Tekislikda dekard koordinatalar sistemasi

0

) nuqta orqali o‟tuvchi barcha to‟g‟ri chiziqlar dastasi tenglamasi 

deyiladi. 

Misol.  y=3x-4   to‟g‟ri  chiziqqa perpendikulyar bo‟lib  M(2;-3)  nuqtadan  o‟tuvchi to‟g‟ri 

chiziq tenglamasini tuzing. 

Yechish. 

Izlanayotgan  to‟g‟ri  chiziqning  burchak  koeffisiyentini  to‟g‟ri  chiziqlarning 

perpendikulyarlik shartidan foydalanib topamiz: 

Berilgan to‟g‟ri chiziqning burchak koeffisiyenti k

1

=3 ga tengligidan izlanayotgan to‟g‟ri 

chiziqning burchak koeffisiyenti 

3

1

2





k

 bo‟ladi.  

Ularni dasta tenglamasiga qo‟yamiz:  

 

y+3=

3

1



(x-2) 

3y+9=-x+2 

x+3y +7=0 

javob: x+3y +7=0 

 

Misollar. 

1.  To„g„ri  chiziqning  koordinatlar  boshidan  uzoqligi  3,  unga  koordinatlar  boshidan  tushirilgan 

perpendikulyar  Ox  o„qi bilan 

0

45





 burchak hosil qilsa, to„g„ri chiziq tenglamasini yozing. 

2. 

0

3







y

x

  to„g„ri  chiziqqa  koordinatlar  boshidan  tushirilgan  perpendikulyarning 

uzunligini va uning  Ox  o„qi bilan tashkil qilgan burchagini toping. 

3.  A(2;1)  nuqtadan  o‟tib  y=3х-4  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel  bo‟lgan  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasini 

tuzing. 

4.  A(5;-4)  nuqtadan  o‟tuvchi  va  3х+2y-7=0  to‟g‟ri  chiziqqa  perpendikulyar  bo‟lgan  to‟g‟ri 

chiziq tenglamasini tuzing. 

5. Oy o‟qiga 2 birlik kesma ajratuvchi hamda  x-2y+3=0  to‟g‟ri chiziq bilan 45



li burchak hosil 

qiluvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing 

6. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan.  

A(-3;-1), B(2;1),C(3;5) 

Uning B uchidan tushirilgan balandlik tenglamasini tuzing va balandligining uzunligini toping. 

7.Berilgan ikki nuqtadan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasi. 

M

1

(x

1

;y

1

) va M

2

(x

2

;y

2

) nuqtalar orqali o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasini aniqlash uchun 

avvalo 

)

;

(

1

1

1

y

x

M

 nuqtadan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziqlar dastasini olamiz: 

)

(

1

1

x

x

k

y

y







 

 

Bu to‟g‟ri chiziqlar orasidan 

)

;

(

2

2

2

y

x

M

 nuqtadan o‟tadigan to‟g‟ri chiziqni olish uchun 

)

;

(

2

2

2

y

x

M

 nuqta koordinatalarini bu tenglamaga qo‟yamiz:  

)

(

1

2

1

2

x

x

k

y

y







 

Bu tengliklarni hadma-had bo‟lib, quyidagi tenglikka ega bo‟lamiz:  

1

2

1

1

2

1

x

x

x

x

y

y

y

y











 

 

(5) 

 

Bu tenglama berilgan ikki nuqta orqali o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasi bo‟ladi. 

 

Izoh. x

2

=x

1

 va y

2

=y

1

 bo‟lganda to‟g‟ri chiziq tenglamasi x=x

1

 va y=y

1

 ko‟rinishda bo‟lib 

birinchi  holda u  Oy  o‟qiga parallel,  ikkinchi  holda  Ox  o‟qiga parallel  bo‟lgan to‟g‟ri chiziqdan 

iborat bo‟ladi.  

 

Misol. M

1

(4; -2) va M

2

(3; -1) nuqtalarda o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing.  

 

Yechish. Berilgan nuqtalarni koordinatalarini (5) tenglamaga qo‟yamiz:  

,

1

4

1

2

,

4

3

4

2

1

2





















x

y

x

y

 

bundan y=-x+2. 

 

Javob: y=-x+2. 

Misollar. 

Misollar. 

1. 

 

2

;

5

  nuqtadadan  o`tib 

0

5

6

4







y

x

  to`g`ri  chiziqqa  parallel  bo`lgan  to`g`ri  chiziq 

tenglamasi tuzilsin.(Cai.A-15) 

2. 

 

6

;

1

  nuqtadadan  o`tib 

6

2





y

x

  to`g`ri  chiziqqa  parallel  bo`lgan  to`g`ri  chiziq  tenglamasi 

tuzilsin.(Cai.A-15) 

3. 

 

6

;

0

  nuqtadadan  o`tib 

0

5

6

4







y

x

  to`g`ri  chiziqqa  parallel  bo`lgan  to`g`ri  chiziq 

tenglamasi tuzilsin.(Cai.A-15) 

4.





2

;

1





  nuqtadadan  o`tib 

0

8

5

2







y

x

  to`g`ri  chiziqqa  perpendikulyar  bo`lgan  to`g`ri 

chiziq tenglamasi tuzilsin.(Cai.A-15) 

5. 











 

3

2

;

2

1

  nuqtadadan  o`tib 

0

1

8

4







y

x

  to`g`ri  chiziqqa  perpendikulyar  bo`lgan  to`g`ri 

chiziq tenglamasi tuzilsin.(Cai.A-15) 

6

. 

Uchburchakning  uchlarini  koordinatalari  berilgan: 

     

2

;

8

6

;

3

,

0

;

1

vaC

B

A

.  A  uchidan 

tushirilgan mediana tenglamasi tuzilsin.(Cal.A-15) 

7. 

 

1

;

1

A

    ,

 

4

;

7

B

    , 

 

10

;

5

C

  va 





7

;

1



D

  nuqtalar  parallelogram  uchlari  ekanligini 

ko1rsating.(Cai. A-15) 

8. 

 

5

;

4

 nuqtadan o`tib Oy o`qiga parallel bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin. (Cal.A-15) 

9. 

 

5

;

4

 nuqtadan o`tib Ox o`qiga parallel bo`lgan  to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin. (Cal.A-15) 

10. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan. A(12;-4) ,B(0;5) va 

 

C(-12;-11). Uning tomonlarining tenglamalarini tuzing. 

12. Uchlari 

)

4

;

3

(

A

, 

)

2

;

3

(

B

 va 

)

2

;

1

(



C

 nuqtalarda bo„lgan uchburchak tomonlarining 

tenglamalarini yozing. 

13. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan.  

A(4;6), B(-4;0), C(-1;-4) 

Uning uchala tomonining tenglamasini tuzing. 

14.  A(1;2)  va  B(4;3)  nuqtalardan  o‟tuvchi  to‟g‟ri  chiziq  tenglamasini  tuzing  hamda  bu  to‟g‟ri 

chiziqning koordinata o‟qlari bilan kesishish nuqtalarini aniqlang. 

