Teoremalari: eski sharobdan

Machine Translated by Google

Proyektiv konfiguratsiya teoremalari: eski
sharobdan yangi vinolarga

Serj Tabachnikovÿ

Tarkib

1. 
   Kirish: klassik konfiguratsiya teoremalari ¹
   
2. 
   Takrorlangan Pappus teoremasi va modulli guruh ⁵
   
3. 
   Shtayner teoremasi va buralgan kub 11
   
4. 
   ta Pentagramga o'xshash xaritalar yozilgan ko'pburchaklarda ¹⁵
   
5. 
   Poncelet panjarasi, torli konstruktsiya va ellipslardagi bilyard 21
   
6. 
   Harakatlarning Li algebralaridagi identifikatsiyalar ²⁸
   
7. 
   ta shish 30
   

1. 
   Kirish: klassik konfiguratsiya teo
   

rems

Proyektiv konfiguratsiya teoremalari eng qadimgi va eng mashhur matematik natijalar qatoriga kiradi. Keyingi raqamlar Pap pus, Desargues, Paskal, Brianchon va Ponceletning mashhur teoremalarini tasvirlaydi.

ÿMatematika fakulteti, Penn State universiteti, University Park, PA 16802; [e-mail]

1. rasm: Pappus teoremasi: agar A1, A2, A3 va B1, B2, B3 nuqtalarning ikkita kollinear uchligi bo'lsa, C1, C2, C3 ham kollinear uchlikdir.

2. 
   rasm: Dezarg teoremasi: agar A1B1, A2B2 va A3B3 chiziqlari parallel bo'lsa, u holda C1, C2, C3 nuqtalari kollineardir.
   

4-rasm: Ponselet porizmi, n = 5-holat: konusga chizilgan va konus atrofida aylanib o'tilgan A1A2A3A4A5 ko'pburchak chizig'i besh qadamdan keyin yopilsa, B1B2B3B4B5 boshqa ko'pburchak chizig'i ham xuddi shunday.

Machine Translated by Google


Konfiguratsiya teoremalari bo'yicha adabiyotlar juda katta; mavzuning panoramik ko'rinishiga qiziqqan o'quvchiga tavsiya etiladi [6, 35].
Konfiguratsiya teoremalari faol tadqiqot sohasi bo'lib qolmoqda. Bu ko'p jihatdan
matematikada eksperimental tadqiqot vositasi sifatida kompyuterning paydo bo'lishi bilan bog'liq. Xususan, interaktiv geometriya dasturi geometrik konfiguratsiyalarni o'rganish uchun qulay vositadir. Ushbu maqoladagi tasvirlar Zolushka 2 [49] kabi dasturiy ta'minot yordamida qilingan.
Konfiguratsiya teoremalarining mashhurligining yana bir sababi shundaki, ular diskret
differensial geometriyaning paydo bo'layotgan sohasida va to'liq integrallanadigan tizimlar nazariyasida muhim rol o'ynaydi [7].
Ushbu so'rovning maqsadi klassik konfiguratsiya teoremalaridan ilhomlangan va
ilhomlantirilgan ba'zi so'nggi natijalarni taqdim etishdir; bu natijalar eski teoremalarni yana yangi qiladi. Mavzular tanlovi bu muallifning didini aks ettiradi; hududning har tomonlama tavsifini taqdim etishga harakat qilinmadi. Dalillar muhokama qilinadigan hollarda ular faqat bayon qilinadi; Tafsilotlarga qiziqqan o'quvchi asl qog'ozlarga havola qilinadi.

O'quvchi proyektiv, klid, sferik va giperbolik geometriya asoslari bilan tanish deb taxmin qilamiz. Standart havolalardan biri [5] va [22] har doimgidek ajralmas hisoblanadi.

Keling, ushbu maqolada konfiguratsiya teoremalari deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlaymiz.

Nuqtai nazar dinamik, interaktiv geometriya dasturidan foydalanish uchun yaxshi moslashtirilgan.
Konfiguratsiya teoremasi uchun boshlang'ich ma'lumotlar proyeksiya tekisligidagi etiketli Ai nuqtalari va bj chiziqlar yig'indisi bo'lib , ba'zi bir juft indekslar (i, j) uchun Ai ÿ bj insidansga ega bo'ladi . Agar qo'shimcha ravishda qutblilik berilgan bo'lsa, u holda ikkita chiziqni nuqta bilan, ikki nuqtani esa chiziq bilan bog'lash mumkin. Qutblilik mavjud
bo'lganda, dastlabki ma'lumotlar ba'zi indekslar juftligi (k, l) uchun Ak nuqtasi bl chiziqqa qutbli dual bo'lgan ma'lumotni o'z ichiga oladi .
Birida ikkita operatsiyadan iborat tartibli ko'rsatmalar ro'yxati mavjud: bir juft nuqta
orqali chiziq chizish yoki bir nuqtada bir juft chiziqni kesish.
Ushbu yangi chiziqlar va nuqtalar ham teglar oladi. Agar qutblilik ishtirok etsa, qutbli dual ob'ektni, nuqtadan chiziqqa yoki chiziqdan nuqtaga olish operatsiyasi ham mavjud.


Konfiguratsiya teoremasining bayonoti shundan iboratki, shunday tuzilgan nuqtalar va chiziqlar orasida ma'lum bir hodisa munosabatlari mavjud, ya'ni ma'lum nuqtalar ma'lum chiziqlarda yotadi.
Konfiguratsiya teoremasining xulosasi boshlang'ich shartlarni qondiradigan deyarli har bir boshlang'ich nuqta va chiziqlar to'plami uchun amal qiladi, deb taxmin qilinadi,

4
Machine Translated by Google

ya'ni bunday dastlabki konfiguratsiyalarning Zariski ochiq to'plami uchun amal qiladi. Bu

[22] yoki [20] ning 3-bobidagi nuqtalar va chiziqlar konfiguratsiyasi deganda nazarda tutilganidan farq qiladi: u erda asosiy e'tibor kombinatsion hodisani proyektiv tekislikdagi nuqtalar va chiziqlar orqali amalga oshirish mumkinmi yoki yo'qligiga qaratiladi.

Tashakkurnomalar. Men R. Shvartsga ko'plab rag'batlantiruvchi munozaralar uchun va P. Xuperga uning ishini tushuntirgani uchun minnatdorman. Menga NSF granti

DMS-1510055 yordam berdi. Ushbu maqola mening ICERMda bo'lganimda yozilgan; Institutga ilhomlantiruvchi va do'stona muhit uchun minnatdorchilik bildirishdan mamnunman.

2.