Teoremalari: eski sharobdan

Shtayner teoremasi va buralgan kub

Ushbu bo'lim Pappus teoremasining yaqinda paydo bo'lgan yana bir tabaqalanishi, JF Rigbi [36] va P. Xuper [23] ishlariga asoslangan.

6. 
   rasm: Dual Pappus teoremasi.
   

Ikkilamchi Pappus teoremasidan boshlaylik, 10-rasmga qarang, bu erda 1-rasmdagi ob'ektlarga ikkilangan ob'ektlar bir xil harflar bilan, katta va kichik harflar almashtirilgan holda belgilanadi (Pappus teoremasi unga ekvivalentdir).

Machine Translated by Google

ikkilik). Bir chetga surib, ikkilamchi Pappus teoremasining to'rlar nazariyasida talqini borligini eslatib o'tamiz: uchta qalam chiziqdan iborat 3-to'r tekis, [16], 18-ma'ruzaga qarang.

Endi Paskal teoremasini ko'rib chiqamiz, 3-rasm. Konusdagi nuqtalarning oltita

almashinishi 60 Paskal chizig'ini beradi. Bu chiziqlar va ularning kesishish nuqtalari, keyingi chiziqlar bilan bog'lanib, 95 nuqta va 95 chiziqdan iborat murakkab konfiguratsiyani, hexagrammum mysticumni tashkil qiladi. Shtayner, Pluker, Kirkman, Kayli va Salmon tufayli ushbu konfiguratsiyani tavsiflovchi bir qancha teoremalar mavjud. Ushbu mavzu bo'yicha zamonaviy ma'lumot uchun [9, 10] ga qarang.

Pappus teoremasi Paskal teoremasining alohida holati bo'lib, bu holda

boshlang'ich nuqtalarni almashtirish natijasida hosil bo'ladigan chiziqlar soni

(aytaylik, 1- rasmdagi B1, B2, B3 nuqtalari) oltitaga kamayadi, 11-rasmda ko'rsatilgan.

Keling, belgilar bilan tanishamiz. 1-rasmni ko'rib chiqing va uchta nuqtani belgilang:

A = (A1, A2, A3), B = (B1, B2, B3).

Pappus teoremasi yangi uchlikni hosil qiladi, C = (C1, C2, C3). Ushbu uchliklarni o'z ichiga olgan chiziqlar mos ravishda a, b, c bilan belgilanadi. Biz yozamiz: c = (A, B).

Biz ikkita Pappus teoremasi uchun shunga o'xshash yozuvdan foydalanamiz: agar

a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)

bir vaqtning o'zida ikkita uchlik chiziqlar bo'lsa, u holda ÿ (a, b) uchlik chiziqlarning kesishish nuqtasi (c1, c2, c3), 10-rasmga qarang.

S3 almashtirish guruhi formula bo'yicha uchliklarga ta'sir qiladi

s(B) = (Bs-1(1), Bs-1(2), Bs-1(3)).

s ÿ S3 siklik almashtirish, t ÿ S3 esa ikkita elementning transpozitsiyasi bo‘lsin.

6. 
   rasmda tasvirlangan quyidagi natija J. Shtayner tufaylidir.
   

1. teorema s ÿ S3 juft almashtirish bo'lgan uchta Pappus chizig'i (A, s(B)) bir vaqtda va toq almashtirishlarga mos keladigan uchta chiziq.

Shunday qilib, biz bir vaqtning o'zida ikkita uchlik chiziqlarni olamiz; bilan belgilang

s = ((A, B), (A, s(B)), (A, s2 (B))), ps = ((A, t (B)), (A, ts(B)), ( A, ts2 (B))).

12
Machine Translated by Google

11. 
    rasm: Juft va toq almashtirishlarga mos keladigan ikkita Shtayner nuqtasi ^{etiketlangan. ÿ (s, s(ps))} nuqtalardan biri ko'rsatilgan.
    

Ikkita Pappus teoremasini ushbu uchlik chiziqlarning almashinishiga qo'llang.

^{Ikkilik Shtayner teoremasi bo'yicha oltita nuqta ÿ (p,} s(ps)), s ÿ S3, uchlikda kollineardir.

Ko'proq haqiqat. Keyingi ikkita teorema Rigbiga bog'liq [36].

ÿ (p, s(ps)) s juft permu boÿlganda a chiziqda yotadi.

