Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

13-misol. (3) tenglikdan foydalanib
1
tenglikni isbotlang.
Isboti. Agarda isbotlanishi talab qilinayotgan tenglikning chap tomonidagi qatorning - xuxusiy yig`indisini bilan belgilasak,
1
=(1
= (1
=
bo`lib, (3) ga ko`ra ekanligidan
(4)
Bundan tashqari tenglikka ko`ra
(5)
(4) va (5) larni birgalikda

ya`ni isbotlanishi talab qilingan tenglikni hosil qiladi.

Sonli qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli sharti.
Bizga
(1)
qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, (1)qatorning yaqinlashishi bu qator uchun tuzilgan xususiy yig`indilar ketma-ketligi ning chekli limitga egaligini bildiradi.O`z navbatida ketma-ketlik chekli limitga ega bo`lishi uchun Koshi-kriteriysini qanoatlantirish zarur va yetarlidir, ya`ni ixtiyoriy >0 uchun shunday M>0 son topilib, barcha n>M va m>M larda
(*)
tengsizlikning bajarilishi ketma-ketlikning chekli limitga ega bo`lishi uchun zarur va yetarlidir.
Ta`rifga ko`ra
=
ekanini hisobga olsak, (1) qator yaqinlashuvchining zaruriy va yetarli shartini (*) dan hosil qilamiz:

1. 
   qator yaqinlashishi uchun ixtiyoriy >0 ga ko`ra M>0 son topilib, barcha n>M
   

va m>M larda

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.
14-misol. Qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartidan foydalanib

qatorni tekshiring.
Yechilishi. bo`lib, n>m bo`lganida

va

=
Ixtiyoriy >0 uchun m ni tengsizlikni qanoatlantiradigan qilib tanlaylik. Tengsizlikni yechsak

bo`lib, M= deb olsak, n>m>M bo`lganida

tengsizlik bajariladiki, natijada tekshiriluvchi qator yaqinlashuvchidir.
15-misol. Geometrik qatorning uzoqlashishini qator yaqinlashuvining zaruriy va yetarli shartini tekshirish bilan ko`rsating.
Yechilishi. Garmonik qator uchun