15.  x-y-4=0  va  2x-11y+37=0  to‟g‟ri chiziqlarning kesishish nuqtasidan hamda koordinatalar 

boshidan o‟tuvchi to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing. 

16. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan:  A(-3;-1), 

 

B(5;3), C(6;-4) . Uning C uchidan o‟tkazilgan medianasining 

tenglamasini tuzing. 

17. Uchburchak uchlarining koordinatalari berilgan: 

A(3;2), B(5;7), C(-5;0) 

Uning A uchidan BC tomonga tushirilgan balandligining tenglamasini tuzing.  

18. ABCD  to‟g‟ri to‟rtburchak  AB  tomonining uchlari A(3;2) va  

 

B(-3;0) nuqtalarda  yotadi. AD tomonning uzunligi 8 sm.ga teng. Bu to‟g‟ri to‟rtburchak 

tomonlarining tenglamalarini tuzing. 

 

12. To`g`ri chiziqlar orasidagi burchaklar bissektrisalari tenglamasi. 

0

1

1







C

y

B

x

A

 

va 

0

2

2







C

y

B

x

A

 

to`g`ri 

chiziqlar 

orasidagi 

burchaklar 

bissektrisalari tenglamasi formulasi quyidagicha. 

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

B

A

C

y

B

x

A

B

A

C

y

B

x

A

















 

Misol: 

1.  2х-3y-12=0  va  3х+y-12=0  to‟g‟ri  chiziqlar  orasidagi  burchaklar    bissyektrisalarining 

tenglamalarini tuzing. 

 

13. To‟g‟ri chiziqning normal tenglamasi. 

Berilgan nuqtadan to‟g‟ri chiziqacha bo‟lgan masofa. 

 

1.  Faraz  qilaylik,  ixtiyoriy  to‟g‟ri  chiziq  berilgan  bo‟lib,  unga  koordinata  boshidan 

n



 

vektorni perpendikulyar holatda o‟tkazamiz. Bu vektorni to‟g‟ri chiziqning normali deb ataymiz. 

Normalning  to‟g‟ri  chiziqni  kesib  o‟tish  nuqtasini  P  bilan,  to‟g‟ri  chiziq  bilan  hosil  qilgan 

burchagini 



 bilan va OP=P deb belgilaylik.  

 

Biz 



 burchak va r masofa ma`lum bo‟lganda to‟g‟ri chiziq tenglamasi qanday bo‟lishini 

aniqlaymiz. Shu maqsadda to‟g‟ri chiziqqa ixtiyoriy M(x;y) nuqtani olamiz. 

OM

 vektorning 

n



 

vektordagi proyektsiyasi OP=P dan iborat (1-rasm). Ya`ni: 

p

OM

р

n







   

(6) 

 

OM

  vektorning 

n



  normal  bilan  hosil  qilgan  burchakni 



  deb,  O  bilan, 





OM

  deb 

belgilab, trigonometriyadagi formulalar yordamida quyidagi tengliklarga ega bo‟lamiz:  

 

 

demak, 





sin

cos

y

x

OM

р

n









  (7) 

(16) va (17) tengliklardan 











sin

cos

y

x

 ekanligi, ya`ni 

0

:







p

Sin

сos

х







 

(8) 

 

kelib chiqadi. Bu tenglik to‟g‟ri chiziqning normal tenglamasi deb ataladi. 

 

2.  Endi  bu  tenglama  yordamida  tekislikda  berilgan  ixtiyoriy  nuqtadan  berilgan  to‟g‟ri 

chiziqqacha bo‟lgan masofani topish masalasini hal qilamiz. 

 



  to‟g‟ri  chiziq  o‟zining  normal  tenglamasi  (8)  bilan  va  tekislikdagi  ixtiyoriy  M  (x

0

;y

0

) 

nuqta berilgan bo‟lsin. Bu nuqtadan (8) to‟g‟ri chiziqqacha bo‟lgan masofani d bilan belgilaylik 

M  (x

0

;y

0

)  nuqta  va  kordinata  boshi  to‟g‟ri  chiziqning  bir  tomonida  yoki  ikki  tomonida  yotishi 

mumkin. (2-rasm) 

 

M nuqtadan o‟tib, 



 to‟g‟ri chiziqqa parallel bo‟lgan to‟g‟ri chiziq tenglamasini bo‟lishi 

mumkin bo‟lgan ikki hol uchun yozamiz: 

0

)

(

sin

:

0

0

1









d

p

y

сos

х







 

bu tenglikdan d ni topamiz:  













sin

cos

0

0

y

x

d

 

,

0

)

(

sin

:

0

0

2









d

p

y

сos

х







 

.

sin

cos

sin

)

sin

(

cos

)

cos

(

sin

sin

cos

cos

)

sin

sin

cos

(cos

)

cos(

cos

















































y

x

OM

р

n





























bundan, 

 

 

)

sin

cos

(

0

0















y

x

d

. 

 

Ixtiyoriy hol uchun  













sin

cos

0

0

y

x

d

   

(9) 

ekanligi kelib chiqadi.  

 

Shunday  qilib,  nuqtadan  to‟g‟ri  chiziqqacha  bo‟lgan  masofani  topish  uchun  berilgan 

nuqtaning koordinatalarini to‟g‟ri chizig‟ini normal tenglamasidagi x va y o‟zgaruvchilar o‟rniga 

qo‟yib, hosil bo‟lgan sonining modulini olish kifoya ekan. 

 

3.Yuqoridagilardan  ma`lumki,  nuqtaning  berilgan  to‟g‟ri  chiziqdan  qanchalik 

uzoqlashganligini to‟g‟ri chiziqning normal tenglamasi yordamida aniqlash qulay ekan. Shuning 

uchun to‟g‟ri chiziqning umumiy ko‟rinishda berilgan tenglamasini normal ko‟rinishga qanday 

keltirish mumkinligini ko‟rib chiqamiz.  

 

To‟g‟ri chiziq tenglamasi umumiy ko‟rinishda berilgan bo‟lsin:  

Ax+By+C=0   

(10) 

 

Bu  tenglamani  (18)  ko‟rinishga  keltirish  lozim  bo‟lsin.  (8)  va  (10)  tenglamalar  bitta 

to‟g‟ri  chiziq  tenglamasi  bo‟lishi  uchun  ularning  mos  qo‟shiluvchilari  koeffisiyentlari 

proporsional bo‟lishi lozim.  

 

Demak biror 



 soni uchun ushbu tenglamalarni yozish mumkin: 



















0

sin

cos

0













y

x

C

By

Ax

 

yoki 





















C

B

A

,

sin

,

cos

.      (11) 

(11) tenglamalarning birinchi ikkitasini kvadratga ko‟tarib hadma-had qo‟shib 



 ni topamiz: 





































2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin

1

sin

cos

)

(

cos

A

B

A

A

 

demak, 

2

2

1

B

A









 

 

(12) 

 

 



  -  sonini  (10)  to‟g‟ri  chiziqning  normallashtiruvchi  ko‟paytuvchisi  deb  ataladi.  Uning 

ishorasini aniqlash uchun 



C=-



 tenglikni tekshiramiz. 

