Teoremalari: eski sharobdan

ta Pentagramga o'xshash xaritalar yozilgan ko'pburchaklarda

[42] ga asoslangan ushbu bo'lim pentagram xaritasini o'rganishda kashf etilgan proyeksiyaviy geometriyaning sakkizta konfiguratsiya teoremalariga taalluqlidir.

Tadqiqoti R. Shvarts [37] tomonidan ilgari surilgan pentagram xaritasi 12-rasmda tasvirlangan proyektiv tekislikdagi ko‘pburchaklarning proyektiv ekvivalentlik sinflari modul fazosining transformatsiyasidir. Pentagram xaritasi mashhur tadqiqot ob’ektiga aylandi: bu klaster algebralari nazariyasi bilan chambarchas bog'liq bo'lgan diskret to'liq integral tizimdir. Ushbu mavzu bo'yicha joriy adabiyotlardan namuna olish uchun [17, 18, 19, 32, 33, 44] ga qarang.

11. 
    rasm: Pentagramma xaritasi P ning qisqa (birini o'tkazib yuborish) diagonallarining kesishish nuqtalari bilan tuzilgan ko'pburchakka n-burchak Pni oladi. Bu erda n = 7.
    

Natijalarni shakllantirish uchun keling, ba'zi belgilarni kiritamiz.

Proyeksiyaviy tekislikdagi ko‘pburchak deganda uning cho‘qqilarining tsiklik tartiblangan yig‘indisi tushuniladi (shuningdek, ko‘pburchak tomonlarining tsiklik tartiblangan to‘plamini ham

uning Let Cn
_n belgilaydi). RP2 proyektiv tekisligidagi n-gonlarning bo'shliqlari va

va C ÿ dual (RP2 ) ÿ bo'lsin . k-diagonal xaritani aniqlang Tk_n : CPn=ÿ{pC1ÿ, ..., pn} uchun, Tk(P) = {(p1pk+1),(p2pk+2), . . . ,(pnpk+n)}.
Har bir xarita Tk involyutsiyadir; T1 xaritasi - ko'pburchakni uning tomonlarining tsiklik tartiblangan to'plamiga yuboradigan proyektiv duallik.

Belgini ko'p indekslarga kengaytiring: Tab = Ta ÿ Tb, Tabc = Ta ÿ Tb ÿ Tc va boshqalar. Masalan, pentagram xaritasi T12. Agar P RP2 dagi ko‘pburchak va Q (RP2 ) ÿ dagi ko‘pburchak bo‘lsa va P ni Q ga olib boradigan RP2 ÿ (RP2 ) ÿ pro^,yektiv o‘zgarishi mavjud bo‘lsa , biz yozamiz: P ÿ Q.

Endi biz natijalarimizni shakllantirishga tayyormiz; Ular konus shaklida chizilgan yoki konusning atrofida chegaralangan ko'pburchaklarga tegishli.

Teorema 4.1 (i) Agar P ichki chizilgan 6 burchakli bo'lsa, u holda P ~ T2(P). (ii) Agar P chizilgan 7 burchakli bo'lsa, u holda P ~ T212 (P). (iii) Agar P

chizilgan 8 burchakli bo'lsa, u holda P ~ T21212 (P).

Ajablanarlisi shundaki, bu ketma-ketlik davom etmaydi! 4.1 (iii) teorema 13-rasmda tasvirlangan.

Ushbu va ushbu bo'limning boshqa natijalarini tasvirlash uchun Shvarts appletiga [51] qarang.

11. 
    rasm: Chizilgan sakkizburchakda pentagramma xaritasining uchinchi takrorlanishi proyektiv ravishda ikki tomonlama sakkizburchakni beradi.
    

2. 
   teorema Agar P chegaralangan 9 burchakli bo'lsa, u holda P ~ T313(P).
   

11. 
    rasmga qarang.
    

