Tenglikka ko`ra (1) va (2) lardan kelib chiqadiki: birinchidan, (5) ning o`ng tomoni

12-misol. Ushbu
qatorni tekshiring.
Yechilishi. Qator yaqinlashuvining zaruriy shartini tekshiraylik. Bizda bo`lib,
bo`lgani uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilmayaptiki, natijada tekshirilayotgan qator uzoqlashadi.
Garmonik qator

Uzoqlashuvchi ammo qator yaqinlashuvining zaruriy shartini qanoatlantiruvchi ushbu

1+
qator garmonik qator nomi bilan mashhurdir. Bu qator uchun qator yaqinlashuvining zaruriy sharti bajarilishi shubhasizdir. Garmonik qatorning uzoqlashuvchiligini isbotlashning ko`plab usullari mavjud bo`lib, ularning deyarli hammasida garmonik qator xususiy yig`indilari ketma-ketligining limiti cheksizdan iboratligi ko`rsatiladi.
Teorema. Garmonik qatorning xususiy yig`indilari ketma-ketligi cheksizga intiladi, ya`ni
=+
Isboti. Ma`lumki, f(x)= funksiya har bir [k,k+1], (k kesmada Lagranj teoremasining shartlarini qanoatlantiradi. U holda
(k
bo`lib, bundan
(1)
Bu tengsizliklarning o`ng tomonida k=1,2,3, … ,n deb olishdan hosil bo`lgan



……………………

Tengsizliklarni hadlab qo`shsak,
1+
bo`ladi. Tengsizliklarning chap tomoni da + ga intilgani uchun o`ng tomoni ham + ga intiladi. Teorema isbotlandi.
Aslida esa (1) tengsizliklardan isbotlangan teoremaga qaraganda ko`proq narsani olish mumkin ekan.
Teorema. Eyler o`zgarmasi deb ataluvchi ushbu limit

mavjuddir.
Isboti. (1) tengsizliklarda k=1,2,3, … ,n -1 deb olishdan hosil bo`lgan tengsizliklarni hadlab qo`shsak,
1+
bo`lib, bundan esa
0< (
yoki
1>1+ (2)
Agarda 1+ deb olsak (2) ga ko`ra quyidan chegaralangan va (1) ga ko`ra

bo`lganidan monoton kamayuvchidir. Shu sababli Veyershtrass teoremasiga ko`ra

mavjud. Shuni isbotlash kerak endi.
Isbotlangan bu teoremadan garmonik qatorning n-xususiy yig`indisining cheksizlikka o`sish tartibini ko`rsatuvchi ajoyib
1+ (3)
tenglikni hosil qilamiz. O`rni kelganda shuni aytish mumkinki, dastlabki o`nli hadlari ko`rinishida bo`lgan Eyler o`zgarmasining ratsional yoki irrotsionalligi hozirgacha aniqlanmagan.