Titreşim Analizine

Problem:
Toplam 100 kg kütleli bir makina, 700 kN’luk bir yay paketi ile 
yataklanmıştır. 3000 d/d ile dönen dengelenmemiş bir 
kütleden dolayı 350 N’luk bir merkezkaç kuvvetine maruz 
kalmaktadır. Sönüm oranı 0.2 kabul edilecektir.
a-Dengelenmemişlikten dolayı oluşan genlik ne kadardır.?
b-Geçirgenlik nedir.?
c-Zemine iletilen kuvvet miktarı ne kadardır.?    

Çözüm:
(
)
( )
2
2
2
2
me
X
k m
c
w
w
w
=
-
+
Sayfa 189’ da 2 nolu denklem yardımı ile;
Merkezkaç kuvveti
kr
c
c
 
  c
2
k m
2 0.2 700000 100
3346.64 Ns/m
c
2 k  m
x
x
=
=

=
=
=
n
3000
100  rad/s
30
30
p
p
w
p
=
=
=
(
)
(
)
(
)
-5
2
2
2
350
X
3.79  10 m
0.0379  mm
700000 100  100
3346.64  100
p
p
=
=
=
-
+

n
n
3000
30
30
r
3.7549
k
700000
m
100
p
p
w
w
=
=
=
=
Hız oranı; 
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
T
2
2
2
2
2
2
0
1
2 r
1
2  0.2  3.7549 
F
G
0.137
F
1 r
2 r
1 3.7549
2  0.2  3.7549 
x
x
+
+
=
=
=
=
-
+
-
+
T
T
0
T
0
F
G
  
  F
G F   
  F
0.137  350
47.95  N
F
=

=

=
=

Linear nonhomogenous ode:
• Solution is sum of homogenous and particular 
solution
• The particular solution assumes form of 
forcing function (physically the input wins)
x
p
(t)
 X cos(

t)
To be determined
Driving frequency

Substitute into the equation of 
motion:
2
2
0
0
2
2
 :
  yields
solving
cos
cos
cos
2













n
x
n
x
f
X
t
f
t
X
t
X
p
n
p









Thus the particular solution has the form
:
)
cos(
)
(
2
2
0
t
f
t
x
n
p






Add particular and 
homogeneous solutions to get 
general solution:

x(t)

  A
1
sin

n
t
 A
2
cos

n
t
homogeneous




 
f
0

n
2


2
cos

t
particular
 




A
1
   and  A
2
 are constants of integration.

t
f
t
f
x
t
v
t
x
v
A
x
x
f
A
x
n
n
n
n
n
n
n











cos
cos
sin
)
(
)
0
(
)
0
(
2
2
0
2
2
0
0
0
0
1
0
2
2
0
2



















Apply the initial conditions to evaluate the constants
Solving for the constants and substituting into 
x
yields

2.2 Harmonic excitation of 
damped systems

 

 





shift
 
phase
a 
 
includes
now 
0
2
0
)
(
cos
)
(
cos
)
(
)
(
2
)
(
cos
)
(
)
(
)
(














t
X
t
x
t
f
t
x
t
x
t
x
t
F
t
kx
t
x
c
t
x
m
p
n
n


 

 











 

 












solution
 
state
steady 
or 
 
particular
      
solution
nt 
or transie
 
s
homogeneou
2
2
1
2
2
2
2
0
)
cos(
)
sin(
)
(
)
2
tan
cos(
)
2
(
)
(
)
(
































t
X
t
Ae
t
x
t
f
t
x
d
t
n
n
X
n
n
p
n
Substitute the values of A
s
and B
s
into x
p
:
Add homogeneous and particular to get total solution:
Note: that A and 
 will not have the same values as in Ch 1,
as t gets large, transient dies out

X

f
0
(

n
2


2
)
2
 (2

n

)
2
Xk
F
0

X

n
2
f
0

1
(1
 r
2
)
2
 (2

r)
2

 tan
1
2

r
1
 r
2






r



n
Magnitude:
Non dimensional
Form:
Phase:
Frequency ratio:

0
0.5
1
1.5
2
2
4
6
r

Random(Gelişigüzel) Titreşimler
Şu ana kadar hep düzgün salınımlı titreşimleri inceledik. Oysa 
çalışan bir elektrik motorunda veya otomobilinizi çalıştırdığınızda 
hissettiğiniz titreşimler gelişigüzel titreşimlerdir. Gerçek hayatta, eğer 
özel olarak yaratılmıyorsa, düzgün salınındı titreşimlere rastlamak 
mümkün değildir.
Gelişigüzel titreşimlerin harmonik
salınımlar gibi belirli bir frekansı ve 
genliği yoktur. Dolayısıyla bu 
titreşimlere bakarak titreşime sebep 
olan kuvvet hakkında fikir yürütmek 
imkansızdır. Halbuki bizim titreşim 
analizi ile arızalan teşhis 
edebilmemiz için, bu titreşimlerin 
frekanslarını bilmemiz gerekir. İşte 
bu işlem için Fourier Dönüşümü'nü
kullanıyoruz.

Fourier Dönüşümü
iki kütlenin yay sabitleri ve kütleleri farklıdır. Bu nedenle eğer her iki kütleyi 
de eşit miktarda çekip serbest olarak salınım yapmaya bırakırsak, her ikisi 
de farklı frekans ve genlikte titreşim yapacaktır. Bu iki farklı titreşimi 
topladığımız taktirde Şekilde gösterilen grafiği elde ederiz. Olaya 
matematik yönünden bakacak olursak frekansları ve genlikleri farklı iki 
sinüzoidal eğriyi topladığımızda, sinüzoidal olmayan üçüncü bir eğri elde 
ederiz. Eğer bu işlemi iki değil de daha fazla sinüzoidal için yapacak 
olursak elde edeceğimiz grafik Şekilde gösterilen gibi bir eğri olacaktır.
O halde eğer elimizde bu şekilde bir eğri varsa bu toplama işleminin tersini 
uygulayarak, bu düzensiz eğriyi düzgün sinüzoidaller halinde yazabiliriz. 
İşte bu İşleme Fourier Dönüşümü adı verilir.

Fourier dönüşümü vasıtası ile titreşimin sinüzoidal bileşenlerini bulabiliriz. Şekil-
11'de gelişigüzel bir titreşimin farklı frekans ve genliklere sahip sinüzoidal 
bileşenleri gösterilmiştir.