Titreşim Analizine

Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması:
Newton’un 2. kanununa göre, 
(
)
(
)
F
m a   
   mx
-k x-y
c x y              
                         mx cx
kx
cy ky
å =

=
-
-
+
+
=
+







( )
( )
mx cx kx
kYsin
t
c Y cos
t
w
w
w
+
+
=
+


bulunur.
Yukarıda bulunan denklemde yol fonksiyonu                        
yerine konulursa,
( )
( )
y t
Y sin
t
w
=
1
1 
nolu denklemi süperpoze edelim,
( )
mx cx kx
kYsin
t
w
+
+
=


2
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1ö
1
1ö
1
2
1ö
1
x
t
Asin
t
x
t
A cos t
x
t
Asin
t
w
f
w
w
f
w
w
f
=
-
=
-
= -
-


3
3
eşitlikleri 
2
‘nin içine konursa;

(
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
1
1
1
2
1
1
1
1
m Asin
t
c A cos t
kAsin
t
kYsin
t
A k m
sin
t cos
cos t sin
                           c A  cos t cos
sin
t sin
kYsin
t
w
w
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
f
w
w
f
w
f
w
-
-
+
-
+
-
=
é
ù
-
-
ë
û
é
ù
+
+
=
ë
û
4
4 
denklemi               ve                parantezine alınıp katsayılar 
eşitlenirse; 
( )
A sin
t
w
( )
A cos
t
w
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2
1
1
2
1
1
       k m
cos
c sin
 Asin
t
k m
  sin
c cos
  Acos
t
kYsin
t    
w
f
w
f
w
w
f
w
f
w
w
é
ù
-
+
ê
ú
ë
û
é
ù
+ - -
+
=
ê
ú
ë
û
5
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
2
1
1
2
1
1
k m
cos
c sin
  A
kY
k m
  sin
c cos
  A
0
w
f
w
f
w
f
w
f
é
ù
-
+
=
ê
ú
ë
û
é
ù
- -
+
=
ê
ú
ë
û
6
7

olur.           olmak üzere, 
7 
nolu denklemden,
A
0
¹
(
)
( )
( )
2
1
1
1
1
2
0
c
k m
 sin
c cos
 A
0  
  
tan
k m
w
w
f
w
f
f
w
-
=
æ
ö
é
ù
÷
ç
- -
+
=

=
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ë
û
è
ø
-


6
ve 
7
nolu denklemlerin kareleri alınıp taraf tarafa toplanırsa;
(
)
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
k m
cos
c sin
  A
kY
k m
  sin
c cos
  A
0 
w
f
w
f
w
f
w
f
é
ù
-
+
=
ê
ú
ë
û
é
ù
- -
+
=
ê
ú
ë
û
+
(
)
( )
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
kY
A
k m
c
kY   
  A
k m
c
w
w
w
w
é
ù
-
+
=

=
ê
ú
ë
û
-
+
bulunur.
9
8

8
ve 
9
eşitlikleri 
3
nolu hareket denkleminde yerine konulursa; 
( )
(
)
( )
1
1ö
2
2
2
2
kY
c
x
t
sin t tan
k m
k m
c
w
w
w
w
w
-
é
ù
æ
ö÷
ç
ê
ú
=
-
÷
ç
÷
ç
ê
ú
è
ø
-
ë
û
-
+
10
Benzer şekilde;
( )
mx cx kx
c Y cos
t
w
w
+
+
=


11
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2ö
2
2ö
2
2
2ö
2
x
t
Bcos t
x
t
 
Bsin
t
x
t
Bcos t
w
f
w
w
f
w
w
f
=
-
= -
-
= -
-


12
ilgili eşitliklere konup ara işlemler benzer şekilde yapılırsa;

