Теоремы о произведении и сумме событий

Однако для решения расширенной теоремы сложения, мы должны знать теорему умножения вероятностей.
2. ФОРМУЛИРОВКА ТЕОРЕМЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Произведением двух событий А и В называется событие АВ, состоящее в совместном появлении этих событий. Произведением нескольких событий называется событие наступления всех этих событий.


Например, двукратное попадание в цель есть произведение двух событий.

При рассмотрении совместного наступления нескольких событий возможны случаи, когда появление одного из них сказывается на возможности появления другого. Например, если осенью день солнечный, то менее вероятно, что погода испортится (начнется дождь). Если же солнца не видно, то больше шансов, что пойдет дождь.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не меняется в зависимости от того, произошло или нет событие В. Иначе событие А называется зависимым от события В.

Два события А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от появления или непоявления другого, зависимыми – в противном случае.
Теорема (умножения вероятностей) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:
Р(АВ)=Р(А)Р(В)(5).
Эта теорема справедлива для любого конечного числа событий, если только они независимы в совокупности, т.е. вероятность любого из них не зависит от того, произошли или нет другие из этих событий.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имеет место событие В, называется условной вероятностью события А при условии появления В и обозначается Р_В(А).


Теорема Вероятность появления произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло:
Р(АВ)=Р(А)Р_А(В)=Р(В)Р_В(А) (6).


Пример Ученик дважды извлекает по одному билету из 34. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен, если им подготовлено 30 билетов и в первый раз вынут неудачный билет?
Решение: Пусть событие А состоит в том, что в первый раз достался неудачный билет, событие В – во второй раз вынут удачный билет. Тогда АВ – ученик сдаст экзамен (при указанных обстоятельствах). События А и В зависимы, т.к. вероятность выбора удачного билета со второй попытки зависит от исхода первого выбора. Поэтому используем формулу (6):

Заметим, что полученная в решении вероятность 0,107. Почему так мала вероятность сдачи экзамена, если выучено 30 билетов из 34 и дается две попытки?!