 

Bu  tenglik  o‟rinli  bo‟lishi  uchun 



  va  C  ning  ishoralari  o‟zaro  qarama-qarshi  bo‟lishi 

kerakligini ko‟ramiz. 

 

Shunday  qilib,  to‟g‟ri  chiziqning  umumiy  tenglamasini  normallashtirish  uchun  bu 

tenglamani 

2

2

1

B

A









  soniga  ko‟paytirish  yetarli  bo‟lib,  uning  ishorasini  (10) 

tenglamadagi ozod had C ning ishorasiga qarama-qarshi qilib olish lozim ekan. 

 

M(x

0

; y

0

) nuqtadan Ax+By+C=0 to‟g‟ri chiziqqacha bo‟lgan masofa (d)ni ushbu formula 

yordamida topiladi: 

2

2

0

0

B

A

C

By

Ax

d









 

 

Misol. M(3; -1) nuqtadan 3x+4y-10=0 to‟g‟ri chiziqqacha bo‟lgan masofani toping. 

 

Yechish: 

1

5

5

25

10

4

9

4

3

10

)

1

(

4

3

3

2

2



























d

 

1. 

4.   A(2;5) nuqtadan 6х+8y-6=0  to‟g‟ri chiziqqacha bo‟lgan masofani toping.

 

1. Ushbu 1) 

0

26

12

5







y

x

,  2) 

0

10

4

3







y

x

, 

3) 

5

3





x

y

, 

 

4) 

0

7

2

2







y

x

 

to„g„ri chiziq tenglamalarini normal ko„rinishga keltiring. 

 

2. Ushbu 

1) 

0

6

4

3

5

2







y

x

,  2) 

0

7

13

5

13

12







x

 

3)

0

2

4

3

5

3







y

x

, 

4) 

0

4

3

2

3

1







y

x

 

to„g„ri chiziq tenglamalaridan qaysilari normal ko„rinishda? 

3.  R(3;-4)  nuqta  koordinatalar  boshidan  to‟g‟ri  chiziqqa  tushirilgan    perpendikulyarning  asosi. 

To‟g‟ri chiziqning normal tenglamasini tuzing. 

8.  Uchlari 

)

5

;

0

(

P

, 

)

1

;

3

(



Q

va 

)

2

;

1

(





R

nuqtalarda  bo„lgan  uchburchakning 

R

 

nuqtasidan o„tkazilgan balandligining uzunligini toping. 

9. 

0

26

12

5







y

x

, 

0

65

12

5







y

x

  parallel  to„g„ri  chiziqlar  orasidagi  masofani 

toping. 

 

14.  Ikki to`g`ri chiziqning kesishish nuqtasi . 















2

2

2

1

1

1

C

y

B

x

A

C

y

B

x

A

 

2

2

1

1

2

2

1

1

B

A

B

A

B

C

B

C

x



   

va 

2

2

1

1

2

2

1

1

B

A

B

A

C

A

C

A

y



 

Misollar. 

 

1.    M(4;-1)  nuqtadan  hamda    х-3y+2=0    va  y-4=0  to‟g‟ri  chiziqlarning  kesishish  nuqtasidan 

o‟tuvchi  to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing. 

2.    3х-y+5=0  va    2х+3y+1=0  to‟g‟ri  chiziqlarning  kesishish  nuqtasidan  o‟tuvchi  hamda 

0

5

3

7







y

x

 to‟g‟ri chiziqqa parallel bo‟lgan to‟g‟ri chiziq tenglamasini tuzing. 

6.  3х-y=0  va  х+4y-2=0  to‟g‟ri  chiziqlarning  kesishish  nuqtasidan  o‟tib,  2х+7y=0  to‟g‟ri 

chiziqqa perpendikulyar bo‟lgan to‟g‟ri chiziq Tenglamasini tuzing. 

7.  Trapesiya  asoslarining  tenglamalari 

0

15

4

3







y

x

, 

0

35

4

3







y

x

  berilgan. 

Trapesiyaning balandligini toping. 

8.  Uchlari 

)

0

;

2

(



A

, 

)

4

;

2

(

B

  va 

)

0

;

4

(

C

  nuqtalarda  bo„lgan  uchburchak 

tomonlarining, 

AE

  medianasining, 

AD

  balandligining  tenglamalarini  hamda 

AE

 

mediananing uzunligini toping. 

9. 

:

ABC



 

 

,

2

;

1



A

 

 

1

;

7

B

 , 

 

7

;

3

C

  uchlari berilgan bo`lsa: a) 

BC

- tomon tehglamasi? b) A- 

uchidan tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin? C) A- uchidan o`tuvchi va BC ga parallel 

to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin? 

10. 

:

ABC



  

 

,

2

;

1



A

 

 

1

;

7

B

 , 

 

7

;

3

C

 uchlari berilgan bo`lsa: a) 

AC

- tomon tehglamasi? b) B- 

uchidan tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin? C) B- uchidan o`tuvchi va BC ga parallel 

to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin? 

11. 

:

ABC



 





,

2

;

4



A

 





6

;

6



B

 , 

 

7

;

3

C

 uchlari berilgan bo`lsa: a) AB- tomon tehglamasi? b) C- 

uchidan tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin? C) C- uchidan o`tuvchi va AB ga parallel 

to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin? 

12. 

:

ABC



 





,

2

;

3





A

 

 

1

;

7

B

 , 





4

;

14

C

  uchlari berilgan bo`lsa: a) 

AC

- tomon tehglamasi? b) 

B- uchidan tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin? C) B- uchidan o`tuvchi va BC ga parallel 

to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin? 

13 . 

:

ABC



 





,

4

;

4



A

 

 

1

;

7

B

 , 

 

2

;

8

C

  uchlari berilgan bo`lsa: a) 

AC

- tomon tehglamasi? b) B- 

uchidan tushirilgan balandlik tenglamasi tuzilsin? C) B- uchidan o`tuvchi va BC ga parallel 

to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin? 

14. 





2

;

0



A

 , 





0

;

3



B

 , 

 

4

;

2

C

 nuqtalar berilgan bo`lsin. B va C lardan o`tuvchi to`g`ri chiziqqa  

1) parallel bo`lgan,2) perpendikulyar bo`lgan ,A dan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasi tuzilsin. 

15.  





8

;

2





A

 , 





8

;

18





B

 , 

 

5

;

0

C

 nuqtalar berilgan bo`lsin. A va C lardan o`tuvchi to`g`ri 

chiziqqa  1) parallel bo`lgan,2) perpendikulyar bo`lgan, B dan o`tuvch to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin. 

16. 





0

;

12



A

 , 





3

;

6





B

 , 





1

;

10



C

 nuqtalar berilgan bo`lsin. B va C lardan o`tuvchi to`g`ri 

chiziqqa  1) parallel bo`lgan,2) perpendikulyar bo`lgan, A dan o`tuvch to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin. 

17. 





3

;

5





A

 , 





0

;

9



B

 , 

 

2

;

7

C

 nuqtalar berilgan bo`lsin. A va C lardan o`tuvchi to`g`ri 

chiziqqa  1) parallel bo`lgan,2) perpendikulyar bo`lgan, B dan o`tuvch to`g`ri chiziq tenglamasi 

tuzilsin. 

