Teoremalari: eski sharobdan

Poncelet panjarasi, torli konstruktsiyasi va ellipslardagi billiardlar

Poncelet ko'pburchagi - bu D ellipsga chizilgan va g ellips atrofida aylanib o'tilgan

ko'pburchak. L1, bo'lsin . ^{. . ,} Ln - Ponselet n-gonining yon
tomonlarini o'z ichiga olgan chiziqlar, ularning g bilan teginish nuqtalari siklik tartibda bo'ladigan tarzda sanab o'tilgan. Ponselet tarmog'i n(n + 1)/2 nuqtalar yig'indisi Li ÿ Lj , bu erda Li ÿ Li - g bilan Li chizig'ining teginish nuqtasi . Ekspozitsiyani soddalashtirish uchun n ni toq deb hisoblaymiz (juft n uchun formulalar biroz boshqacha).

Poncelet tarmog'ini ikki usulda ajratish mumkin. To'plamlarni aniqlang

Pk = ÿiÿj=kLi ÿ Lj , Qk = ÿi+j=kLi ÿ Lj ,

indekslar tushuniladigan joyda mod n. n nuqtadan iborat (n + 1)/2 to'plam Pk va
_, har biri

^{har birida (n + 1)/2 nuqtadan iborat bo'lgan} n to'plam Qk mavjud . Pk to‘plamlar konsentrik, Qk to‘plamlar esa radial deyiladi, 18-rasmga qarang.
Quyidagi teorema [40] da isbotlangan.

Teorema 5.1 (i) Konsentrik to'plamlar ichki o'rnatilgan ellipslar ustida, radial to'plamlar esa ajratilgan giperbolalarda yotadi. (ii)

Ushbu konuslarning murakkab versiyalarida to'rtta umumiy teginish chiziqlari mavjud. (iii)
Barcha konsentrik to'plamlar bir-biriga proektiv ravishda ekvivalentdir va barcha radial to'plamlar ham shunday.

Ushbu bo'limda, [27] dan keyin biz bu proyektiv teoremani Eu klid geometriyasi, ya'ni konuslarning bilyard xossalari yordamida isbotlaymiz. Ushbu yondashuvning qo'shimcha mahsuloti sifatida biz Ponsele teoremasini o'rnatamiz va teoremani isbotlaymiz

21

11. rasm: Ponselet panjarasi, n = 9: to'rtta ellipsda joylashgan P0, P2, P3 va P4 konsentrik to'plamlari ko'rsatilgan .

yozilgan doiralarda Reye va Chasles. Ponsele teoremasi haqida umumiy ma'lumot uchun [13, 15] va bilyard nazariyasi uchun [26, 45, 46] ga qarang.

Bilyardning qisqarishi quyidagicha. Har qanday juft g ÿ D uyali ellips mos proyektiv transformatsiya orqali konfokal ellips juftligiga olinishi mumkin. Ushbu transformatsiya Poncelet ko'pburchagini D da davriy bilyard traektoriyasiga olib boradi.

Silliq chegaraga ega bo'lgan qavariq domen ichidagi bilyard - bu domenni kesib o'tuvchi yo'naltirilgan chiziqlar (yorug'lik nurlari) fazosining o'zgarishi: kiruvchi bilyard traektoriyasi chegaraga (oynaga) uriladi va tushish burchagi teng bo'lishi uchun optik ravishda aks etadi. aks ettirish burchagi.

Yo'naltirilgan chiziqlar bo'shlig'i optik ko'zgu (oyna shaklidan qat'iy nazar) bilan saqlanib qolgan maydon shakliga ega. Koordinatalarni koordinatalarini (a, p) nurlar fazosiga kiriting: a - nurning yo'nalishi, p - uning koordinatali masofa. U holda invariant maydon shakli ÿ = da ÿ dp bo'ladi.

