Termiz davlat pedagogika instituti matematika va informatika fakulteti

Umumlashgan Koshi tengsizligi
musbat sonlar bo’lsin. U holda

tengsizlik o’rinli, bu yerda tenglik bo’lganda erishiladi.
Isboti. belgilash kiritamiz va (1) tensizlikdan

tengsizliklarni yozamiz. Birinchi tengsizlikni chi, ikkinchi tengsizlikni chi va hakozo chi tengsizlikni chi darajaga ko’tarib, keyin hosil bo’lgan tengsizliklarni hadlab ko’paytirsak

isbotlanishi talab qilingan tengsizlikni hosil qilamiz. (3) munosabatda tenglik belgisi
,
ya’ni

bo’lganda erishiladi.
Umumlashgan Koshi tengsizligidan quyidagi natijalarni hosil qilish mumkin.
1-natiha. bo’lganda (3) tengsizlikdan (2) Koshi tengsizligi kelib chiqadi;
2-natija. Agar musbat sonlar bo’lib,

bo’lsa, u holda (3) tengsizlikda ning o’rniga ifodani, o’rniga ifodalar qo’yilsa, umumlashgan Iyensen tengsizligi deb nomlangan

tengsizlikni hosil qilamiz. Odatdagi Iyensen tengsizligi bo’lganda bir oz boshqa belgilashlar bilan quyidagicha ifodalanadi.
Agar va bo’lsa, u holda
(4)
3-natija. musbat sonlar bo’lsin. U holda

Gelder tengsizligi o’rinli.
Isboti. belgilashlar kiritamiz. U holda (4) Iyensen tengsizligi

ko’rinishni oladi.

ekanligini e’tiborga olib, bu tengsizliklarni hadlab qo’shsak

bundan esa
(5)
Gelder tengsizligi kelib chiqadi.
4-natija. bo’lganda (5) Gelder tengsizligidan Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb nomlangan

tengsizlik kelib chiqadi.

3.2-§ Tengsizliklarni isbotlashda funksiya qavariqligidan foydalanish. Yenson tengsizligi.
Umumta’lim matematika kursida asosan ikkita nomanfiy sonlarning o’rta arifmetigi va o’rta geometrigi orasidagi munosabatni qo’llab tengsizliklarni isbotlash o’rin olgan. Biz bu bo’limda funksiya qavariqligi va botiqligi tushunchalaridan foydalangan holda tengsizliklarni isbotlash mumkin ekanligini bayon etamiz. Dastlab botiq funksiya tushunchasini keltiramiz.