Tekislikka tegishli to'g'ri chiziq va nuqta

Ikki to’g’ri chiziq orasidagi burchak
Boshida L\ va L₂ to’g’ri chiziqlar у = k\x+b\ va у = k2X+b₂ burchak koeffitsientli tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.
Agar ai va a₂ - L\ va L₂ to’g’ri chiziqlarning Ox o’qi bilan tashkil qilgan burchaklar, ф - esa shu to’g’ri chiziqlar orasidagi burchaklardan biri bo’lsa, elementar mulohazalardan keyin
tenglik kelib chiqadi.
Shunday qilib,

74-rasm 1
75-rasm 2
Tekislikning bosh chiziqlari 3
Tekislikning gorizontali 3
78-rasm 4
79-rasm 4
Tekislikning profil chizig'i 4
Tekislikning eng katta og′ma chizig'i 5
To'g'ri chiziq va tekisliklarning o'zaro parallelligi 7
84-rasm 8
87-rasm 9

Endi Li va L2 ikkita to’g’ri chiziqlar
x-x₁_y-y₁ _ x-x₂_y-y₂
— Vd —
^ m_x I, m ,
kanonik tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.

L\ va L₂ to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak shu to’g’ri chiziqlarning yo’naltiruvchi va fl2⁼{/2;m₂} vektorlari orasidagi burchak sifatida aniqlanadi, shuning uchun (3.5) formuladan quyidagiga ega bo’lamiz:

a_]a₂ I a, lla.

cos cp =

A

тл	m2
1	1 ^9	2
'	2	+ m2
h		mx
l2		m2

i||^u2| yjl*+m{

hh+mim^O.
Nihoyat, to’g’ri chiziqlar umumiy ko’rinishdagi
AixBiyCi 0 va Ajx Bjy С2 0 tenglamalari bilan berilgan bo’lsin.
va П2={А₂\В₂} vektorlar bu to’g’ri chiziqlarning normal vektorlari bo’lganligi uchun to’g’ri chiziqlar orasidagi burchak ularning normal vektorlari orasidagi burchak bilan barobar. Demak,
nn A, A-, + В, B-,
COS (p=- -
mⁿ2\ yjA^+B,² -^A₂+B₂ To’g’ri chiziqlarning parallelik sharti ni va n₂ vektorlarning kollinearlik shartiga ekvivalent, A В
ya’ni — = — ko’rinishga ega, to’g’ri chiziqlarning perpendikularlik sharti esa nin₂ skalyar A₂ B₂
ko’paytmaning nolga tengligidan kelib chiqadi, ya’ni A_XA₂ + B_XB₂= 0 ko’rinishga ega.
To’g’ri chiziqning normal ko’rinishdagi tenglamasi
To’g’ri burchakli koordinat sistemasida koordinata boshidan o’tmaydigan ixtiyoriy L to’g’ri chiziq va koordinata boshidan chiquvchi va L to’g’ri chiziqqa perpendikular, oxiri to’g’ri chiziqda yotuvchi a vektor berilgan bo’lsin. a vektor to’lig’icha L to’g’ri chiziqni aniqlaydi (a vektorning oxiridan unga perpendikular yagona to’g’ri chiziq o’tadi). p a vektorning uzunligi bo’lsin, ya’ni, r=|a| va n={cosa;sina}- a vektor yo’nalishiga ega bo’lgan birlik vektor bo’lsin. Bu erda a - a (yoki n) vektor bilan Ox o’qining musbat yo’nalishi orasidagi burchak. M(x,>’) orqali L to’g’ri chiziqning ixtiyoriy (joriy) nuqtasini belgilaymiz. Ko’rinib turibdiki, OM vektorning n birlik vektor yo’nalishidagi proektsiyasi r ga teng. U holda, (2.3) tengliklardan:
OM ■ n=|n|pr_nQM=r (5.8)

ni hosil qilamiz.
Bu L to’g’ri chiziqning vektorial tenglamasidir.
Agar L to’g’ri chiziq koordinatalar boshidan o’tsa, uning tenglamasi (14) ko’rinishga ega, bu erda n - unga perpendikular birlik vektor, faqat p=0. (5.8) formula koordinatalar orqali quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:
x cos a +y sin a=r. (5.9)

9. 
   tenglama to’g’ri chiziqning normal ко 'rinishdagi tenglamasi deyiladi.
   

