Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

III Bob. Funksiyalar nazariyasidan tengsizliklarni isbotlashda foydalanish
3.1-§ Tengsizliklarni hosila yordamida isbotlash
Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari matematika kursida hosila yordamida asosan funksiyani tekshirishga doir misollarga qo’llash bilan cheklaniladi. Ma’lumki, funksiyaning mohoton o’suvchi yoki kamayuvchi bo’lishini aniqlashda hosila muhum o’rin egallaydi, va bu tushunchalar ko’plab tengsizliklarni isbotlashga imkoniyat yaratadi. Ayniqsa ta nomanfiy sonlarning o’rta arifmetigi va o’rta geometrigi haqidagi mashhur Koshi tengsizligining ommabop sodda isbotini hamda undan natija sifatida kelib chiqadigan Yensen, Gelder, Koshi-Bunyakovskiy tensizliklarini keltiramiz.
3.1.1-misol. bo’lganda

tengsizlikni isbotlang.
Isboti. funkksiya uchun va bo’lgani uchun bu funksiya qat’iy kamayuvchi bo’lib, . Bundan isbotlanishi talab qilingan tengsizlikning kelib chiqadi.
3.1.2-misol. tengsizlikni isbotlang.
Isboti. funksiya qaralsa, ekanligi ravshan. Shuning uchun bo’lganda ekanligini ko’rsatishimiz kifoya. Ammo, bo’lgani uchuin tengsizlik

tengsizlik bagarilgandagina o’rinli. Biroq va bo’lgani uchun , isbotlanishi talab qilingan tengsizlikning o’rinli ekanligi ravshan.
3-misol. Har qanday soni uchun
(1)
tengsizlikni isbotlang, bu yerda tenglik faqat bo’l;gandagina o’rinli.
Isboti . Agar funksiya qaralsa, uning hosilasi bo’lganda musbat, bo’lganda manfiy bo’lib, u o’zining eng kichik qiymati ni nuqtada qabul qiladi. Shuning uchun

bo’lib, bundan ixtiyoriy soni uchun isbotlanishi talab qilingan tengsizlik kelib chiqadi.
Endi nomanfiy sonlar bo’lib, ularning o’rta arifmetigini bilan belgilaymiz, ya’ni

1. 
   tengsizlikka ko’ra musbat sonlar uchun
   

tengsizliklarni yozamiz. Bu tengsizliklarni hadlab ko’paytirib,

tengsizlikni hosil qilamiz. Ammo

bo’lgani uchun , bu tengsizlikdan
,
yoki K o s h i ning o’rta arifmetik va o’rta geometrik miqdorlar orasidagi tengsizligi
(2)
hosil bo’ladi. Bu tengsizlikda tenglik
,
ya’ni

bo’lganda erishiladi.