Teorema. Agar o nuqta abc uchburchakka tashqi chizilgan aylananing markazi, h – uning ortomarkazi bo’lsa, u holda ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 7) tenglik o’rinli bo’ladi. Isbot-1

 ga teng bo’lgan aylanada yotadi. 
Isbot-1. ABC uchburchakning BC, CA, AB tomonlarining o’rtalari mos ravishda 
, balandliklarining asoslari 
nuqtalar va AH, BH, CH 
kesmalarning o’rtalari mos ravishda
nuqtalar bo’lsin (38-rasm). U 
holda 
va 
lar to’g’ri burchakli to’rtburchaklar bo’ladi. 
Haqiqatdan ham 
va
lar mos ravishda ABC va HBC 
uchburchaklarning o’rta chiziqlari bo’lib, BC tomoniga parallel va uning yarmiga 
teng. Shuning uchun
– parallelogramm. 
Bundan tashqari 
ning o’rta chig’i. 
Demak, 
bo’lib, , shuning 
uchun 
. 
to’rtburchakning ham to’g’ri
burchakli to’rtburchak ekanligi xuddi shunday yo’l 
bilan isbotlanadi. Bu to’g’ri to’rtburchaklarning 
diagonali 
umumiy. 
Demak, 
ularning 
diagonallari teng va bir nuqtada keshishadi (biror 
E nuqtada kesishadi). Shuning uchun 
nuqtalar markazi 
nuqtada bo’lgan aylanada yotadi. 
nuqtalarning har biri bu aylananing diametri to’g’ri burchak 
ostida ko’rinuvchi nuqta bo’lgani uchun bu nuqtalar ham ushbu aylanada yotadi.
o’rta uchburchak 
uchburchakka
koeffitsientli o’xshash 
bo’lgani uchun
uchburchakka tashqi chizilgan aylananing radiusi ABC 
uchburchakka tashqi chizilgan aylana radiusining yarmiga teng. 
va
uchburchaklar E nuqtaga nisbatan simmetrik bo’lgani uchun 
ularning ortomarkazlari O va H nuqtalar, E nuqtaga nisbatan simmetrik (O – 
ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylananing 
markazi) ▲ 
Isbot-2. ABC uchburchakning orto markazi H 
nuqtaga uchburchak tomonlari va tomonlarining 
o’rtalaridagi nuqtalarga nisbatan simmetrik 
nuqtalar, uchburchakka tashqi chizilgan aylanada 
yotishi e’tiborga olinsa (4.2-masala), U holda 

---

markazi H nuqtada bo’lgan
koeffitsientli gomotetiyada teoremada 
qaralayotgan 9 nuqta ABC uchburchakka tashqi chizilgan aylana nuqtalarining 
asllari (proobrazlari) bo’lishini ko’rishimiz mumkin (39-rasm). 
Bu gomotetiya natijasi ABC uchburchakga tashqi chizilgan 
( ) aylana (
) 
aylanaga o’tadi. Bundan ko’rinadiki, teoremada qaralayotgan 9 nuqta ABC 
uchburchakka tashqi chizilgan aylana nuqtalarining asl (proobraz) laridan iborat 
ekanligi ko’rinadi. Bu gomotetiyada bo’lib, E nuqta OH kesmaning o’rtasi. 
(
) aylanani 9 nuqta aylanasi deyiladi.
Demak, 9 nuqta aylanasi uchburchakka tashqi chizilgan aylanani bu uchburchak 
orto markaziga nisbatan gomotetik almashtirish natijasida hosil qilingan aylana 
bo’lar ekan. 9 nuqta aylanasi ABC uchburchakning
o’rta uchburchagiga va 
orto uchburchagiga tashqi chizilgan aylana bo’lar ekan.