15. Ikkinchi darajali chiziqlar. 

Tekislikdagi ikkinchi tartibli chiziqning umumiy tenglamasi quyidagi ko‟rinishda bo‟ladi: 

Ax

2

+2Bxy+Cy

2

+2Dx+2Ey+F=0 

 

(1) 

Bu yerda A,B,C,D,E,F lar o‟zgarmas kooeffisyentlar bo‟lib, A,B,C lardan kamida bittasi noldan 

farqli bo‟lishi zarur, aks holda to‟g‟ri chiziqqa ega bo‟lamiz.  

Aylana tenglamasi. 

Ta`rif: Markaz deb ataluvchi M(a;b) nuqtalardan bir xil R masofada joylashgan nuqtalar 

to‟plamiga  markazi  M(a;b)  nuqtada  bo‟lgan  va  radiusi  R  ga  teng  aylana  deyiladi.  Aylana 

tekislikda o‟z koordinatalari va radiusi bilan bir qiymatli aniqlanadi.  

Markazi S(a;b) nuqtada va radiusi R bo‟lgan aylana tenglamasi 

(x-a)

2

+(y-b)

2

=R

2

 

 

(2) 

dan iborat bo‟ladi. 

Bunda qavslarni ochib  

x

2

+y

2

-2ax-2by+(a

2

+b

2

-R

2

)=0 ni hosil qilamiz. Agarda –2a=2D; 

-2b=2E; a

2

+b

2

-R

2=

F deb belgilash kiritsak, aylana tenglamasi: 

x

2

+y

2

+2Dx+2Ey+F=0 

 

(3) 

 

Markazi koordinata boshida radiusi R ga teng aylana tenglamasi quyidagicha bo‟ladi: 

x

2

+y

2

=R

2 

 

(4) 

1-misol. 

Markazi C(2:-3) nuqtada, radiusi R=4 ga teng aylana tenglamasi yozilsin. 

 

Yechish: 

(x-2)

2

+(y+3)

2

=4

2

 

x

2

-4x+4+y

2

+6y+9=16 

x

2

+y

2

-4x+6y-3=0 

 

2-misol. 

x

2

+y

2

-6x+8y=0 aylananing markazi va radiusi topilsin.  

 

Yechish: 

x

2

+y

2

-6x+8y=0 



 (x

2

-6x)+(y

2

+8y)=0 

(x

2

-6x+9)+(y

2

+8y+16)-9-16=0 

(x-3)

2

+(y+4)

2

=5

2

 

 

Demak, aylana markazi M(3;-4) va radiusi esa R=5 

 

 

Agar  N  (x

1

;y

1

)  nuqta  aylananing  biror  nuqtasi  bo‟lsa,  u  holda  bu  nuqtadan  aylanaga 

o‟tkazilgan urinma tenglamasi 

(x-a)(x

1

-a)+(y-b)(y

1

-b)=R

2

  (5) 

yoki  

x*x

1

+y*y

1

=R

2

  

(6) 

dan iborat bo‟ladi. 

 

 

 

 

 

 

Misollar. 

1. Aylana tenglamasi tuzilsin: 

a) Markazi 





1

;

3



, radiusi 5; b) Markazi 





8

;

2





, radiusi 10. 

c) Markazi ordinatada va radiusi 

 

7

;

4

 nuqtadan o`tuvchi aylana tenglamasi tuzilsin. 

d) Markazi 





5

;

1



 va 





6

;

4





 nuqtadan o`tuvchi aylana tenglamasi tuzilsin. 

2. Aylana markazi vf radiusi topilsin: 

a) 

0

13

10

4

2

2











y

x

y

x

 

b) 

0

2

6

2

2









y

y

x

 

Urinma 

Urinma 

c) 

0

2

2







x

y

x

 

d) 

0

1

32

8

16

16

2

2











y

x

y

x

 

e) 

1

2

2

2

2









y

x

y

x

 

3. Radiusi 3 ga, markazi  





5

;

2



 nuqtada bo`lgan chiziq tenglamasi tuzilsin. (Cal.A-17). 

4. 

0

7

6

2

2

2











y

x

y

x

 aylananing radiusi va markai  aniqlansin. (Cal.A-17). 

5. 

)

2

;

7

(



N

  nuqtadan  o„tib,  markazi   

)

5

;

3

(



C

  nuqtada  bo„lgan  aylana  tenglamasini 

yozing. 

6. 

)

2

;

4

(

M

  va 

)

8

;

12

(

N

  nuqtalar  berilgan.  Diametri 

MN

  kesmadan  iborat  bo„lgan 

aylana tenglamasini yozing. 

7. Ushbu  

1) 

0

16

8

4

2

2











y

x

y

x

; 

2) 

;

0

3

/

29

8

6

3

3

2

2











y

x

y

x

 

3) 

;

0

7

2

2







x

y

x

 

4) 

0

9

5

5

2

2







y

y

x

 

aylanalarning markazlarini va radiuslarini toping. 

8. 

0

16

8

4

2

2











y

x

y

x

, 

va 

0

14

12

8

2

2











y

x

y

x

 

aylanalar 

markazlaridan o„tuvchi to„g„ri chiziq tenglamasini yozing. 

9. 

0

10

3

4







y

x

, 

0

5

4

3







y

x

, 

0

15

4

3







y

x

  To‟g‟ri  chiziqlarga  urinuvchi 

aylananing  tenglamasini tuzing. 

10.  Маrkazi 

0

2





y

x

  tog‟ri  chiziqda  yotib, 

0

10

3

4







y

x

  vа 

0

30

3

4







y

x

 

to‟g‟ri chiziqlarga urinuvchi aylananing tenglamasini yozing. 

11.  А(-1;5)  nuqtadan  o‟tib 

0

35

4

3







y

x

  vа 

0

14

3

4







y

x

  to‟g‟ri  chiziqlarga 

urinuvchi aylananing  tenglamasini tuzing. 

12. А(1;1) В(1;-1) С(2;0) nuqtalardan o‟tuvchi aylananing tenglamasini tuzing. 

13. 



 



169

7

3

2

2









y

x

  aylananing  М(8,5;3,5)  nuqtada  teng  ikkiga  bo‟linuvch  vatarini 

tenglamasini tuzing. 

14. 



 



16

1

2

2

2









y

x

  aylananing  А(1;2)  nuqtada  teng  ikkiga  bo‟linuvch  vatarini 

tenglamasini tuzing. 

15. 

0

10

10

2

2









y

x

y

x

, 

0

40

2

6

2

2











y

x

y

x

  aylanalarning  umumiy  vatarini 

uzunligini toping. 

16.  А(1;6)  nuqtadan 

0

19

2

2

2









x

y

x

  aylanaga  o‟tkazilgan  urinmaning  tengamalarini 

yozing. 

17. А(4;2) nuqtadan 

10

2

2





y

x

 aylanaga o‟tkazilgan urinmalar orasidagi burchakni toping. 

18.   