2. 
   teorema Agar P chizilgan 12 burchakli bo'lsa, u holda P ~ T3434343(P).
   

Keyingi natijalar biroz boshqacha ta'mga ega: hech kim da'vo qilmaydi

endi oxirgi ko'pburchak boshlang'ich bilan proyektiv bog'liq.


14-rasm: 4.2-teorema.

2. 
   (i) teorema Agar P chizilgan 8 burchakli bo'lsa, u holda T3(P) chegaralangan bo'ladi.
   

2. 
   Agar P 10 burchakli chizilgan bo'lsa, u holda T313(P) chegaralangan.
   
3. 
   Agar P chizilgan 12 burchakli bo'lsa, u holda T31313(P) chegaralangan.
   

Yana, kutganiga qaramay, bu ketma-ketlik davom etmaydi.

4.4 (iii) teorema 15-rasmda tasvirlangan.

11. 
    rasm: 4.4 (iii) teorema.
    

Endi bu natijalarning kashfiyoti va ularning dalillari haqida. 4.1 (i) va (ii) teoremalar bizning pentagram xaritasini o'rganishimiz davomida kashf qilindi. Keyin V.

Machine Translated by Google

2009 yil Penn State REU (Bakalavriat uchun tadqiqot tajribasi) dasturi ishtirokchisi Zaxarevich

4.2 teoremasini kashf etdi. Ushbu kashfiyotdan ilhomlanib, biz ushbu turdagi konfiguratsiya teoremalari uchun keng ko'lamli kompyuter qidiruvini amalga oshirdik; natijalar yuqoridagi sakkizta teoremadir. Bizning fikrimizcha, yuqoridagi ro'yxat to'liq, ammo bu taxmin bo'lib qolmoqda.
E'tibor bering, yangi ko'rinadigan teoremalarni chiqarish uchun ko'pburchakning uchlarini tsiklik ravishda qayta belgilash mumkin. Keling, buni bir misol bilan tushuntirib beraylik. 4.4 (iii) teoremani quyidagicha ifodalang: Agar P chizilgan o‘nta burchakli bo‘lsa, T131313(P) ham chizilgan bo‘ladi. Endi tepalarni s(i) = 5i mod 12 bilan qayta belgilang.
T3 xaritasi s bilan quyidagicha konjugatsiya qilinadi:

i ÿ 5i ÿ 5i + 3 ÿ 5(5i + 3) = i + 3 mod 12,

ya'ni, bu xarita yana T3 bo'lib, T1 xaritasi bo'ladi

i ÿ 5i ÿ 5i + 1 ÿ 5(5i + 1) = i + 5 mod 12,

ya'ni xarita T5. Biror bayonotga keladi: Agar P yozilgan o'nta burchak bo'lsa, T535353(P) ham yozilgan.

Biz yuqoridagi barcha teoremalarni, 4.4 (iii) teoremasidan tashqari, kompyuter hisob- kitoblari orqali isbotladik (4.4 (iii) teoremani isbotlash uchun zarur bo'lgan ramziy manipulyatsiya Matematikada boshqarishimiz mumkin bo'lgan narsadan tashqarida edi).
Albatta, nafis geometrik dalillarni xohlaydi. Stiven Vang quyida keltirilgan 4.4 (i) va (ii)
teoremalarining isbotlarini topdi va 2010 yil Penn State REU ishtirokchisi Mariya Nastasesku bir xil ikkita teoremaning algebraik geometriya dalillarini topdi. Fedor Nilov 4.4 (iii) teoremani bitta varaq giperboloidining planar proyeksiyasi yordamida isbotladi. Afsuski, bu dalillarning hech biri nashr etilmagan.

Mana, Vangning 4.4 (i) teoremasining isboti.

11. 
    rasmni ko'rib chiqing. B1, nuqtalari ekanligini isbotlashimiz kerak . . . , B8 konusning ustida yotadi.
    