Bilyardning gidroksidi - bu segmenti bo'lgan xususiyatga ega g egri chiziq

bilyard traektoriyasi g ga tangens bo'lsa, har bir aks ettirilgan segment ham shunday.
Ma'lum bir bilyard egri chizig'ining kaustikasini tavsiflashning umumiy usuli yo'q1 , lekin bilyard stolini D kaustik g dan qayta qurish uchun teskari masala quyidagi ip konstruktsiyasi bilan berilgan oddiy echimga ega:

1 Qattiq qavariq va etarlicha silliq bilyard egri chiziqlari uchun kaustiklar mavjudligi KAM nazariyasi doirasida isbotlangan.

g atrofida cho'zilmaydigan yopiq ip, uni mahkam torting va eng uzoq nuqtani g atrofida harakatlantiring; bu nuqtaning traektoriyasi bilyard egri chizig'i D. Ushbu konstruksiya kaustik g ga ega bo'lgan bilyard stollarining 1 parametrli oilasini beradi: parametr ipning uzunligi.

Buning sababi quyidagicha, 19-rasmga qarang. Ovaldan tashqaridagi X nuqta uchun
g, ikkita funktsiyani ko'rib chiqing:


f(X) = |XA|+ |AO|, g(X) = |XB|+ |BO| .

11. 
    rasm: Ip qurilishi
    

Bu funksiyalarning gradientlari mos ravishda AX va BX chiziqlaridagi birlik vektorlaridir. Bundan kelib chiqadiki, bu ikki chiziq f + g va f - g funksiyalarning daraja egri chiziqlari bilan teng burchak hosil qiladi va bu sath egri chiziqlari bir-biriga ortogonaldir. Xususan, f + g darajasining egri chiziqlari bilyard stollari bo'lib, ular uchun g kaustik hisoblanadi.

E'tibor bering, f +g funksiyasi yordamchi nuqta O ni tanlashga bog'liq emas, f - g
funktsiyasi esa qo'shimcha konstantagacha aniqlangan, shuning uchun uning darajali egri chiziqlari yaxshi aniqlangan.
Bu erda konusning bilyard xususiyatlarining qisqacha mazmuni. Ellipsning ichki qismi konfokal ellipslar bilan qoplangan: bular ellips ichidagi bilyardning kaustiklari. Shunday qilib, Graves teoremasi mavjud: yopiq cho'zilmaydigan ipni ellips atrofiga o'rash konfokal ellipsni beradi.
Ellipsni kesib o'tuvchi R nurlar fazosi topologik jihatdan silindr bo'lib, ellips ichidagi bilyard tizimi T : R ÿ R transformatsiyasini saqlaydigan maydondir. Tsilindr T xaritaning o'zgarmas egri chiziqlari bilan qoplangan bo'lib, unga teguvchi nurlardan iborat. konfokal konuslar, 20-rasmga qarang.

11. 
    rasm: ellipsdagi bilyard xaritasining fazali portreti
    

Tsilindrni aylanib chiqadigan egri chiziqlar konfokal ellipslarga teguvchi nurlarga va "ko'z" ni hosil qiluvchi egri chiziqlar konfokal giperbolalarga teguvchi nurlarga mos keladi. Yagona egri chiziq o'choqlardan o'tadigan nurlardan va ellipsning kichik o'qi bo'ylab 2- davriy orqaga va orqaga orbitaga ikki nuqtadan iborat.

Har bir o'zgarmas doira bo'yicha tsiklik parametrni, aytaylik, x moduli 1ni tanlash mumkin, shunda T xaritasi x ÿ x + c siljishiga aylanadi, bu erda c doimiysi o'zgarmas egri chiziqqa bog'liq. Mana bu konstruksiya (Integral tizimlar nazariyasidagi Arnold-Liouvil