0

6

2

10

2

2











y

x

y

x

  aylananing

0

7

2







y

x

  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel  bo‟lgan 

urinmasining tenglamasini toping. 

19. 

0

3

4

2

2









y

y

x

  aylananing

0

7

3







y

x

  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel  bo‟lgan 

urinmasining tenglamasini toping. 

20. 

0

5

6

2

2









x

y

x

 aylananing kanonik tenglamasini yozing. 

21. 

0

10

3

4







y

x

, 

0

5

4

3







y

x

, 

0

15

4

3







y

x

  to‟g‟ri  chiziqlarga  urinuvchi 

aylananing tenglamasini tuzing. 

22.  Markazi 

0

2





y

x

  to‟g‟ri  chiziqda  yotib, 

0

10

3

4







y

x

  va 

0

30

3

4







y

x

 

to‟g‟ri chiziqlarga urinuvchi aylananing tenglamasini yozing. 

23.    A(-1;5)  nuqtadan  o‟tib 

0

35

4

3







y

x

  va 

0

14

3

4







y

x

  to‟g‟ri  chiziqlarga 

urinuvchi aylananing tenglamasini tuzing. 

24.  A(1;1) V(1;-1) S(2;0) nuqtalardan utuvchi aylananing tenglamasini tuzing. 

25. 



 



169

7

3

2

2









y

x

  aylananing  M(8,5;3,5)  nuqtada  teng  ikkiga  bo‟luvchii  vatarini 

tenglamasini tuzing. 

26. 



 



16

1

2

2

2









y

x

  aylananing  A(1;2)  nuqtada  teng  ikkiga  bo‟luvchi  vatarini 

tenglamasini tuzing. 

27. 

0

10

10

2

2









y

x

y

x

, 

0

40

2

6

2

2











y

x

y

x

  aylanalarning  umumiy  vatarini 

uzunligini toping. 

28.  A(1;6)  nuqtadan 

0

19

2

2

2









x

y

x

  aylanaga  o‟tkazilgan  urinmaning  tenglamalarini 

yozing. 

29. A(4;2) nuqtadan 

10

2

2





y

x

 aylanaga o‟tkazilgan urinmalar orasidagi burchakni toping. 

30. 

0

6

2

10

2

2











y

x

y

x

  aylananing 

0

7

2







y

x

  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel        bo‟lgan 

urinmasini tenglamasini toping. 

 

16. Ellips 

 

 

1-Ta`rif. Ellips deb, tekislikning shunday nuqtalari to‟plamiga aytiladiki, bu nuqtalardan 

fokuslar deb ataluvchi  berilgan ikki nuqtagacha  bo‟lgan masofalar  yig‟indisi o‟zgarmas bo‟lib, 

2a ga tengdir. 

 

M(x,y) nuqta – ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo‟lsin. Ellipsning ta`rifiga ko‟ra 

d(F

1

,M)+d(F

2

,M)=2a  

(1) 





,

)

0

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

1

y

c

x

y

c

x

M

F

d















 





,

)

0

(

)

(

)

,

(

2

2

2

2

2

y

c

x

y

c

x

M

F

d















 

 bularni (1) ga qo‟yib 





a

y

c

x

y

c

x

2

)

(

2

2

2

2













 

 

(2) 

soddalashtiramiz: 









).

(

)

(

2

)

2

(

)

(

2

)

(

4

4

2

)

(

4

4

)

(

2

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

c

a

a

y

a

x

c

a

x

c

cx

a

a

y

a

c

cx

x

a

cx

a

y

c

x

a

c

c

x

x

y

c

x

a

a

c

c

x

x

y

c

x

y

c

x

a

a

y

c

x

y

c

x

a

y

c

x

















































































 

2

2

2

b

c

a





 

 

(3) 

 deb belgilaymiz:  

)

(

2

2

2

2

2

2

2

2

b

a

b

a

y

a

x

b









 ga bo‟lasak: 

1

2

2

2

2





b

y

a

x

   

(4) 

Bu ellipsning kanonik tenglamasidir. Bu yerda 

 

a – ellipsning katta yarim o‟qi, 

 

b – ellipsning kichik yarim o‟qi deyiladi. 

 

Ellipsning ekssentrisiteti 



 deb, fokuslari orasidagi (2c) masofaning, ellipsning katta o‟qi 

(2a) nisbatiga aytiladi, ya`ni 

a

c

a

c











2

2

  

(5) 

bundan 0



<1 

 

Ekssentrisitet ellipsning cho‟ziqligi darajasini xarakterlaydi.  

 

Ellipsning  ixtiyoriy  nuqtadan  (F

1

  va  F

2

)  fokuslarigacha  bo‟lgan  masofalar  uning  fokal 

radius-vektorlari (r

1

 va r

2

) deyiladi. 

 

Ixtiyoriy M (x,y) nuqta uchun  

 

.

2

,

,

2

1

2

1

a

r

r

x

a

r

x

a

r

















   

(6) 

 

Ellipsning  kichik  o‟qiga  parallel  bo‟lgan  va  undan 



a

  masofadan  o‟tgan  ikki  to‟g‟ri 

chiziq ellipsning direktrisalari deyiladi:  



a

x





  va 



a

x



 

 

(7) 

 

Ellipsning ixtiyoriy M (x,y) nuqtasiga o‟tkazilgan urinma tenglamasi  

1

2

1

2

1









b

y

y

a

x

x

 

 

(8) 

ko‟rinishda bo‟ladi. 

 

1-misol. 

Katta  o‟qi  10  ga  teng  va  ekssentrisiteti 



=0,8  ga  teng  bo‟lgan  ellipsning  sodda 

tenglamasini tuzing.  

 

Yechish:  

2a=10



a=5   

(5)-formuladan 

C=



 a=4.                 (3)- formulalardan 

b

2

=a

2

-c

2

=5

2

-4

2

=25-16=9 



 b=3. 

 

Bu 

tenglamalarni 

(4) 

ga 

qo‟yib 

ellipsning 

 

sodda 

tenglamasi                             

1

9

25

1

3

5

2

2

2

2

2

2











y

x

y

x

 ni hosil qilamiz.  

 

2-misol.  

        4x

2+

9y

2=

16  ellipsning  katta  va  kichik  yarim  o‟qlarini,  fokuslarini  hamda  ekssentrisitetini 

toping.  

 

 Yechish: 

.

1

9

16

4

1

16

9

16

4

2

2

2

2











y

x

y

x

 

Bundan        

3

4

9

16

2

4

2

2













b

b

a

a

 

 

Misollar. 

1.  Ellipsning parametrlari aniqlansin, gradigi yasalsin: 

a) 

16

4

2

2





y

x

, b) 

1

4

2

2





y

x

, c)  

100

4

25

2

2





y

x

 

d) 

400

25

16

2

2





y

x

, e)

9

9

2

2





x

y

 f) 

1

2

2





x

y

 j) 

225

25

9

2

2





y

x

.(CAL.a-23) 

2. 

225

25

9

2

2





y

x

,  2)

36

9

2

2





y

x

  ellipslar  uchun  o„qlarining  uzunliklarini, 

fokuslarini va ekssentrisitetlarini toping va yasang. 