1
1
2
2
c
tan
k m
w
f f
f
w
-
æ
ö÷
ç
=
=
=
÷
ç
÷
çè
ø
-
( )
(
)
( )
1
2ö
2
2
2
2
c Y
c
x
t
cos t tan
k m
k m
c
w
w
w
w
w
w
-
é
ù
æ
ö÷
ç
ê
ú
=
-
÷
ç
÷
ç
ê
ú
è
ø
-
ë
û
-
+
1
2
2
c
tan
k m
w
f
w
-
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷
çè
ø
-
(
)
( )
2
2
2
c Y
B
k m
c
w
w
w
=
-
+
14
13
15
Olarak bulunur. Burada,                                         
dir.
16

Süperpozisyon ilkesi uyarınca her bir           ve            çözümünü
toplarsak;
( )
1ö
x t
( )
2ö
x
t
( )
( )
( )
ö
1ö
2ö
x t
x
t
x
t
=
+
17
( )
(
)
( )
(
)
( )
1
2
1
ö
2
2
2
2
A
1
2
2
2
2
B
kY
c
x t
sin t tan
k m
k m
c
c Y
c
        
cos t tan
k m
k m
c
f
f
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
-
-
é
ù
ê
ú
æ
ö
ê
ú÷
ç
=
-
÷
ê
ú
ç
÷
çè
ø
-
ê
ú
-
+
ê
ú
ë
û
é
ù
ê
ú
æ
ö
ê
ú÷
ç
+
-
÷
ê
ú
ç
÷
çè
ø
-
ê
ú
-
+
ê
ú
ë
û




18

17
denklemi şu şekilde de, yazılabilir.
( )
(
)
(
)
ö
1
2
x t
Asin
t
Bcos t
w
f
w
f
=
-
+
-
yada,
( )
(
)
ö
x t
Xcos t
w
f j
=
- -
biçiminde yazılabilir. Burada;
( )
(
)
( )
2
2
2
2
2
2
2
k
c
X
A
B
Y
k m
c
w
w
w
+
=
+
=
-
+
1
1
A
k
tan
tan
B
c
j
w
-
-
æ ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
=
=
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è ø
è
ø
dir.
19
21
20
22

20
denklemi, 
16
, 
21
ve 
22
eşitlikleri göz önüne alınarak tekrar 
yazılırsa; 
( )
( )
(
)
( )
2
2
1
1
ö
2
2
2
2
k
c
c
k
x t
Y
cos t tan
tan
k m
c
k m
c
w
w
w
w
w
w
w
-
-
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
÷
÷
ç
ç
ê
ú
=
-
-
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
ê
ú
è
ø
è
ø
-
-
+
ë
û
23

Problem: Aşağıdaki sistemin verilen değer ve başlangıç
şartlarına bağlı olarak 5 s için hareketini inceleyiniz.
1
k
c
c
2
k
x
e
n
m

Çözüm:
x
x
k
1
x
c
x
c
)
y
x
(
k
2

x
m 

y
( )
y
esin
t
w
=
m

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
F
ma
mx
cx cx k x k x y
mx 2cx
k
k x
k y
mx 2cx
k
k x
k esin
t
m
250 kg  c
200 Ns/m   k
20000  N/m   k
40000 N/m
n
450
e
0.05 m   n
450 d/d   
15
30
30
250x 400x 60000x
2000sin 15 t
w
p
p
w
p
p
å =
= - -
-
-
-
+
+
+
=
+
+
+
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
+
+
=










Geçici titreşim bölgesi
Daimi titreşim bölgesi

Problem: Aşağıdaki sistemin verilen değer ve başlangıç
şartlarına bağlı olarak 5 s için hareketini inceleyiniz.