teoremasining alohida holati).
Darajali egri chiziqlari R ni yo‘naltiruvchi o‘zgarmas egri chiziqlar bo‘lgan H funksiyani tanlang va uning ÿ shaklidagi maydonga nisbatan Gamilton vektor maydoni sgrad H ni ko‘rib chiqing. Bu vektor maydoni o'zgarmas egri chiziqlarga tangens va bu egri
chiziqlardagi kerakli koordinata x sgrad H doimiy vektor maydoni d/dx bo'lgan maydondir.
H ni o'zgartirish har bir o'zgarmas egri chiziq bo'yicha x koordinatasini masshtablaydi va o'zgarmas egri chiziqlarning "uzunligini" 1 ga normallashtirib, x ni qo'shimcha
konstantagacha yagona tarzda o'rnatadi. Boshqacha qilib aytganda, 1-shakl dx har bir o'zgarmas egri chiziqda yaxshi aniqlangan.
Bilyard xaritasi T maydon shaklini va o'zgarmas egri chiziqlarni saqlaydi, shuning uchun uning har bir egri chiziqqa cheklanishi dx o'lchovini saqlaydi, demak, x ÿ x + c siljishi hisoblanadi.
To'g'ridan-to'g'ri natija Poncelet porizmidir: agar ellipsdagi bilyard traektoriyasi n ta ko'zgudan keyin yopilsa, u holda nc ÿ 0 mod 1 va shuning uchun bir xil kaustikli barcha traektoriyalar n ta ko'zgudan keyin yaqinlashadi.
E'tibor bering, o'zgarmas egri chiziqlardagi dx o'zgarmas o'lchovi konfokal oiladan
bilyard ellipsini tanlashga bog'liq emas: konfokal ellipslar o'zlarining kaustiklarini birlashtiradi. Bu bilyard o'zgarishlarini bildiradi

Ikki konfokal ellipsning harakatiga nisbatan: umumiy sabablar bilan chegaralangan, ikkalasi ham bir xil koordinatalar tizimidagi siljishlardir. Ushbu bayonotni konfiguratsiya teoremasi sifatida ko'rib chiqish mumkin; 21-rasmga qarang.

11. 
    rasm: Chapda: ikkita konfokal ellipsdagi fokusdan olingan nurlarning bilyard aksi. To'g'ri: umumiy holat.
    

Xulosa qilib aytganda, ellips konfokal ellipslar oilasi uchun bilyard kaustikidir. U qo'shimcha konstantagacha aniqlangan x koordinatasini olib yuradi, unda konfokal

ellipslardagi bilyard aksi x ÿ x + c bilan beriladi. Biz x koordinatasini kanonik koordinata deb ataymiz.
Ellips g ni ko'rib chiqaylik va x undagi kanonik koordinata bo'lsin. Ellipsning tashqi qismidagi koordinatalarni aniqlang: g dan tashqaridagi X nuqtaning koordinatalari X
dan g gacha bo'lgan teginish chiziqlarining teginish nuqtalarining x1 va x2 koordinatalari. (x1, x2) X nuqtaning qator koordinatalarini chaqiramiz. Konfokal ellipslar x2 ÿ x1 = const tenglamalari bilan berilgan.

Lemma 5.1 Konfokal giperbolalar x2 + x1 = const tenglamalariga ega .

Isbot. 22-rasmni ko'rib chiqaylik. Ichki ellipsdagi teginish nuqtalarining kanonik koordinatalari chapdan o'ngga x1, x2, x3, x4 bo'lsin, shunda qator koordinatalari quyidagicha bo'lsin:

A(x1, x3), B(x2, x4), C(x2, x3), D(x1, x4).

A va B konfokal ellipsda joylashganligi sababli, x4 - x2 = x3 - x1, demak, x2 + x3 = x1

+ x4.
Bilyard xususiyatiga ko'ra, AB ellips yoyi SAPR va CBD burchaklarini ikkiga bo'ladi.
Shuning uchun A ÿ B chegarasida cheksiz kichik to'rtburchak

ABCD uçurtmaga aylanadi: AB diagonali uning simmetriya o'qidir. Demak, AB ÿ CD va x1 + x4 = const tenglamasi bilan berilgan va C va D nuqtalarni o'z ichiga olgan nuqtalarning joylashuvi A va B nuqtalari orqali ellipsga ortogonaldir. Shuning uchun bu joy konfokal giperboladir. ÿ

11. 
    rasm: Ellipsdan konfokal ellipsgacha bo'lgan ikki juft tangens. Keyingi natija Reye va Chasles tufayli.
    

5.2 teorema A va B ellipsda ikkita nuqta bo'lsin. A va B dan konfokal ellipsgacha
bo'lgan juft teginish chiziqlari bilan tuzilgan to'rtburchak lateral ABCD ni ko'rib chiqaylik. Keyin uning boshqa uchlari C va D konfokal giperbolada yotadi va to'rtburchak aylana bo'ylab chizilgan, 22-rasmga qarang.