3.  Koordinat  o„qlariga  nisbatan  simmetrik  bo„lgan  ellips 

)

3

;

2

(

M

va 

)

2

;

0

(

N

 

nuqtalardan o„tadi. Ellips tenglamasini yozing. 

M

 nuqtadan fokuslargacha masofalarni toping. 

4. Ellipsning ekssentrisiteti 



 berilgan. Ellips yarim o„qlarining  

a

b /

 nisbatini toping. 

5.  Ikkita  uchi 

20

5

2

2





y

x

  ellipsning  fokularida,  qolgan  ikkitasi  kichik  yarim  o‟qlarining 

oxirlarida bo‟lgan to‟rtburchkning yuzini toping. 

6. 











 

3

5

;

2

1

M

  nuqta 

1

5

9

2

2





y

x

  ellipsda  yotadi.  М

1

  nuqtaning  fokal  radiuslari  yotadigan  

to‟g‟ri chiziqlarning tenglamalarini yozing. 

7.   М(-4;2,4) nuqtani 

1

16

25

2

2





y

x

  ellipsda yotishini tekshirib, shu nuqtaning fokal radiuslarini 

toping. 

8.  O‟ng fokusdan 14 masofa narida joylashgan 

1

36

100

2

2





y

x

 ellipsning nuqtasini toping. 

9.  quyidagi tenglamalarning har biri ellipsni ifodalashini ko‟rsating. 

1) 

0

9

18

30

9

5

2

2











y

x

y

x

 

2) 

0

284

100

32

25

16

2

2











y

x

y

x

 

Ularning yarim o‟qlari va ekssentrisitetini toping.  

10.  х+2у-7=0 to‟g‟ri chiziqni 

25

4

2

2





y

x

 ellips bilan kesishish nuqtalarini toping. 

11.  m ning qanday qiymatlarida у=-х+m to‟g‟ri chiziq 

1

5

20

2

2





y

x

 а) ellips bilan kesishadi. b) 

ellipsga urinadi,   c) ellipsdan tashqarida yotadi. 

12.   

1

5

2

10

2

2





y

x

  ellipsning 

0

7

2

3







y

x

  to‟g‟ri  chziqqa  parallel  bo‟lgan  urinmalarini 

toping. 

13. 

1

24

30

2

2





y

x

 ellipsning 

0

23

2

4







y

x

 to‟g‟ri chziqqa parallel bo‟lgan urinmalarining 

tenglamalarini yozing. 

14.    А(4;-1)  nuqtadan  o‟tuvchi  х+4у-10=0  t‟g‟ri  chiziqqa  urinuvchi  ellipning  tenglamasini 

yozing.Ellipsning o‟qlarri koordinata o‟qlari bilan utma-ut tushadi. 

15  .  Ikkita  uchi 

20

5

2

2





y

x

  ellipsning  fokuslarida  qolgan  ikkitasi  kichik  yarim    o‟qlarining 

oхirlarida bo‟lgan turtburchakning yuzini toping. 

16. 











 

3

5

;

2

1

M

  nuqta 

1

5

9

2

2





y

x

  ellipsda  yotadi.  M

1

  nuqtaning  fokal  radiuslari  yotadigan 

to‟g‟ri chiziqlarning tenglamalarini yozing. 

17. Fokuslari orasidagi masofa 24, katta o„qi 26 ga teng bo„lgan ellipsning kanonik tenglamasini 

yozing va uni yasang. 

18. Quyidagilar berilganda ellipsning kanonik tenglamasini toping: 

1) katta yarim o„q 

10

, ekssentrisitet 

8

,

0

;                                             

2) kichik yarim o„q 

12

, ekssentrisitet 

13

/

5

 ;                                                

3) ekssentrisitet 

6

,

0

, fokuslar orasidagi masofa 

6

. 

19.  Fokuslari  abscissa  o`qida  yotuvchi  va  quyidagi  shartlarni  qanoatlantiruvchi  ellipsning 

kanonik tenglamasini tuzing: 

a) uning kichiko`qi 24 ga , fokuslar ofasidagi masofa 10 ga teng; 

b) Direktrisalari orasidagi masofa 32 ga, eksentrisiteti 0,5 ga teng.  

20. Ellipsning fokuslari ordinatalar o`qida yotib: 

a) uning  kichik o`qi 16 ga, eksentrisiteti esa 0,6 ga teng; 

b)  uning  fokuslari  6  ga  va  direktrisalari  orasidagi  masofa 

3

2

16

    gat  eng  bo`lsa,  uning  kanonik 

tenglamasini tuzing. 

21.      A(4;-1)  nuqtadan  o‟tuvchi    х+4y-10=0  to‟g‟ri  chiziqqa  urinuvchi  ellipsning  tenglamasini 

yozing. Ellipsning o‟qlari koordinata o‟qlari bilan ustma-ust tushadi. 

22. m ning qanday qiymatlarida u=-х+m to‟g‟ri chiziq 

1

5

20

2

2





y

x

 a) ellips bilan kesishadi. b) 

ellipsga urinadi,   v) ellipsdan tashqarida yotadi. 

23.     

1

5

2

10

2

2





y

x

  ellipsning 

0

7

2

3







y

x

  to‟g‟ri  chiziqqa  parallel  bo‟lgan             

urinmalarini toping. 

24. 

1

24

30

2

2





y

x

 ellipsning 

0

23

2

4







y

x

 to‟g‟ri chiziqqa parallel bo‟lgan urinmalarining 

tenglamalarini yozing. 

25.    Ikkita  uchi 

20

5

2

2





y

x

  ellipsning  fokuslarida  qolgan  ikkitasi  kichik  yarim    o‟qlarining 

oхirlarida bo‟lgan turtburchakning yuzini toping. 

26. 











 

3

5

;

2

1

M

  nuqta 

1

5

9

2

2





y

x

  ellipsda  yotadi.  M

1

  nuqtaning  fokal  radiuslari  yotadigan 

to‟g‟ri chiziqlarning tenglamalarini yozing. 

27.  M(-4;2,4) nuqtani 

1

16

25

2

2





y

x

  ellipsda yotishini tekshirib shu nuqtaning fokal radiuslarini 

toping. 

28. O`ng fokusidan 14 masofa narida joylashgan 

1

36

100

2

2





y

x

 ellipsning nuqtasini toping. 

29.  Quyidagi tenglamalarni хar biri ellipsni ifodalashini ko‟rsating 

1) 

0

9

18

30

9

5

2

2











y

x

y

x

 

2) 

0

284

100

32

25

16

2

2











y

x

y

x

 

Ularning yarim o‟qlari va ekssyentrisitetini toping.  

30.  х+2y-7=0 to‟g‟ri chiziqni 

25

4

2

2





y

x

 ellips bilan kesishish nuqtalarini  toping. 

 

Giperbola. 

 

Ta`rif: Giperbola deb, shunday nuqtalarning geometrik o‟rniga aytiladiki, bu nuqtalardan 

fokuslar deb ataluvchi berilgan ikki nuqtagacha bo‟lgan masofalar ayirmasining absalyut qiymati 

o‟zgarmas bo‟lib, 2a ga teng.  

