Теоремы о произведении и сумме событий

ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ СУММЫ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часто при вычислении вероятности события бывает удобно представить его в виде комбинации более простых событий.

Суммой (А+В) двух событий, называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.


Пример Если попадание в цель при первом выстреле есть событие А, а В – попадание при втором выстреле, то хотя бы одно попадание в цель при двух выстрелах есть сумма данных событий А+В.

П онятие суммы событий можно проиллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна. Пусть событию А соответствует взятие наугад точки плоскости из области А, а событию В – взятие точки из области В, то сумме событий соответствует попадание точки в область АВ (рис. 1).

Причем а) соответствует случаю несовместных событий, а
б) – для совместных событий.
Теорема (сложения вероятностей) Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) (3).
Данная теорема справедлива для любого конечного числа событий.


Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в том, что событие А не происходит.
Противоположные события всегда несовместны. Легко видеть, что Р(А+А)=Р(А)+Р(А)=1 (4).


Пример В лотерее 1000 билетов. На 20 из них падает вещевой выигрыш, на 10 – денежный. Найти вероятность выигрыша на один купленный билет.
Решение: Пусть событие А состоит в том, что на купленный билет выпадет вещевой выигрыш, событие В – денежный. Тогда А+В – купленный билет окажется выигрышным. События А и В несовместны, поэтому можно применить теорему сложения вероятностей для вычисления искомой вероятности: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=


Теорема (расширенная теорема сложения) Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления (произведения): Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) (7)
Пример В электрическую цепь последовательно включены 2 предохранителя. Вероятность выхода первого из строя равна 0,6; второго – 0,2. Найти вероятность прекращения питания в результате выхода из строя хотя бы одного из предохранителей.
Решение: Событие А – выход из строя первого предохранителя, В – второго, А+В – выход из строя хотя бы одного из них. События А и В совместны и независимы, поэтому по расширенной теореме сложения получим: