash vaqtini belgilasak, bo`ladi.
Ta`rif. ehtimollik fazosi, o`lchovli fazo (bu yerda , esa dagi Borel to`plamlari -algebrasi) bo`lib , , -o`lchovli funksiya bo`lsa, ya`ni ixtiyoriy uchun
(1)
bo`lsa, funksiyaga tasodifiy miqdor deyiladi.
Agar chekli bo`lsa, tasodifiy miqdorni uning barcha elementar hodisalardagi qiymatlarini keltirish bilan berish mumkin.
Masalan 1-misoldagi tasodifiy miqdor

	0	1	1	2

	0	1	2

yoki
Ta`rif. Agar tasodifiy miqdor chekli yoki sanoqli sondagi qiymatlarnigina qabul qilsa, unga diskret tasoifiy miqdor deyiladi.
Boshqacha qilib aytganda tasodifiy miqdor diskret deyiladi, agar sonlar ketma-ketligi mavjud bo`lib, , , va bo`lsa.
Agar barcha qiymatlar va ehtimolliklar ma`lum bo`lsa, ning taqsimot qonuni aniqlangan bo`ladi. Jadvalning birinchi qatorida diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarini, ikkinchi qatorga ularga mos ehtimolliklarni yozsak,

			…		…
			…		…

biz diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini qatoriga ega bo`lamiz.

Ixtiyoriy uchun masalan, yuqorida keltirilgan 2-misoldagi tasodifiy miqdorni bunday aniqlab bo`lmaydi. Bunday tasodifiy miqdorlarni aniqlash uchun ( ) hodisaning ehtimolligini bilish kerak, uning uchun esa , hodisa ehtimolligini bilish yetarli.
Ta`rif. , funksiyaga tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi deyiladi.
Endi taqsimot funksiyaning xossalari bilan tanishib chiqamiz.
1˚. . Bu xossa isboti ta`rifidan kelib chiqadi.
2˚. Agar a bo`lsa (2)
Isboti: a bo`lsa va
Bundan
3˚. Agar a bo`lsa ya`ni F(x)-kamaymaydigan funksiya.
Isboti: Agar a bo`lsa bundan .
4˚. va .
Isboti: va ketma-ketliklarni va bo`ladigan qilib tanlaymiz. U holda o`rinli ekanligini ko`rsatish yetarli.
va
bo`lganligi uchun uzluksizlik teoremasiga asosan

Bundan tashqari va bo`lganligi uchun uzluksizlik aksiomasiga asosan

Xossa isbotlandi.
5˚. chapdan uzluksiz.
Isboti. , ketma-ketlik bo`lsin bo`lishligini ko`rsatamiz. Quyidagi o`rinli bo`ladi.
va
bo`lgani uchun uzluksizlik aksiomasiga asosan
.
Xossa isbotlandi.
Agar bo`lsa, da sakrashga ega deyiladi.
6˚. Taqsimot funksiyaning sakrashlari soni sanoqlidan ko`p emas.
Isbot. Taqsimot funksiyaning dan katta sakrashlari bittadan ko`p bo`laolmaydi, dan gacha bo`lgan sakrashlari 3 tadan ko`p emas, dan gacha sakrashlari dan ko`p bo`lmaydi.
Bunday ko`rinishdagi taqsimot funksiyaning barcha sakrashlari tartiblab (nomerlab) chiqish mumkin.
Endi diskret tasodifiy miqdor taqsimot funksiyasi uchun formula keltirib chiqaramiz.
Agar bo`lsa, , chunki bu holda hodisasi mumkin bo`lmagan hodisa bo`ladi.
Agar bo`lsa, hodisa faqat va faqat bo`lgandagina ro`y beradi, shuning uchun ham
.
Agar bo`lsa, hodisa va birgalikda bo`lmagan hodisalar yig`indisiga teng bo`ladi va
.
Xuddi shunday bo`lsa,
.
Shunday qilib, diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi

formula bilan aniqlanadi.
Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi oraliqlarda o`zgarmas qiymatlar qabul qiladi va nuqtalarda mos ravishda ehtimollarga teng sakrashlarga ega bo`ladi.
Endi ma`ruza boshida keltirilgan 1-misoldagi gerb tushishlari soni tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasini topamiz.
tasodifiy miqdorning taqsimot qatori

	0	1	2

ko`rinishda bo`ladi.

Agar bo`lsa, ; bo`lsa, ; bo`lsa, ; bo`lsa, .
Demak,
ning grafigi