Lemma 12. , va bo’lsin.
Agar
(3.7)
Tenglik bajarilsa, u holda funksiya sinfiga mansub hisoblanadi.
Isbot . (3.7) tenglikni differensiallash va n ni ga almashtirib
(3.8)
Hosil qilamiz , bu yerda
kattaliklari quyidagi tenglik orqali aniqlangan bo’lsin
= ( = 1, 2, … , s ).
Furye funksiyasi koeffitsienlarini orqali belgilab olamiz :
va - har bir o’zgaruvchi bo’yicha bo’laklab karrali integral olamiz. (3.8) tenglikdagi integrallangan hadlarning nolga aylanishini bilgan holda , va qisqartma belgilardan foydalanib quyidagi ifodani hosil qilamiz
(3.9)
Yana bo’laklab integrallaymiz va keyingi sinfi ta’rifidagi bahodan foydalanamiz
Chunki endi har bir bo’laklab integrallashda 3 ta yangi integral paydo bo’ladi , u holda (3.9) ifodadan
hosil qilamiz .
Bu yerdan , shunday qilib funksiyasi o’zgaruvchilarning har biri uchun yagona cheksiz davrga ega bo’lganligi sababli, sinfiga ko’ra lemma shartlariga bo’ysunadi.
12-lemma shartlarini qanoatlantiruvchi funksiya uchun quyidagi misolni ko’rib chiqamiz.
o’lchovli Bernulli ko’phadi bo’lsin. Shunday qilib Lemma 6 ning ikkinchi shartiga binoan
u holda, oydinlashadiki, da
Ammo aynan shu lemmaning birinchi shartiga ko’ra
va , bundan kelib chiqadiki
Bu tengliklardan foydalangan holda , ishonch hosil qilish mumkinki , funksiya uchun bo’lganda
da bajariluvchi (2.11) ning shartlari bilan mos keluvchi
[ (1) ] = [ (0) ]
( = 1, 2, … , s ; n = 0, 1, … , – 2 ) ,
shartni bajaradi. Shunday qilib ekanligi ma’lum bo’lsa, u holda funksiyasi 12-lemma ning barcha shartlarini qanoatlantiradi, va bundan tashqari ,
… ( s ≥ 1 , r ≥ 2 ) . (3.10)
Endi 12 - lemmaning ta’rifidagi bitta natijaga ko’ra funksiyalarni davriylashtirish sinfidagi kvadratur formulalarida qurilgan masalalarida 2 ≤ α bo’lganda sinfi masalalaridagi kabi namoyon bo’lishini ta’riflaymiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
