Текисликда аналитик геометриянинг дастлабки тушунчалари

ТЕКИСЛИКДА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯНИНГ
ДАСТЛАБКИ ТУШУНЧАЛАРИ
Аналитик геометрия олий математиканинг бўлимларидан бири. У геометрик шаклларнинг (тўғри чизиқ, айлана, текислик ва ҳ.к.) хусусиятларини алгебра усули (яъни тенгламалар ёрдамида) билан ўрганади.
Тугри бурчакли Декарт координаталар системаси
Хар қандай геометрик шакл нуқталар тўплами билан аниқланади. Бинобарин, геометрик шаклларни ўрганиш учун уни ташкил этган нуқталарнииг текисликдаги ҳолатини топиш лозим бўлади. Текисликда нуқтанинг ҳолатини аниқлайдиган усул маълум бўлса, текисликда координаталар снстемасн берилган дейилади. Биз қуйида содда, айни пайтда кенг қўлланадиган Декарт коордннаталари системасини келтирамиз.
Текисликда иккита ўзаро перпендикуляр тўғри чизиқни олайлик. Бу тўғри чизиқларнинг бири горизоитал, иккинчиси эса вертикал жойлашсин. Тўғри чизиқларнинг кесишган нуқтасини О ҳарфи билан белгилаб, уни координата боши деб атаймиз. Горизонтал тўғри чизиқ Ох ўқи ёки абсцисса ўқи дейилади. Вертикал тўғри чизиқ эса Оу ўқи ёки ордината ўқи деб аталади. Ох ва Оу ўқларни координата ўқлари дейилади (1- чизма).*
Координата боши Ох ва Оу ўқларининг хар бирини икки қисмга — икки ярим ўққа ажратади. Ярим ўқлардан бирини мусбат, иккинчисинн эса манфий деб ҳисоблаймиз. Мусбат ярим ўқлар 1 -чизмада стрелкалар билан кўрсатилган.
Координата ўқлари текисликни 4 та қисмга (чоракка) ажратади. Улар 2-чизмада кўрсатилганидек номерлаиади.
Айтайлик, М — текисликдаги бирор нуқта бўлсин. Бу нуқтадан Ох ва Оу ўқларга перпендикулярлар тушириб, уларнинг Ох ва Оу ўқлар билан кесишган нуқталарини М_х ва М_у лар билан белгилаймиз (3-чизма).
Ушбу
OM_x=x, OM_y=y
кесмаларнинг узунликлари М нуқтанинг координаталари деб аталади. Бунда M_x нуқта О нуқтадан ўнгда жойлашса, OM_x кесма узунлиги мусбат ишора билаи, чапда бўлса, OM_x манфий ишора билан олинади.
Худди шунга ўхшаш, M_y нуқта О нуқтадан юқорида жойлашса, OM_y мусбат, пастда жойлашса, манфий ишора билан олинади. х сон М нуқтанинг биринчи координатаси ёки абсциссаси, у сон эса М нуқтанинг иккинчи координатаси ёки ординатаси деб аталади. М нуқта координаталари ёрдамида қуйидагича ёзилади: М (х; у).
Юқорида айтилганлардан кўринадики, текисликдаги ҳар бир нуқта (х; у) жуфтликни аниқлайди.
Энди, аксинча иккита х ва у сонлардан иборат (х; у) жуфтлик берилган бўлсин. О_х ўқда х сонга мос келадиган А_х нуқтани (агар х мусбат сон бўлса, бу нуқта О нуқтадан ўнгда, х манфий сон бўлса, О нуқтадан чапда жойлашган бўлади) топамиз. Худди шунга ўхшаш, О_у ўқда у сонга мос келадиган А_у нуқтани (агар у мусбат сон бўлса, нуқта О нуқтадан юкорида, у манфий сон бўлса, О нуқтадан пастда жойлашган бўлади) топамиз. Сўнг А_х нуқтадан О_х ўққа перпендикуляр, А_у нуқтадан О_у ўққа перпендикуляр чиқарамиз. Натижада бу перпендикулярларнинг кесишиш нуқтасига эга бўламиз. Худди шу нуқтанннг координаталари х ва у лар бўлади. Шундай қилиб, (х; у) жуфтлик текисликда битта нуқтани ифодалар экан.
Демак, нуқтани геометрик объект сифатида қарайдиган бўлсак, унинг аналитик ифодаси иккита сондан иборат жуфтлик бўлади.
Маълумки, координата ўқлари бутун текисликни 4 та чоракка бўлади. Бу чораклардаги нуқталар координаталарининиг ишоралари қуйидаги жадвалда кўрсатилган.

Чораклар	(х; у) нуқта координаталари ишораси
	х (абцисса)	у (ордината)
I	х › 0	y › 0
II	х ‹ 0	y › 0
III	х ‹ 0	y ‹ 0
IV	х › 0	y ‹ 0

Масалан, ушбу A ( 2; 3), В ( — 1; 2), С ( — 3; -2), D (3; — 1) нуқталарнинг геометрнк тасвирлари 4- чизмада ифодаланган.

Эслатма. О_х ўқдаги нуқталарнинг ординаталари 0 га тенг, О_у ўқдаги нуқталарнинг абсциссалари 0 га тенг. Координата бошининг координаталари (0; 0) бўлади.
Хулоса қилиб шуни айтиш мумкинки, аналитик геометрияда М (х; у) нуқта берилган деганда унинг координаталари х ва у сонлардан тузилган (х; у) жуфтликнинг берилганлигини тушунамиз.