Texnologiyalari va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari
Download 0.9 Mb.
|
tursunboyev nodirbek matematika Mustaql ish
- Bu sahifa navigatsiya:
- [-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori.
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari.
Juft va toq funksiyalarning Furye qatorlari birmuncha sodda ko’rinishga ega bo’ladi, ya’ni f(x) funksiya [−p,p]da berilgan juft funksiya bo’lsin. U shu [−p,p] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. U holda f(x)cosnx juft funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa toq funksiya bo’ladi va ular [−p,p]da integrallanuvchi bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: 1 p 1 0 p
−p p nxdx (n = 0,1,2,...), 1 p 1 0 p bn = p −∫p f (x)sin nxdx = p −∫p f (x)sin nxdx +∫0 f (x)sin nxdx = p p = p −∫0 f (x)sin nxdx +∫0 f (x)sin nxdx = 0 (n =1,2,3,...). Demak, juft f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari p an = ∫ f (x)cosnxdx (n = 0,1,2,...), bn = 0 (n =1,2,3,...) (1.6) p 0 bo’lib, Furye qatori esa a0 ∑∞ n f (x) ~ T( f ;x) = + a cosnx bo’ladi. 2 n=1 Endi f(x) funksiya [−p,p]da berilgan toq funksiya bo’lsin va u shu [−p,p] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Bu holda f(x)cosnx toq funksiya, f(x)sinnx (n=1,2,…) esa juft funksiya bo’ladi. (1.2) formulalardan foydalanib, f(x) funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: 1 p 1 0 p an = p −∫p f (x)cosnxdx = p −∫p f (x)cosnxdx +∫0 f (x)cosnxdx = 1 p p = p −∫0 f (x)cosnxdx +∫0 f (x)cosnxdx = 0 (n = 0,1,2,...), p 1 0 p bn = p −∫p f (x)sin nxdx = p −∫p f (x)sin nxdx +∫0 f (x)sin nxdx = p nxdx (n =1,2,3,...). Demak, toq f(x) funksiyaning Furye koeffisientlari an = 0 (n = 0,1,2,,...), p bn = 2 ∫ f (x)sin nxdx (n =1,2,3,...) (1.7) p 0 bo’lib, Furye qatori esa ∞ f (x) ~ T( f ;x) =∑bn sin nx
bo’ladi. Misol. f (x) = x 2 (−p ≤ x ≤ p) funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.6) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz: p a , p 2 2 2 sin nx p 4 p an = ∫0 x cosnxdx = x 0 − ∫ xsin nxdx = p p n np 0 =− 4 − x cosnx p + p∫cosnxdx = (−1)n 42 (n =1,2,...). np n 0 0 n Bundan, f (x) = x 2 funksiyaning Furye qatori ushbu x 1 ko’rinishida bo’ladi. [-l,l] oraliqda berilgan funksiyaning Furye qatori. Biz yuqorida [−p,p] oraliqda berilgan funksiya uchun uning Furye qatori tushunchasini kiritdik. Bunday tushunchani ixtiyoriy [l,l] (l>0) oraliqda berilgan funksiya uchun ham kiritish mumkin. f(x) funksiya [l,l] (l>0) da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. t = p x (1.8) l Almashtirish bajaramiz, bu almashtirish [l,l] oraliqni [−p,p] oraliqqa o’tkazadi. Agar f (x) = f l t= j ( )t p deb olsak, u holda j (t) funksiyani [−p,p] da berilgan va shu oraliqda integrallanuvchi bo’lishini ko’rish qiyin emas. Bu j (t) funksiyaning Furye qatori quyidagicha bo’ladi: ( )t ~ T(j ;t)= a ∞ , j n=1 bu yerda an = p1 −p∫pj ( )t cosntdt (n = 0,1,2,...), bn = p1 −p∫pj ( )t sin ntdt (n =1,2,3,...). Yuqoridagi (1.8) tenglikni e’tiborga olsak, u holda j p x ~ a0 +∑n∞1 an cosnpl x +bn sin npl x l 2 = bo’lib, uning koeffisientlari qo’yidagicha:
−
bo’ladi. Natijada 24
2 n=1 l l ga ega bo’lamiz, bu yerda
l −l l bn = 1 ∫l f (x)sin npx dx (n =1,2,3,...). (1.10) l −l l (1.9) ning o’ng tomonidagi trigonometrik qatorni [-l,l] da berilgan f(x) ning Furye qatori deyiladi, (1.10) Furye koeffisientlari deyiladi. Misol.Ushbu f (x) = ex (−1≤ x ≤1) funksiyaning Furye qatori yozilsin. (1.10) formulalardan foydalanib berilgan funksiyaning Furye koeffisientlarini topamiz (bunda l=1) a , an = ∫1 e x cosnpdx = np sin npx2+ cos2 npx ex+1 = 1+ n p −1−1 = (ecosnp − e−1 cosnp)= (−1)n e −e2 −12 (n =1,2,...), 1+ n p bn = ∫1 e x sin npxdx = sin npx − n2p cos2 npx ex +1 = 1+ n p −1−1 =(enp cosnp + e−1np cosnp)= np cos2 n2p (e−1 − e)= 1+ n p = np(−21)2n (e−1 − e)= (−1)n+1 e − e2 −12 np (n =1,2,3,...) 1+ n p 1+ n p 25 Demak, f (x) = ex funksiyaning (−1≤ x ≤1) Furye qatori ushbu ex ~ e −2e−1 +(e −e−1 )∑n∞1 1+(−n12)pn 2 cosnpx + 1(+−1n)2np+12 pnsin npx =
ko’rinishda bo’ladi. Download 0.9 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling