Tekislikdagi Labacheviskiy aksiomalar sistemasim. Uzoqlashuvchi tòĝri chiziqlar va ularning xossalari

2.2-teorema. Lobachevskiy tekisligida uchburchak ichki burchaklari 
yig’indisi 180
𝑜
dan kichik. 
2.3-teorema. Agar uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 
180
𝑜
dan 
kichik bo’lsa, Lobachevskiy aksiomasi o’rinli bo’ladi. 
Isbot. 
𝐴𝐵 kesmaning uchlaridan shu kesmaga perpendikulyar bo’lgan 𝑎, 𝑏 
to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz. Absolyut geometriyadan ma’lumki, 𝑎, 𝑏 to’g’ri 
chiziqlar kesishmaydi. 
𝐵 nuqtadan o’tib, 𝑏 dan farqli 𝑎 bilan kesishmaydigan yana 
bitta to’g’ri chiziqning mavjudligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. 𝑎 
to’g’ri chiziqda ixtiyoriy 𝐷 nuqtani olib, 𝐵𝐷 
nurni o’tkazsak, ∠𝐴𝐷𝐵 = 𝛽 burchak hosil 
qilinadi, so’ngra shu burchakni 𝐵 nuqtadan 
boshlab, bir tomoni 
𝐵𝐷 nurdan iborat qilib 
qo’yamiz (𝐴𝐵𝐷 burchakdan tashqariga), bu 
burchakning ikkinchi tomoni 
𝐵𝐶 nur bo’lsin. Shartga ko’ra, 𝐴𝐵𝐷 uchburchak ichki 
burchaklarining yig’indisi 180
𝑜
dan kichik bo’lgani uchun, ya’ni 
90
𝑜
+ 𝛽 +
∠𝐴𝐵𝐷 < 180
𝑜
yoki 
𝛽 + ∠𝐴𝐵𝐷 < 90
𝑜
, bundan 
∠𝐴𝐵𝐶 < 90
𝑜
. Bu vaqtda 
𝐵𝐶 
to’g’ri chiziq 𝑎 bilan kesishmaydi. Aksincha 𝐵𝐶 tog’ri chiziq bilan 𝑎 biror 𝐸 
nuqtada kesishadi deb faraz qilsak, 
𝐷𝐵𝐸 uchburchak hosil bo’lib, ∠𝐴𝐷𝐵 bu 
uchburchak uchun tashqi burchakdir. U holda 
∠𝐴𝐷𝐵 = ∠𝐷𝐵𝐸 = 𝛽 bo’lgani 
uchun, bu esa ziddiyatdir. Demak, 
𝐵𝐶 bilan 𝑎 kesishmaydi. Ushbu xulosaga 

---

keldik: Lobachevskiy aksiomasi “uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 
180
𝑜
dan kichik” degan farazga ekvivalent. 
𝐴𝐵𝐶 uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 𝑆
∆𝐴𝐵𝐶
bilan belgilasak, 
180
𝑜
- 
𝑆
∆𝐴𝐵𝐶
ayirma musbatdir, uni 
𝐴𝐵𝐶 uchburchakning nuqsoni (defekti) deb 
ataladi va 
𝛿
∆𝐴𝐵𝐶
bilan belgilanadi.