Isbot. Oldingi lemmaning isboti yozuvida x2 + x3 = x1 + x4, demak, C va D nuqtalar konfokal giperbolada yotadi. Bundan tashqari, torli qurilish nuqtai nazaridan,

f(A) + g(A) = f(B) + g(B), f(C) - g(C) = f(D) - g(D),
shuning uchun

f(D) - f(A) - g(A) + g(C) + f(B) - f(C) - g(D) + g(B) = 0,

yoki |AD| ÿ |AC| + |BC| ÿ |BD| = 0. Bu ABCD to'rtburchak chegaralangan bo'lishi uchun zarur va etarli. ÿ

Endi, D ellipsdagi n-davriy bilyard traektoriyasi bo'lgan Poncelet n-gonini ko'rib chiqaylik. O'ner ko'pburchak tomonlarining teginish nuqtalarining kanonik koordinatalarini g konfokal ellips bilan tanlashi mumkin.

1
0, _n ,
2
_n , . . . ,
n ÿ 1
.
n

U holda Pk konsentrik to'plam nuqtalarining satr koordinatalari

k
0, _n
1
, _n ,
k + 1 n
2
, _n ,
k + 2 n

, . . . ,

ya'ni ularning farqi k/n ga teng, doimiy. Bundan kelib chiqadiki, Pk konfokal ellipsda yotadi. Xuddi shunday Qk radial to'plamlar uchun 5.1 teoremaning birinchi da'vosini isbotlaydi.
5.2 teorema Ponsele to'rining har bir to'rtburchagi aylana bo'lishini nazarda tutadi, 23-rasmga qarang. Konus bilan bog'liq doira naqshlari uchun [3] ga murojaat qilamiz.

11. 
    rasm: Ponselet doiralar panjarasi.
    

Keyinchalik, 5.1 teoremaning ikkinchi da'vosini isbotlaymiz. Konuslarning konfokal oilasi tenglama bilan berilgan

² x 1
2 _{a 1} + l
₊ ² x 2

2. 
   _{a 2} + l
   

= 1,

bu yerda l - parametr. Uning ikkita oilasi qalamdir

2 2 2
² = 1

(a ₁ + l)x ₁ + (a ₂ + l)x ₂

Bu to'rtta nuqtaga ega bo'lgan, ehtimol, murakkab bo'lgan konuslardan iborat. Demak, konfokal oila to'rtta teginish chizig'ini birlashtiradigan, ehtimol murakkab bo'lgan konuslardan iborat.

5.1 teoremasining oxirgi da'vosini isbotlash uchun bizga quyidagi klassik natija kerak bo'ladi. g va D konfokal ellipslar bo'lsin, ular koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik va koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik bo'lsin va g dan D ga teng bo'lgan musbat yozuvli diagonal matritsa bo'lsin.

Lemma 5.2 (Ivuar) Har bir P ÿ g nuqta uchun P va A(P) nuqtalar konfokal giperbolada yotadi.

A chiziqli xaritasi Pk ni Pm ga yoki uning markaziy simmetrik to'plamiga olib borishini ko'rsataylik ; radial to'plamlar uchun argument shunga o'xshash.

Satr koordinatalarini (x, y) u = (x + y)/2, v = (y - x)/2 ga o'zgartirish qulay. Pk va Pm to'plamlar nuqtalarining (u, v) -koordinatalari

k _{+ j ,} k
m _j m

+
, ,

(j = 0, 1, ..., n - 1).

2n n 2n 2n n 2n

Biz bilamizki, Pk va Pm g va D konfokal ellipslarda yotadi. Lemma 5.2 ga binoan, A xaritasi u-koordinatani saqlaydi. Shuning uchun A(Pk) to'plam nuqtalarining koordinatalari

k _{+ j}
2n n

m
^, 2n

(j = 0, 1, . .

^{. ,} n ÿ 1).

Agar m ning pariteti k bilan bir xil bo'lsa, bu Pm to'plamga to'g'ri keladi va agar m ning pariteti k ga qarama-qarshi bo'lsa, u holda bu to'plam Pm to'plamiga markaziy simmetrikdir . Bu dalilni to'ldiradi.

6. 
   Harakatlarning Li algebralaridagi identifikatsiyalar
   

Ma'lumki, Evklid uchburchagining balandliklari bir vaqtda. Sferik va giperbolik geometriyalarda shunga o'xshash teorema mavjudligi kamroq ma'lum.

