Tekislikdagi Labacheviskiy aksiomalar sistemasim. Uzoqlashuvchi tòĝri chiziqlar va ularning xossalari

3.1-teorema. Agar 
𝐴 nuqtaga nisbatan 𝐴𝐷||𝑃𝑁 bo’lsa, u holda 𝐴𝐷 to’g’ri 
chiziqning ixtiyoriy 
𝐶 nuqtasi uchun ham 𝐴𝐷||𝑃𝑁 bo’ladi. 

---

Isbot. Avvalo shuni ta’kidlaymizki, 
𝐴𝐷||𝑃𝑁 bo’lgani uchun 𝐴𝐷 bilan 𝑃𝑁 
kesishmaydi (5- chizma). Ikki holni tekshiramiz: 
1-hol. 
𝐶 nuqta 𝐴𝐷 nurga tegishli bo’lsin. 𝑃𝑁 to’g’ri chiziqning ixtiyoriy 
𝑆 nuqtasini olib, 𝑆𝐴 va 𝑆𝐶 to’g’ri chiziqlarni o’tkazamiz, so’ngra ∠𝑆𝐶𝐷 ning 
ichidan 
𝐶𝐸 nurni o’tkazamiz. 𝐶𝐸 bilan 𝑃𝑁 to’g’ri chiziqlarning kesishishligini 
ko’rsatamiz. 𝐶𝐸 nurda ixtiyoriy 𝐸 nuqtani olaylik, agar 𝐸 nuqta 𝑃𝑁 ga tegishli 
bo’lsa, yoki 𝐸 nuqta 𝑆𝑁 to’g’ri chiziqqa nisbatan 𝐶 bilan har xil tomonda joylashib 
qolsa teorema isbot etilgan bo’ladi. 𝐸 nuqta 𝐶 nuqta bilan birga 𝑆𝑁 to’g’ri 
chiziqning bir tomonida yotsin. U holda 
𝐴𝐸 nur 𝑃𝑁 bilan biror 𝐹 nuqtada 
kesishadi (chunki 
𝐴𝐷||𝑃𝑁). 
𝑆𝐴𝐹 uchburchak va 𝐶𝐸 to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasini tatbiq qilsak, 
𝐶𝐸 to’g’ri chiziq 𝑆𝐴 yoki 𝑆𝐹 kesmalardan birini kesishi kerak, lekin 𝑆𝐴 ni 
kesmaydi, chunki, u kesma 
∠𝐷𝐶𝑆 ning tashqarisida, 𝐶𝐸 nur esa uchburchakning 
ichida, demak 
𝐶𝐸 nur 𝑆𝐹 ni kesadi va 𝐴𝐷||𝑃𝑁.
2- hol. 
𝐶 nuqta 𝐴𝐷 nurga tegishli bo’lmasdan, uning to’liruvchisiga tegishli 
bo’lsin, ya’ni 𝐴 nuqta 𝐶 bilan 𝐷 ning orasida yotsin. 𝑃, 𝐶, 𝐴 nuqtalardan 𝑃𝐶𝐴 
uchburchakni hosil qilamiz (6- chizma). 
∠𝑃𝐶𝐴 ning ichidan o’tgan 𝐶𝐸 ixtiyoriy 
nurni 
𝑃𝑁 bilan kesishishligini isbotlasak, maqsadga erishgan bo’lamiz. 𝐶𝐸 ning 
toldiruvchisida biror 
𝑇 nuqtani olib, 𝑇𝐴 to’g’ri chiziqni o’tkazsak, y ∠𝑃𝐴𝐷 ning 
ichidan o’tadi va 𝐴𝐷||𝑃𝑁 bo’lgani uchun 𝑃𝑁 bilan biror 𝑆 nuqtada kesishadi. U 
holda 
𝑃𝐴𝑆 uchburchak va 𝐶𝐸 to’g’ri chiziq uchun Pash aksiomasidan 𝐶𝐸 nur 𝑃𝑆 
bilan kesishadi degan natijaga kelamiz. Parallel to’g’ri chiziqlar haqida 
gapirilganda ularning qaysi nuqtasiga nisbatan parallelligi ta’kidlanmaydi.