Yerdeğiştirme Geçirgenliği
21
nolu denklemden,
( )
(
)
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
k
c
1
2 r
X
 G
Y
k m
c
1 r
2 r
w
x
w
w
x
+
+
=
=
=
-
+
-
+
23
bulur.
( )
( )
(
)
( )
2
2
1
1
ö
2
2
2
2
k
c
c
k
x t
Y
cos t tan
tan
k m
c
k m
c
y
w
w
w
w
w
w
w
-
-
é
ù
ê
ú
æ
ö
æ
ö
+
ê
ú
÷
÷
ç
ç
=
-
-
÷
÷
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
-
ê
ú
-
+
ê
ú
ë
û


Yerdeğiştirme Geçirgenliği-Hız 
Oranı Değişimi.
Hız oranı
n
r



0.1
x =
0.05
x =
0.375
x =
0.25
x =
0.5
x =
1
x =
0.15
x =
Oran
ı
Y
X

Yerdeğiştirme Geçirgenliği            
Faz Farkı-Hız Oranı Değişimi.
Hız oranı
n
r
w
w
=
0.1
x =
0.375
x =
0.25
x =
0.5
x =
0.15
x =
0.05
x =
Faz
 fark
ı
y

Dengelenmemiş Sistemlerin 
Sönümlü Zorlanmış Hareketi
Hareketin diferansiyel denkleminin bulunması:
e
m
M
k
c
x
t
w
e
m
M
x
t
w
x
M 

kx
x
c
2
mew

Newton’un 2. kanununa göre, 
( )
( )
2
2
F
m a   
   mx
-kx-cx-me sin
t              
                         mx cx kx
me sin
t
w
w
w
w
å =

=
+
+
=




Burada,                      dir. Benzer şekilde çözüm yapılırsa,
2
0
F
m ew
=
(
)
( )
2
2
2
2
me
X
k m
c
w
w
w
=
-
+
1
1
2
c
 tan
k M
w
f
w
-
æ
ö÷
ç
=
÷
ç
÷
çè
ø
-
olarak bulunur.
1
3
2

‘i ve    ‘yi boyutsuz formda yazalım.
X
f
2
n
2
2
2
n
n
ω
ω
M X
=
m e
ω
ω
1-
+ 2ξ
ω
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè ø
é
ù
æ
ö
é
ù
ê
ú
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ê
ú
÷
ç
ê
ú
÷
çè ø
ê
ú
ë
û
ë
û
n
-1
2
n
ω
2ξ
ω
φ=tan
ω
1-
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè ø
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè ø
( )
(
)
x t =Xsin ωt-φ
bulunur.
5
6
4

4 nolu eşitlikle-Hız Oranı Değişimi.
Hız oranı
n
r
w
w
=
e
X
m
M
Oran
ı
0.1
x =
0.05
x =
0.375
x =
0.25
x =
0.5
x =
1
x =
0.15
x =

Faz Açısı-Hız Oranı Değişimi.
Hız oranı
n
r
w
w
=
Faz
 aç
ıs
ı
[derece]
0
x =
1
x =
0.2
x =
0.5
x =
0.1
x =
0.3
x =
0.7
x =
2
x =
f

Problem: Aşağıdaki sistemin verilen değer ve başlangıç
şartlarına bağlı olarak 2 s için hareketini inceleyiniz.
1
k
2
k
c
x
r
R
r
m
R
m
M
n
,
e
,
m

Çözüm:
x

x
k
1
x
c
r
J j
R
J j
x
k
2
x
M 


( )
0
2
F
F= meω cos ωt

Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
(
)
( )
Top
r
R
1
2
2
2
2
2
2
2
r
R
1
2
r
R
M
J
J
J
Mx R
cx r k x R k x R
F R
1
1
m r
m R
MR
cr
k
k R
me R cos t
2
2
m
20 kg   m
60 kg   M
60 kg   r
0.5 m   R
1 m   e
0.1 m   
m
0.05 kg   n 1500 d/d   c 1400 
j
j
j
j
j
j
w
w
å
=
+
+
= -
-
-
+
æ
ö÷
ç
+
+
+
+
+
=
÷
ç
÷
çè
ø
=
=
=
=
=
=
=
=
=







(
)
1
2
Ns/m   
n
1500
k
25000 N/m    k
15000 N/m   
50  rad/s
30
30
92.5
350
40000
123.37cos 50 t
p
p
w
p
j
j
j
p
=
=
=
=
=
+
+
=