Ushbu bo'limda biz V. Arnoldning kuzatishini [4] tasvirlaymiz, bu natijalar doimiy musbat yoki manfiy egriliklarning tegishli geometriyalari harakatining Li algebralarida Yakobi o'ziga xosligi sifatida talqin qilinadi; qarang

ham [24, 43]. [2, 48] dan keyin biz boshqa klassik konfiguratsiya teoremalarining ushbu Li algebralaridagi identifikatsiyalar bilan aloqasini muhokama qilamiz.

Sferik geometriyada qutbni ekvatorga belgilaydigan nuqtalar va chiziqlar orasidagi ikkilik mavjud. Katta doiraning ikkita qutbi bor; Yo'naltirilgan katta doirani hisobga olgan holda yoki antipodal involyutsiya bilan faktorlarga ajratish, ya'ni sharni elliptik tekislik bilan almashtirish orqali qutbni tanlashni noyob qilish mumkin.

Ushbu sferik ikkilik o'zaro mahsulot bilan ifodalanishi mumkin: agar 3 A va B R da ^{elliptik tekislikdagi nuqtalarni} ifodalovchi ikkita vektor bo'lsa, u holda A × B vektori AB chizig'iga dual nuqtani ifodalaydi. Quyidagi argumentda biz nuqtalar va ularning qo'sh chiziqlarini farqlamaymiz.

11. 
    rasm: Sferik uchburchakning balandligi.
    

ABC sferik uchburchagi berilgan bo'lsa, C dan AB ga tushirilgan balandlik AB katta aylana qutbi va C nuqtani bog'laydigan katta aylanadir.

Nuqtalar va chiziqlarni aniqlash va o'zaro mahsulotdan foydalanib, bu balandlik vektor (A × B) × C bilan ifodalanadi, 24-rasmga qarang.
Ikki boshqa balandliklar o'xshash o'zaro mahsulot tomonidan berilgan va uchta
katta doira bir vaqtning o'zida joylashganligi haqidagi bayonot ushbu uchta o'zaro mahsulotning chiziqli bog'liqligiga tengdir. Lekin

(A × B) × C + (B × C) × A + (C × A) × B = 0,

o'zaro mahsulot uchun Yakobi identifikatori, shuning uchun uchta balandlik mos keladi

ijara.

E'tibor bering, Li algebrasi (R
³ , ×) shunday(3), birlik sfera harakatlari algebrasi.

Shunday qilib, so (3) dagi Yakobi o'ziga xosligi sharsimon ortosentrning mavjudligini anglatadi.
Shunga o'xshash, biroz ko'proq jalb qilingan bo'lsa-da, argument giperbolik tekislikda ishlaydi, sl (2, R) harakatlarning Li algebrasi so'ni (3) almashtiradi. E'tibor bering, bu algebralar Lie algebra sl(2, C) kompleksining haqiqiy shakllaridir.
Qizig'i shundaki, uchburchakning uchta balandligining mos kelishi haqidagi Evklid
teoremasi tekislik harakatlarining Li algebrasining Yakobi identifikatori sifatida talqinni qabul qilmaydi.
Bu g‘oyalarni rivojlantirib, T.Tomihisa [48] quyidagi o‘zlikni kashf etdi.
Teorema 6.1 Lie algebrasi sl(2) elementlarining har beshtaligi (haqiqiy yoki murakkab koeffitsientlar bilan) uchun [F1, [[F2, F3],
[F4, F5]]] + [F3, [[F2, F5], [F4, F1]]] + [F5, [[F2, F1], [F4, F3]]] = 0.
E'tibor bering, 1, 3, 5 indekslari davriy ravishda almashtiriladi, 2 va 4 esa muzlatilgan.

11. 
    rasm: Tomihisa identifikatsiyasi ikki tomonlama Pappus teoremasi: AF1, BF3 va CF5 chiziqlari bir vaqtda.
    

Yuqoridagi kabi, Tomihisa identifikatori konfiguratsiya teoremasi sifatida talqin qilinishi mumkin: Lie qavs ikkita asosiy amaldan biriga mos keladi: bir juft nuqtani chiziq bilan ulash yoki bir nuqtada bir juft chiziqni kesish.
Bunday talqin uchun 25-rasmga qarang.