Agar L to’g’ri chiziq Ax+By+C=0 umumiy tenglama bilan berilgan bo’lsa, uni
jii = ± 1/,
/ -JA¹ +B²
songa ko’paytirib, normal ko’rinishga keltirish mumkin, bu erda bu sonning ishorasi С ning ishorasiga qarama-qarshi (r=- fuC > 0) qilib olinadi.
|j, son normallovchi ko'paytuvchi deyiladi. (|jA)²+(|j,V)²=1 bo’lganligi uchun yagona a (0 < a <2k) burchak mavjud bo’lib, |jA=cosa, |j,V=sina bo’ladi. Natijada (5.9) tenglamani hosil qilamiz. Bu erda: p = -//(' > 0. Eslatib o’tamizki, r son koordinata boshidan L to’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofaga teng.
Quyidagi masalani qaraymiz: Berkitilgan Mo(xo,yo) nuqtadan
Ax+By+C=Q. (5.10)
tenglama bilan berilgan L to’g’ri chiziqqacha bo’lgan d masofa topilsin.
Faraz qilaylikki,
—У
ОМ n-r=0 (5.11)
(5.10) tenglamaning normal ko’rinishdagi tenglamasi bo’lsin. Shunday qilib, agar CV0, r (r>0) koordinata boshi О dan chiquvchi L to’g’ri chiziqqa perpendikular a vektorning uzunligi bo’ladi, n

• 
  esa a vektor yo’nalishiga ega bo’lgan birlik vektor, r =| a |, n = —. Mix, y)-L to’g’ri chiziqning
  

P ixtiyoriy joriy nuqtasi bo’lsin. U holda, ko’rinib turibdiki, Mo(x₀, yo) nuqtadan L gacha masofani —У ^ topish uchun MqM = OMo-OM vektorni n vektor yo’nalishiga proektsiyalab, proektsiya kattaligining absolyut qiymatini olish kerak:
d =| pr_n MM₍₎ |=| MM₍₎■ n |=| OM_t)■ n - OM |=| OM_t) n-r \ yoki
d =| OM₍₎-n-r | (5.12)
Shunday qilib, d masofani hosil qilish uchun (5.10) tenglamani (5.11) normal ko’rinishga keltirib, chap tomondagi x, у lar o’rniga mos ravishda M₀(x₀,>’0) nuqtaning x₀, yo koordinatalarini qo’yib, hosil bo’lgan ifodaning absolyut qiymatini olish kerak.
Ko’rinib turibdiki, L to’g’ri chiziqning (5.10) umumiy tenglamasi uchun (5.12) tenglik quyidagi ko’rinishga ega:
\Ax₀+By₀+C\ ₍цлъ\
d = ~—, , , ' (5.13)
y]A +B
S=0 bo’lganda (5.12) formula, shuningdek, (5.13) formula ham o’rinli bo’laveradi. Bu holda: r=0, n

• 
  L ga perpendikular ikkita vektorlardan biri hisoblanadi.
  

Shunday qilib,
^ ^ ^ ^ lyljc + By I
d=| pr_nMqM \=\OMo-n-OM-n | = \OM₀ -n| yoki d = ' . ⁰ ,
U²+b²
ya’ni C=0 bo’lgan holdagi (5.13).
To’g’ri chiziqlar dastasining tenglamasi
Berilgan tekislikda joylashgan va shu tekislikning biror S nuqtasidan o’tuvchi to’g’ri chiziqlar to’plami markazi S nuqtada bo’lgan to’g’ri chiziqlar dastasi deyiladi. To’g’ri chiziqlar dastasining S markazi shu dastaning ikkita turli to’g’ri chizig’ining berilishi bilan to’liq aniqlanadi. Dastaning markazi S(xo,yo) ni bilgan holda dastaning ixtiyoriy to’g’ri chizig’ining tenglamasini yozish oson. Buning uchun to’g’ri chiziq S(x₀, yo) nuqtadan o’tadi degan faraz bilan to’g’ri chiziqning burchak koeffitsientli tenglamasi (8) dan foydalanish mumkin. U holda, quyidagi tenglik o’rinli bo’lishi kerak:
>’0=kx₀+b. (21)
(8) dan (21) ni ayirib,
ti-yo=k(x-Xo), (22)
ko’rinishdagi, к parametrga bog’liq, S(x₀, yo) nuqtadan o’tuvchi, vertikal bo’lmagan barcha to’g’ri chiziqlarni aniqlovchi tenglamaga ega bo’lamiz. Faraz qilamizki, bu to’g’ri chiziqlar dastasidan M(xij’i) nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqni ajratib olish kerak bo’lsin. U holda, ko’rinib turibdiki, »i-j'o=k(xi-Xo) tenglik bajarilishi kerak. Bu tenglikdan k= ui-yo/xi-xo ni topib va (22) ga qo’yib, bizga ma’lum bo’lgan berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasi (6) ga ega bo’lamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. 
   https://qomus.info/
   
2. 
   https://hozir.org/
   
3. 
   https://openscience.uz/
   
4. 
   https://in-academy.uz/
   

1