Geçici titreşim bölgesi
Daimi titreşim bölgesi

Titreşim İzolasyonu
m
M
k,c

k
c
x
M+m
F
(
)
(
)
x
X sin
t
x
X cos
t
w
j
w
w
j
=
-
=
-

Temele geçen kuvvet F
T
:
T
y
s
y
s
T
F
F
F      F
kx     F
cx
F
kx cx
=
+
=
=
=
+


( ) (
)
2
2
2
T
n
2ξω
F = kX + cωX =kX 1+
ω
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø

2
2
2
0
2
2
2
0
n
n
n
n
X k
1
 
 
 
 
F
kX 1
2
F
1
2
w
w
x
w
w
w
w
x
w
w
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
ê
ú
÷
÷
ç
ç
ê
ú
÷
÷
=

=
-
+
ç
ç
ê
ú
÷
÷
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
ê
ú
ê
ú
é
ù
ë
û
é
ù
æ
ö
æ
ö
ë
û
ê
ú
÷
÷
ç
ç
ê
ú
÷
÷
-
+
ç
ç
ê
ú
÷
÷
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø
ê
ú
ë
û
ë
û
X
kX
X
c

X
m
2

F
T
F


(
)
(
)
(
)
2
2
n
n
T
2
2
2
2
2
2
0
n
n
n
n
2
T
2
2
2
0
2
2
kX 1
1
X
F
G
Y
F
1
2
kX 1
2
1
2 r
X
F
G
Y
F
1 r
2 r
xw
xw
w
w
w
w
w
w
x
x
w
w
w
w
x
x
æ
ö
æ
ö
÷
ç
÷
ç
÷
+
÷
+
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
ç
è
ø
è
ø
=
=
=
=
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
é
ù
æ
ö
æ
ö
ê
ú
÷
÷
ç
ç
ê
ú
ê
ú
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ê
ú
-
+
ç
ç
÷
÷
-
+
ê
ú
ç
ç
÷
÷
ê
ú
ê
ú
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ê
ú
ç
ç
÷
÷
è
ø
è
ø
ç
ç
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
ê
ú
ë
û
ë
û
ë
û
+
=
=
=
-
+
Kuvvet Geçirgenliği
Iz 1 G        (%)
= -
İzolasyon

T
0
F
X
G
F
Y
=
=
Eğer, sönüm ihmal edilecek kadar küçük ise, geçirgenlik
(
)
2
2
n
2
st
1
1
G
r
1
1
1
G
2 f
1
g
w
w
p
d
=
=
-
æ
ö÷
ç
÷ -
ç
÷
ç
÷
çè ø
=
-
bulunur.

Kuvvet Geçirgenliği-Hız Oranı
Değişimi.
Hız oranı
n
r



1
.
0


05
.
0


375
.
0


25
.
0


5
.
0


1


15
.
0


Oran
ı
0
T
F
F

Kuvvet Geçirgenliğine Ait Bazı
Sonuçlar:
•
olması halinde                    olur.  Bu  durumda  yalıtıcıların 
kullanılması yarar değil zarar getirir.
•
olması halinde        olur. Bu durumda yalıtıcılar, 
kendilerinden beklenen yararı sağlar. Ancak bu bölgede     ne 
kadar büyükse,   de o kadar büyük olmaktadır. Buna göre 
sönüm, yalıtıcının yararını azaltır.
•Yalıtıcının en büyük zararı
(rezonans) olması halinde, en 
büyük yararı ise            olması halinde görülür. Buna karşılık 
(çok sert ‘k’ yalıtıcı ) ve             olması halinde,       den 
bağımsız olarak,         olur ve yalıtıcının hiçbir etkisi görülmez.
•Sonuç olarak; iyi bir yalıtım için    elden geldiğince büyük    ise
elden geldiğince küçük yapılmalıdır.
r
2
<
1
G

r
2
>
G 1
<
x
G
r
1
»
r  ¥
r
0
»
r
2
=
x
G 1
»
r
x