Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

Teorema. Qator yaqinlashsa, uning ixtiyoriy -haddan keyingi qoldig`i ∞ da nolga intiladi.
Boshqacha aytganda yaqinlashuvchi qatorning hadidan keyingi qoldig`ini ni yetarlicha katta qilib tashlash hisobiga istalgancha kichkina qilib olish mumkin.
10-misol. Ma`lumki (3-misol)
bu qatorning hadidan keyingi qoldig`ini dan ortmaydigan, ya`ni
qilib olish uchun ni qanday tanlash kerak?
Yechilishi. 3-misolning ishlanishidan foydalansak, qoldiqni aniqlovchi (5) tenglikka ko`ra hadidan keyingi qoldiq
ga teng bo`lib masalada so`ralgan ni
tengsizlikdan aniqlash kerak. Oxirgi tengsizlikni yechib ekanligini aniqlaymiz.
Demak,
)
deb olinishi kerak ekan.
Yuqorida hisoblangan teoremalardan kelib chiqadiki, uzoqlashuvchi qatorning har qanday qoldig`i ham yana uzoqlashuvchi qatordir.

Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti
Qator yaqinlashuvining zaruriy sharti quyidagi soda teoremada isbotlangandir.
Teorema. yaqinlashuvchi
(1)
qator uchun

bo`ladi.
Isboti. (1) qatorning n-xususiy yig`indisini bilan belgilasak, teorema shartiga ko`ra
(2)
mavjud va cheklidir. ning aniqlanishiga ko`ra bo`lib, bunda esa
U holda (2) ga ko`ra
bo`lib, shuni isbotlash kerak edi.
Umumiy hadning limiti nolga teng bo`lgan qator albatta yaqinlashadi deb o`ylash to`g`r i emasligini tasdiqlovchi qatorlarga misopllar keltiraylik.
11-misol. 4-misolda qaralgan uzoqlashuvchi
qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilishini ko`rsataylik. Bu misolda
bo`lib, unga ko`ra tenglik shubhasizdir.
Isbotlangan teorema, bizni, berilgan qatorni tekshirishni qator yaqinlashuvining zaruriy shartini tekshirishdan boshlashga undaydi. Ya`ni umumiy hadining limiti nolga intilmaydigan har qanday qator uzoqlashuvchidir.