 

 

 

ta`rifdan 

a

y

c

x

y

c

x

2

)

(

)

(

2

2

2

2













 yoki  

                 

a

y

c

x

y

c

x

2

)

(

)

(

2

2

2

2















.  

 

Ellips tenglamasini keltirib chiqaradigan ishlarni bajarib  

                         

1

2

2

2

2

2







a

c

y

a

x

                                               (1)  

tenglamasini hosil qilamiz. Bu yerda 

                          b

2

=c

2

-a

2

                                                      (2)  

deb belgilab, 

                              

1

2

2

2

2





b

y

a

x

                                                (3) 

giperbolaning kanonik tenglamasini hosil qilamiz.  

 

 

A

1

 (a:0) va A

2

 (-a:0) nuqtalar giperbolaning uchlari deyiladi.  

[A

1

A

2

] kesmaga giperbolaning haqiqiy o‟qi deyiladi.  

[B

1

B

2

] kesmaga giperbolaning mavhum o‟qi deyiladi.  

a - haqiqiy yarim o‟q, в – mavhum yarim o‟q deyiladi. 

Mos ravishda  

                       y=



х

а

в

                                                  (4) 

 formula bilan aniqlanuvchi ikki (L

1

) va (L

2

) to‟g‟ri chiziqlarga asimptotalar deyiladi. Formula 

                     



=

а

с

                                                          (5)  

bilan  aniqlanuvchi  kattalikka  giperbolaning  ekssentrisiteti  deyiladi.  s>a  bo‟lganligidan 



>1. 

Agar 



 

birga  yaqin  bo‟lsa, giperbola tarmoqlari  shuncha siqiq va 



  birdan  qancha  katta  bo‟lsa, 

giperbola tarmoqlari shuncha yoyiq joylashgan bo‟ladi. 

Giperbolaning  istalgan  M(x,y)  nuqtasidan  uning  F

1

(c;0)

 

va  F

2

(-c;0)  fokuslarigacha 

bo‟lgan  r

1

=d(F

1

;M),  r

2

=d(F

2

;M)  masofalar  shu  M  nuqtaning  fokal  radiuslari  deyiladi  va  ular 

quyidagi formulalardan topiladi: 

            X<0 da 

















x

a

r

x

a

r





2

1

(chap tarmoq uchun).                     (6) 

           X>0 da 

















x

a

r

x

a

r





2

1

 (o’ng tarmoq uchun).                      (6

1

) 

Giperbolaning  direktrisalari  deb,  uning  markazidan 



a



  masofada  fakol  o‟qiga 

perpendikulyar bo‟lib o‟tadigan ikki to‟g‟ri chiziqqa ((SD) va (C

1

D

1

)) aytiladi va 

              



a

x



 va 



a

x





                                                 (7)  

formuladan topiladi. 

Yarim o‟qlari teng (a=в) bo‟lgan giperbolaga teng tomonli giperbola deyiladi va 

                      x

2

-y

2

=a

2

                                                     (8)  

formula bilan ifodalanadi. 

Giperbolaning (x

1

;y

1

) nuqtasiga o‟tkazilgan urinmaning tenglamasi:  

                   

1

2

1

2

1









b

y

y

a

x

x

                                                (9)  

formuladan aniqlanadi. 

1-misol.   

Fokuslari  orasidagi  masofa  2c=8  bo‟lgan,  uchlari  orasidagi  masofa  2a=6  bo‟lgan 

giperbolaning kanonik tenglamasi tuzilsin. 

Yechish:      

4

8

2







c

c

 

7

7

9

16

3

4

3

6

2

2

2

2

2

2

























b

a

c

b

a

a

 

(3) formuladan              

1

7

9

2

2





y

x

            hosil qilamiz. 

 

Misollar. 

1. Giperbolaning parametrlarini aniqlang va grafigini yasang. 

a) 

400

25

16

2

2





y

x

, b)

9

9

2

2





x

y

 c) 

1

2

2





x

y

 d) 

225

25

9

2

2





y

x

.(CAL.a-23) 

2. 

36

4

9

2

2





y

x

 giperbolaning parametrlarini aniqlang va grafigini yasang. 

(Cai.A-21) 

3. Quyidagilar berilganda giperbolaning kanonik tenglamacini yozing:                                                                      

1) fokuslari orasidagi masofa 10, ekssentrisitet 

3

/

5

;                                                                  

2) 

haqiqiy yarim o„q 

20

 va giperbola 

)

4

;

10

(



N

 nuqtadan o„tadi; 

3)  

fokuslar orasidagi masofa 10, uchlari orasidagi masofa 4. 

4. 1) 

3600

25

144

2

2





y

x

; 2) 

144

9

2

2





y

x

 giperbolalar uchun o„qlarning uzunliklarini, 

fokuslarini va ekssentrisitetini toping. 

5.  

1

16

9

2

2





y

x

       giperbolada absisasi 3 ga teng nuqta  

olingan. Bu nuqtaning fokal radiuslarini toping.  

6. 

1

9

/

25

/

2

2





y

x

ellips  berilgan.  Uchlari  ellipsning  fokuslarida,  fokuslari  esa  uning 

uchlarida bo„lgan giperbola tenglamasini yozing va uni yasang. 

7.  Giperbola  biror  uchidan  fokuslarigacha  bo„lgan  masofalar  9  va  1  bo„lsa,  uning  tenglamasini 

yozing. 

8. 

16

4

2

2





y

x

  giperbolani  va  uning  asimptotalarini  yasang.  Fokuslarini,  ekssentrisitetini 

va asimptotalari orasidagi burchakni toping. 

9. 





5

;

10

1



M

  nuqta 

1

20

80

2

2





y

x

  giperbolada  yotadi.  М

1

  nuqtaning  fokal  radiuslari  yotgan 

to‟g‟ri chiziqlarning tenglamasini yozing. 

10. 

1

36

64

2

2





y

x

 giperbolaning o‟ng fokusidan  4,5 birlik masofada yotuvchi nuqtalarni toping. 

11. Quyidagi tenglamalar qanday chiziqlarni ifodalashini aniqlang. 

1) 

5

4

3

2

1

2











x

x

y

 

2) 

13

6

2

3

7

2









x

x

y

 

3) 

8

4

2

9

2









y

y

x

 

4) 

12

4

4

3

5

2









y

y

x

 

12.  Agar  giperbolaning  ekssentrisiteti 

5



E

  fokusi 





3

;

2



F

  va  unga  mos  direktrisasi 

0

3

3







y

x

 bo‟lsa, uning tenglamasini yozing. 

13. 

0

10

2







y

x

 to‟g‟ri chiziq va 

1

5

20

2

2





y

x

 giperbolaning kesishish nuqtalarini toping. 

14.Fokuslari  orasidagi  masofa  10  ga  teng  va  mavhum  yarimm  o`qi  3  ga  teng  bo`lgan 

giperbolaning kanonik tenglamasinin tuzing. 

J: 

1

9

16

2

2





y

x

 

15. 