A6A1A4A7A2A5 olti burchakli chizilgan bo'lib, Paskal teoremasi bo'yicha B1, B6 va C nuqtalari kollineardir. Ya'ni, olti burchakli B1B2B3B4B5B6 ning qarama-qarshi tomonlarining kesishish nuqtalari kollineardir. Teskari Paskal teoremasiga ko'ra, bu olti burchakli chizilgan.

Shunga o'xshash dalil B2B3B4B5B6B7 olti burchakli chizilganligini ko'rsatadi.

Ammo ikkita olti burchak beshta uchini birlashtiradi, shuning uchun ular bir xil konusga yozilgan. Xuddi shunday, B8 ham bu konusda yotadi.
Endi 4.4 (ii) teoremani isbotlash uchun 17-rasmga qarang.

18
Machine Translated by Google

11. rasm: 4.4 (ii) teoremaning isboti.

19
Machine Translated by Google

Yozilgan olti burchakli A3A6A9A10A7A4 ni ko'rib chiqing. Paskal teoremasi bo'yicha nuqtalar

(A3A6) ÿ (A10A7), (A6A9) ÿ (A7A4), (A9A10) ÿ (A4A3)

kollineardir. Demak, A3B3A4 va A10A9B6 uchburchaklar istiqbollidir. Dezarg teoremasi bo'yicha A4, A9,(B3B6) ÿ (A3A10) nuqtalari kollineardir.

Bundan kelib chiqadiki, B9B10Y va B3B6X uchburchaklar istiqbollidir. Dezarg teoremasiga
ko'ra, X, Y,(B6B9) ÿ (B3B10) nuqtalari kollineardir. Xuddi shu argument, barcha indekslar beshga siljigan holda, X, Y, (B1B4) ÿ (B8B5) nuqtalari ham kollinear ekanligini anglatadi. Shunday qilib, nuqtalar

(B6B9) ÿ (B3B10), (B1B4) ÿ (B8B5) va X

kollineardir. Buni ning kollinearligi sifatida qayta talqin qiling

(C10B10) ÿ (C5B9), (C10B4) ÿ (C5B5), (B3B4) ÿ (B5B6).

Bundan kelib chiqadiki, B3B4C10 va B5B6C5 uchburchaklar istiqbollidir. Dezarg teoremasi bo'yicha B4, B5 va (C10C5) ÿ (C2C3) nuqtalari kollineardir.

Ya'ni, nuqtalar

(C10C5) ÿ (C2C3), (C10C1) ÿ (C3C4), (C1C2) ÿ (C4C5)

kollinear va teskari Paskal teoremasi bo'yicha nuqtalar

C10, C1, C2, C3, C4, C5

konusda yotish. Qolganlari avvalgi dalil bilan bir xil. ÿ

4.1 - 4.4 teoremalariga beshburchaklar haqidagi bayonotni qo'shish mumkin. Con Quyidagi faktlarga e'tibor

bering: (i) har bir beshburchak konus shaklida yozilgan va konusning atrofida chegaralangan;
(ii) har bir beshburchak uning dualiga proyektiv ekvivalent; (iii) pentagram xaritasi har bir beshburchakni proyektiv ekvivalentga yuboradi
bitta.
Shuning uchun bizning ro'yxatimizga quyidagi teoremani qo'shish mumkin: beshburchak P uchun P ~ T2 (P) mavjud .
R. Shvartsning quyidagi natijasi [39, 41, 18] ham xuddi shunday lazzatga ega.
20
Machine Translated by Google

4.5 teorema Agar P degenerativ konusga (ya'ni bir juft chiziq) chizilgan 4n-gon bo'lsa, u holda

(T1T2T1T2 ... T1)(P) (4n ÿ 3 atama)

degeneratsiyalangan konusga ham yozilgan.

Bu yerda birlashtiruvchi mavzu bormi, degan savol tug‘iladi. Ehtimol, tegishli havola [19].

3.