Tekislikdagi Labacheviskiy aksiomalar sistemasim. Uzoqlashuvchi tòĝri chiziqlar va ularning xossalari

3.2-teorema. 
𝐴𝐷||𝑃𝑁 ⇒ 𝑃𝑁||𝐴𝐷 . 
Isbot. 
𝐴𝐷 to’g’ri chiziqning ixtiyoriy 𝐴 nuqtasidan 𝑃𝑁 ga 𝐴𝑃 
perpendikulyar tushiramiz (7- chizma). Shartga ko’ra 
𝑃𝑁 bilan 𝐴𝐷 to’g’ri chiziqlar 
kesishmaydi. 
∠𝐴𝑃𝑁 ning ichidan o’tgan ixtiyoriy 𝑃𝐸 nurning 𝐴𝐷
𝑃𝑁
bilan 
kesishishini ko’rsatsak kifoya.
Buning uchun 
𝑃𝐸 to’g’ri chiziqning 𝑃𝑁 bilan hosil qilgan β burchak 𝛼
0
dan 
(parallellik burchagidan) kichik bo’lgan holni ko’rsatsak bo’ladi. 𝐴𝐸⏊𝑃𝐸 ni 

---

o’tkazib, ∠𝑃𝐴𝐸 = 𝛾 desak, 𝐴𝑃𝐸 uchburchak ichki burchaklarining yig’indisi 180
𝑜
dan kichik bo’lgani uchun 𝛾 + 90
𝑜
− 𝛽 + 90
𝑜
< 180
𝑜
yoki 
𝛾 < 𝛽 bo’ladi. 𝐴𝐸 <
𝐴𝐷 bo’lgani uchun (gipotenuza katetdan kata) 𝐴𝑃 ga 𝐴 dan boshlab 𝐴𝐸 kesmani 
o’lchab qo’yib (𝐴𝐸 = 𝐴𝐹), 𝐹 nuqtani topamiz. 𝐴𝑃⏊𝐹𝐶 ni o’tkazib, 𝐹𝐶 nurni hosil 
qilamiz. 
𝐴𝑁⏊𝐴𝑃, 𝐴𝑃⏊𝐹𝐶 bo’lgani uchun 𝑃𝑁 bilan 𝐹𝐶 kesishmaydi, ∠𝐷𝐴𝐸 ning 
ichiga γ ni qo’yamiz, uning bir tomoni 𝐴𝐵 nur 𝑃𝑁 bilan 𝑇 nuqtada kesishadi 
(chunki 
𝐴𝐵 nur parallellik burchagi ichidan o’tadi). Pash aksiomasiga asosan 𝐹𝐶 
to’g’ri chiziq 𝐴𝑇 bilan biror 𝐺 nuqtada kesishadi. 𝐴𝐷 ning ustiga 𝐴𝐺 = 𝐴𝐺
′
ni 
qo’yib, 𝐺
′
nuqtani hosil qilamiz. U holda 
𝐴𝐺
′
≡ 𝐴𝐺, 𝐴𝐸 ≡ 𝐴𝐹 va ∠𝐹𝐴𝐵 ≡
∠𝐸𝐴𝐺
′
bo’lgani uchun 
∆𝐴𝐸𝐺
′
≡ ∆𝐴𝐹𝐺, bundan ∠𝐴𝐸𝐺
′
= ∠𝐴𝐹𝐺 = 90
𝑜
. Lekin 
𝐴𝐸⏊𝑃𝐸 bo’lgani uchun 𝐸𝐺
′
kesma 
𝑃𝐸 nurga tegishli, demak 𝑃𝐸 nur 𝐴𝐷 ni 𝐺
′
nuqtada kesadi. 
Quyidagi teoremalarni yuqoridagi kabi isbotlash mumkin. 
3.3-teorema. Ikki to’g’ri chiziqning har biri ma’lum yo’nalishdagi bitta 
to’g’ri chiziqqa parallel bo’lsa, ular ham shu yo’nalishda o’zaro parallel bo’ladi. 
3.4-teorema. Ikki parallel to’g’ri chiziqdan biridagi nuqtadan 
ikkinchisigacha bo’lgan masofa parallellik yo’nalishi tomon yetarlicha kichiklashib 
boradi, parallellik yo’nalishiga teskari tomonda esa bu masofa yetarlicha 
kattalashib boradi (ya’ni parallel to’g’ri chiziqlar parallellik yo’nalishi tomon bir-
biriga asimptotik yaqinlashib boradi). 
3.5-teorema. Har qanday o’tkir burchakning bir vaqtda bir tomoniga 
perpendikulyar bo’lib, ikkinchi tomoniga parallel to’g’ri chiziq mavjud. 
Bu teorema boshqacha quyidagicha ifodalanadi: 
Har qanday o’tkir burchak parallellik burchagi bo’la oladi.