Tezlik gradienti sxemasi va uni moslashuvchan(adaptiv) boshqaruvda qo’llanishi

2. Tezlik gradyenti printsipini
Differentsial tenglamalar bilan tavsiflangan moslashtirilgan ob'ektni ko'rib chiqamiz
,
Bu yerda x- ob'ekt holati vektori, c- sozlanishi parametrlarning vektori, F (x, c, t) – silliq funktsiya
X vektori tarkibiga boshqaruv ob'ektining o'zi, ijro etuvchi va o'lchash moslamalari, boshqaruvchi va boshqalarning vektorlari kirishi mumkin. Vektorni moslashtirish algoritmini shakllantirish uchun tizimning ishlash sifatini tavsiflovchi ba'zi bir yordamchi (baholovchi) funktsionallarni o'rnatamiz. Biz ikkita asosiy ishni ko'rib chiqamiz:

1. 
   (lokal funksiya)
   
2. 
   (integral funksiya)
   

bu yerda va bazi bir silliq funksiyalar
Ushbu holatlarning har birida funktsiyani - (1) tenglama tufayli funktsional o'zgarish tezligini hisoblash mumkin.

Birinchi ish uchun va ikkinchi ish uchun ya'ni ikkala holatda ham bu yerda vektorining tarkibiy qismlariga nisbatan uzluksiz qisman hosilalari bo'lgan ba'zi funktsiyalar. Keling, tezlik gradiyenti algoritmini sozlanishi parametrlar vektori o'zgaruvchanligining quyidagi qonuni deb ataymiz:

Bu yerda - mos keladigan tartibning ijobiy aniq matritsasi (masalan, bu erda I birlik matritsa). Algoritmi asosida c vektorining o'zgarishi algoritm nomini asoslaydigan funktsional o'zgarish tezligidan gradient yo'nalishi bo'yicha sodir bo'ladi. [1, 2] da ta'kidlanganidek, turli xil mualliflar tomonidan dinamik ob'ektlarni adaptiv boshqarishning o'ziga xos muammolarini hal qilish uchun taklif qilingan bir qator algoritmlar (2) shaklga keltirilgan (quyida, 4-bo'limga qarang).
Differentsial tenglamalar tizimi (1), (2) yopiq va fazalar fazasida uning traektoriyalarining sifat xususiyatlarini o'rganish masalasini {x, c} qo'yish mumkin. Xususan, (2) algoritm yordamida (1) ob'ektni barqarorlashtirish sifatida talqin qilinishi mumkin bo'lgan tizim (1), (2) barqarorligini o'rganish qiziq. Bunday holda, barqarorlashtirish muammosining asosiy echuvchanligini talab qilish tabiiydir, ya'ni. parametrlarning "barqarorlashtiruvchi" vektorining mavjudligidir. Keyingi teorema shuni ko'rsatadiki, f, c, t) funktsiyasining c ga nisbatan konveksiyasining qo'shimcha farazida (2) algoritm (1) ob'ektni (1), (2) ning chegaralangan traektoriyalari ma'nosida barqarorlashtiradi.
Teorema 1. Faraz qilaylik, har qanday x, t uchun vektor mavjud

va bundan tashqari, funktsiya c konveks, ya'ni har qanday tengsizlik uchun

So'ngra (1), (2) tizimning har qanday traektoriyasi bo'yicha qiymat yuqoridan chegaralanadi:

Agar bu holda funktsional lokal bolsa:
da
u holda tizim (1) (2) ning barcha traektoriyalari chegaralangan
Izoh 1. Shubhasiz, funktsiya c da chiziqli bo'lsa (4) shart bajariladi.
Izoh 2. Agar (3) o'rniga kuchsiz holat bo'lsa, teorema haqiqiy bo'lib qolishini ko'rsatish oson

Bu yerda bolganda
1-teoremaning isboti ilovada keltirilgan va to'g'ridan-to'g'ri Lyapunov usulini qo'llashga asoslangan. Lyapunov funktsiyasi sifatida biz tizimning (1), (2) traektoriyalarining funktsiyasini olamiz, bu quydagicha boladi

Barqarorlik sharoitlaridan tashqari, sintezlangan tizimlar sifatini baholash ham mumkin. Keyingi teorema tezlikni gradiyenti algoritmlarining asimptotik optimalligini baholash funktsiyasi minimal ma'nosida o'rnatadi.
Teorema 2. (1), (2) tenglamalarning o'ng tomonlari lokal darajada bir tekis chegaralangan bo'lsin, ya'ni

har qanday istalgan uchun (1), (2) tizimning holat vektori hisoblanadi. Har qanday shakldagi funktsional funktsiya x, t da bir xilda uzluksiz bo'lsin, mahalliy, manfiy bo'lmagan va (4), (6) shartlarni qondiradigan, va (3) o'rniga kuchli tengsizlik Har qanday shakldagi funktsional funktsiya x, t da bir xilda uzluksiz bo'lsin, mahalliy, manfiy bo'lmagan va (4), (6) shartlarni qondiradigan, (3)

Bu yerda teng boladi