Tekislikdagi Labacheviskiy aksiomalar sistemasim. Uzoqlashuvchi tòĝri chiziqlar va ularning xossalari

 
 
 
 
 
 
 
 
Lobachevskiy geometriyasining aksiomatikasi absolyut geometriya 
aksiomalari qatoriga Lobachevskiy aksiomasini qo’shish bilan hosil qilinadi. 
Demak, Lobachevskiy geometriyasida absolyut geometriyaning barcha ta’rif va 
teoremalari o’z kuchini saqlaydi. 
Lobachevskiy aksiomasi. Tekislikda to’g’ri chiziq tashqarisida olingan 
nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan kamida ikkita to’g’ri chiziq o’tadi. 
Shuni ta’kidlab o’tamizki, to’g’ri chiziqda yotmaydigan nuqtadan uning 
bilan kesishmaydigan to’g’ri chiziq o’tishligini tasdiqlovchi fakt absolyut 
geometriyaga taalluqlidir, bu to’g’ri chiziqning yagonaligini parallellik aksiomasi 
tasdiqlaydi. Lobachevckiy aksiomasi esa bunday to’g’ri chiziqning kamida 
ikkitaligini tasdiqlaydi. 
2.1-teorema. Lobachevskiy tekisligida to’g’ri chiziqda yotmaydigan 
nuqtadan bu to’g’ri chiziq bilan kesishmaydigan cheksiz ko’p to’g’ri chiziq o’tadi. 
Isbot. Lobachevskiy aksiomasiga 
asosan 
𝐴 nuqtadan 𝑎 to’g’ri chiziq bilan 
(1- chizma) kesishmaydigan 
𝑏 va 𝑐 
to’g’ri chiziqlari o’tsin. 𝑐 to’g’ri 
chiziqda shunday 
𝐶 nuqtani olamizki, 
bu nuqta va 
𝑎 to’g’ri chiziq 𝑏 to’g’ri 
chiziq bilan aniqlanadigan turli yarim tekisliklarga tegishli bo’sin. 
𝑎 to’g’ri 
chiziqda ixtiyoriy 
𝐷 nuqtani olib, 𝐶𝐷 to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq 𝑏 
bilan biror 
𝐵 nuqtada kesishadi, 𝐵 nuqta 𝐶 bilan 𝐷 orasida yotadi. 𝐵𝐶 kesmaning 
ixtiyoriy 
𝐸 nuqtasini olib, 𝐴𝐸 to’g’ri chiziqni o’tkazsak, bu to’g’ri chiziq 𝑎 bilan 

---

kesishmaydi. Haqiqatan ham, 
𝐴𝐸 bilan 𝑎 to’g’ri chiziq biror nuqtada kesishadi deb 
faraz qilib, 
𝐷𝐸𝐹 uchburchak va 𝑏 to’g’ri chiziqqa nisbatan Pash aksiomasini 
qo’llasak, 𝑎 bilan 𝑏 kesishadi, degan xulosaga kelamiz. Bu esa shartga zid. 
Demak, 
𝐵𝐶 kesma nuqtalari cheksiz ko’p bo’lgani uchun 𝐴𝐸 ga o’xshash 
cheksiz ko’p to’g’ri chiziqlar 𝐴 nuqtadan o’tib, 𝑎 bilan kesishmaydi. 
Beshinchi postulatning barcha ekvivalentlari ham Lobachevskiy 
geometriyasida o’z kuchini yo’qotadi, jumladan, uchburchak ichki burchaklarining 
yig’indisi endi 180
𝑜
ga teng emas.