144

9

16

2

2





y

x

perbola  berilgan.  Uning  yarim  o`qini,  fokuslari  koordinatalarini, 

eksentrisitetini, direktrisasi va asimptotalari tenglamasini to;ping. 

j: 

 

0

;

5

,

4

,

3

1

F

b

a





 va 





3

4

,

5

9

;

3

5

;

0

;

5

2













y

x

F



 

16. Giperbolaning fokuslari abssissala o`qida byotib: 

a) uning fokuslari orasidagi masofa 6 ga va eksentrisiteti 1,5 ga teng; 

b)  Unjing  haqiqiy  yarim  o`qi  5  ga  teng,  uchlari  esa  markazi  bilan  fokuslar  orasidagi  masofani 

teng ikkiga bo`lsa, uning kanonik tenglamasini tuing. 

17. Giperbolaning fokuslari Oy o`qida yotib: 

a) asiptotalari 

x

y

5

12





 va uchlari orasidagi masofa 48 ga teng; 

b) Fokuslari orasidagi masofa 10 ga, eksentrisiteti 

3

5

 gat eng bo`lsa, uning kanonik tenglamasini 

tuing. 

18. Mavhum o`qi 4 ga teng va fokusi 





0

;

13



F

 nuqtada bo`lgan giperbola tenglamasi tuzilsin. 

19. 

18.Parabola 

 

Ta`rif:  Parabola  deb,  shunday  nuqtalarning  geometrik  o‟rniga  aytiladiki,  ularning  har 

biridan o‟zgarmas bir nuqtasigacha parobolaning fokusigacha va o‟zgarmas to‟g‟ri chiziqqacha 

parabolaning  direktrisasigacha  bo‟lgan  masofalar  o‟zaro  tengdir.  Koordinatalar  boshidan  o‟tib 

Ox o‟qiga simmetrik bo‟lgan parabola tenglamasi       

                       y

2=

2px                                                   (1)  

dan iborat bo‟ladi. 

 

        1-chizma  

 

 

 

 

 

2-chizma 

 

Direktrisa tenglamasi:    

                               

2

P

x





                                                   (2) 

(1) formula bilan ko‟rsatilgan parabola fokusi:   













0

;

2

P

F

 

Parabolaning M(x,y) nuqtasining fokal radiusi 

                           

2

P

x

r





                                                     (3) 

formuladan topiladi. 

Agar parabola koordinata boshidan o‟tib Oy o‟qiga simmetrik bo‟lsa uning tenglamasi:  

                       x

2

=2py                                                   (4)  

Uning direktrisasi tenglamasi:  

                              

,

2

P

y





                                                    (5)  

Fokusi 













2

;

0

P

F

 nuqtada, M(x,y) nuqtasining fokal radiusi  

                            

2

P

y

r





                                                     (6)  

formula yordamida aniqlanadi. 

 (1)  va  (4)  formulalar  bilan  aniqlanuvchi  parabolaning  A(x

1

,y

1

)  nuqtasiga  o‟tkazilgan 

urinma tenglamalari mos ravishda                

            yy

1=

p(x+x

1

)        va        xx

1

=p(y+y

1

)     (7) 

formulalar bilan ifodalanadi. 

2-misol.  

 

2

4

1

x

y



  parabola  fokusining  koordinatalarini  toping  va  direktriasining  tenglamasini 

tuzing. 

Yechish:  

2

4

1

x

y



 ni kanonik ko‟rinishda yozamiz: 

y

x

x

y

4

4

1

2

2







  buni  (4)  bilan  solishtirsak  2p=4



p=2  ekanligi  kelib  chiqadi.  Direktrisa 

tenglamasini 

2

P

y





 dan topamiz. 

1

1

2

2

2



















y

P

y

  bo‟ladi.  Parabola fokusining 

koordinatasi: 













2

;

0

P

F

 yoki F(0;1). 

 

Misollar. 

1. Parabola chizilsin:  

a) 

2

x

y





, b) 

,

2

2

y

x





c) 

1

2





y

x

, d) 

13

6

2







x

x

y

,e) 

,

4

2

y

x





d)

2

2





x

y

,  

e) 

x

x

y

2

2





. 

2. 

2

x

y



 parabolaning grafigi chizilsin. (Cal.A-18). 

3. 

2

y

x



 parabolaning grafigi chizilsin. (Cal.A-19). 

4. 

1

4

2

2







x

x

y

 parabolaning parametrlarini aniqlan va grafigini chizing. 

 (Cai.A-21) 

5. 

1

2





y

x

 parabolaning parametrlarini aniqlan va grafigini chizing. 

 (Cai.A-21) 

6.  

x

y

6

2



 parabola berilgan. Uning p parametrini, direktrisasi tenglamasini toping va shaklni 

chizing. 

J: p=3,

2

3

;

0

;

2

3

















x

F

 

7. Parabolaning kanonik tenglamasini tuzing: a)  parabolaning fokusi 

 

4

;

0

F

 ;b) parabola Ox 

o`qqa nisbatan simmetrik va A(9;6) nuqtalarni aniqlang 

8. Direktrisasi 

3





y

 bo`lgan parabolaning kanonik  tenglamasi tuzilsin. 

9.  Koordinatlar  boshidan  va 

)

6

;

3

(



N

  nuqtadan  o„tib, 

Oy

  o„qiga  simmetrik  bo„lgan 

parabola tenglamasini yozing va uni yasang. 

10. Koordinatlar boshidan va 

)

3

;

6

(

N

 nuqtadan o„tib, 

Oy

 o„qiga simmetrik bo„lgan parabola 

tenglamasini yozing va uni yasang. 

11.  1) 

x

y

6

2



;    2) 

x

y

6

2





;    3) 

y

x

4

2





;      4) 

y

x

4

2



    parabolalar  uchun 

fokuslarini va direktrisalarining tenglamalarini toping. 

12. 

x

y

16

2



 parabolada fokal radiusi 5 ga teng bo„lgan nuqtani toping. 

13.  Ox   o„qiga  nisbatan  simmetrik  bo„lgan  parabola, 

0





y

x

  to„g„ri  chiziq  va 

0

4

2

2







y

y

x

  aylana  kesishgan  nuqtalardan  o„tadi.  Parabola  tenglamasini  yozing. 

Aylanani, to„g„ri chiziqni va parabolani yasang. 

14. Е(0;-3) fokusga ega bo‟lib, koordinatalar boshidan o‟tuvchi parabolaning tenglamasini, 

Oy

 

o‟qi parabolaning cimmetriya o‟qi ekanligini hisobga olib, tuzilsin. 

15.  Quyidagi tenglamalar qaysi chiziqlarni ifodalaydi. 

1) 

x

y

2





 

2) 

x

y

2





 

3) 

y

x

5





 

4) 

y

x

3





 

16.    М  nuqtaning  ordinatasi  7  gа  teng  bo‟lib 

x

y

20

2



  parabolada  yotadi.  М  ning  fokal 

radiuslarini toping. 

17.   F(-7;0) fokusga va x-7=0 direktrisaga ega bo‟lgan parabolaning tenglammi yozilsin. 

 18. 

x

y

16

2



 parabolada fokal radiusi 13 ga teng bo‟lgan nuqtani toping.