B to'g'ri chiziq hali ham O = a ÿ b nuqtadan o'tadigan nuqtalarning yana bir kollinear uchligi bo'lsin. Yuqoridagi konstruksiyalarni A, B ga qo‘llagan holda, s , ps ,

ning yangi uchlik chiziqlarini va a to‘g‘ridagi nuqtalarning yangi uchligini olamiz, bunda s juft almashtirishdir.
ÿ (s , s(ps ))

Teorema 3.3 Yangi nuqta uchligi eskisiga to'g'ri keladi: juft almashtirishlar uchun s ga ega ÿ (s , s(ps )) = ÿ (s, s(ps)).

2. 
   va 3.3 teoremalar Rigbi tomonidan isbotsiz bayon etilgan; iqtibos keltirmoq,
   

13

Machine Translated by Google

Ushbu bo'limdagi teoremalar koordinatalar yordamida uzoq va zerikarli tarzda tekshirildi. Hisob-kitoblarni nashr etishning ma'nosi yo'q; qisqaroq va nafisroq dalillar topiladi, deb umid qilish mumkin.

Konseptual dalillar [23] da keltirilgan; o'quvchi ushbu maqolaga havola qilinadi va bu natijalarga muqobil yondashuvni topish tavsiya etiladi.

Yuqoridagi teoremalar Shtayner xaritasini aniqlash imkonini beradi

SO : (A1, A2, A3) ÿ ( ÿ (s, ps), ÿ (s, s2 (ps)), ÿ (z, s(ps)).

Ushbu xarita O nuqtaga bog'liq, lekin uchlik B ni tanlashga emas.

Shtayner xaritasi ishtirok etgan nuqtalarning almashtirishlari bilan almashtiriladi va shuning uchun u proyektiv chiziqning tartibsiz uchlik nuqtalari fazosining xaritasini keltirib chiqaradi. Belgini suiiste'mol qilib, biz ushbu induktsiya qilingan xaritani xuddi shu belgi bilan belgilaymiz. Xuper [23] Shtayner xaritasining toÿliq tavsifini beradi.
Er maydoni murakkab deb faraz qilaylik. CP1 3 (CP1 ) nuqtalarining tartibsiz
^{uchliklari fazosi ,} ya^,'ntieSorCePm3asiinminmgeatrliokhkiduabihboilatni baon'ilqibla, nadi . Bu algebraning asosiy uning formulalaridan biri S n (CP1 ) = CPn (ko'phadning koeffitsientlarini uning ildizlari bilan bog'laydigan Vyeta formulalarini proyeksiyalash orqali berilgan). Shunday qilib, SO CP3 ning o'z xaritasidir .

Uch karra ildizga ega bo'lgan kubik polinomlar to'plami D ÿ CP3 buralgan kubik ^(moment e^,gri chizig'i) egri chizig'iga mos keladi. Buralgan kubikning sekant xilma- xilligi, ya'ni uning tangens va sekant chiziqlarining birlashuvi CP3 ni qoplaydi va , chiziqlar D nuqtalari bundan mustasno, juft bo'linadi.

Nol ildizga ega bo'lgan kubik polinomlar to'plami CP3 da tekislikka mos keladi .
Bu tekislikni N bilan belgilang. Shtayner xaritasi SO : CP3 ÿ CP3 tasvirlangan
keyingi teoremada.

Teorema 3.4 (i) SO xaritasi buralgan kub D ning koordinata boshidan o‘tmaydigan

sekantlarini saqlaydi (kub polinomining z (ii) tasviri) Ushbu sekant chiziqlardagi ³).
proyektiv koordinatalarni tanlash mumkin, shunda xarita quyidagicha beriladi: formula
x ÿ x (iii) Koordinatalarni tanlash ^{2 .}
quyidagicha: sekant chizig'ining D bilan kesishgan ikkita nuqtasi 0 va ÿ koordinatalariga ega va sekantning n tekislik bilan kesishish nuqtasi koordinata -1 ga ega.
CP3 ning bir hil koordinatalarida , SO xaritasi 6 darajali polinom; Muayyan
tanlov O = (0 : 1) uchun aniq formula uchun [23] ga qarang.

14

Haqiqiy holatda, sekant chiziqlar R/Z doirasi bilan aniqlanadi va Shtayner xaritasi ergodik o'zgarishlarni saqlaydigan yaxshi ma'lum bo'lgan t ÿ 2t mod 1 ikki barobar xaritasiga aylanadi.

3.