Titreşim Analizine

Titreşim Analizine
Titreşim ölçümü ve analizi, dönen ekipmanların 
mekanik durumlarını inceleme, kontrol etme ve 
makinalann arızalarını tanımlama için kullanılan 
metotlardan en etkilisidir. Titreşim analizi, 
makinalar üzerinde titreşim ölçümü yaparak 
makinanın titreşim özelliklerine ait veri toplamak 
ve daha sonra toplanan bu verileri analiz ederek 
makinaların mekanik problemlerini tespit 
etmektir.


MAKİNA DİZAYNI VE 
MÜHENDİSLİK

UÇAK MOTORU ANALİZİ

SIZINTI TESPİTİ

KALİTE KONTROL

KABUL TESTİ

KESTİRİMCİ BAKIM

Titreşim analizi ile aşağıdaki arızalar tanımlanabilir:

Balans bozukluğu

Mil eğriliği

Şase zayıflığı

Cıvata gevşekliği

Kaplin ayarsızlığı

Rulman boşluğu

Sürtünme

Rezonans

Kaymalı yatak aşınması

Rulman arızası

Rulman ömrü

Dişli arızaları

Elektriksel arızalar

Hidrodinamik titreşimler

Titreşimle İlgili Terimler
• Titreşim nedir?
Bir sistemin denge konumu civarında yapmış olduğu 
salınım hareketine 
titreşim
denir.
Eğer yapılan salınım hareketi T saniyede kendini tekrar 
ediyorsa böyle hareketlere 
peryodik hareket
denir. En 
basit peryodik hareket 
harmonik hareket
adını alır. 
x(t)=x(t+nT)
x=Yerdeğiştirme       m, rad
t=Zaman                  s
T=Peryod                 s
n=Peryod sayısı
adet

Titreşim Nedir?

Harmonik Hareket
t
x=A sin 2π
T
x=Yerdeğiştirme (m,rad)
A=Genlik (m,rad)
t=Zaman (s)
T=Peryot (s)
t
x
A
T

Daire Üzerinde Hareketli Bir 
Noktanın Harmonik Gösterimi
2
2
2 π
ω=
=2 π f
T
x=A sin ωt
x=ω A cos ωt=ω A sin(ωt-π/2)
x=-ω Asinωt=ω Asin(ωt+π)


O
P
A
A
x
2p
t

t
 
sin
A


Euler Denklemi Yardımı ile 
Döner Bir Vektörün Gösterimi
i θ
e =cosθ +i sin θ
Euler Denklemi
A
i ω t
z=A e
i ω  t
i  θ
z=A e
=A e
z=A cos ωt + i A sin ωt
z=x + iy
2
2
-1
A= x +y
y
θ=tan
x
θ
θ=ω t

Harmonik Harekette 
Yerdeğiştirme Hız ve İvme 
Vektörlerinin Gösterimi
A
Aw
2
Aw
t
x
x
x
x
t


90

180

Frekansları Aynı Vektörlerin 
Toplanması
1
1
2
2
n
n
x(t)=X cos(ωt-j )+X cos(ωt-j )+.  .  .  .  .+X cos(ωt-j )
n
i
i
i=1
x(t)=
X cos(ωt-j )
å
cos(α-β)=cos α cos β+sin α sin β
bağıntısı kullanılarak
n
i
i
i
i=1
n
n
i
i
i
i
i=1
i=1
x(t)=
X (cosωt cosj +sinωt sinj )
       =
X cosj cosωt+
X sinj sinωt
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è
ø
è
ø
å
å
å

Buradan,
n
n
i
i
i
i
i=1
i=1
A=
X cosj                B=
X sinj
å
å
yazılırsa,
x(t)=A cos ωt+B sin ωt
bulunur.
2
2
n
n
2
2
i
i
i
i
i=1
i=1
n
i
i
-1
-1 i=1
n
i
i
i=1
X= A +B =
X cosj
+
X sinj
X sinj
B
j=tan
=tan
A
X cosj
x(t)=X cos(ωt-j)
æ
ö æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
è
ø è
ø
å
å
å
å

Frekansları Birbirine Yakın 
Vektörlerin Toplanması
1
2
1
1
1
2
2
2
                           ω »ω
x(t)=X cos(ω t-j )+X cos(ω t-j )
Bu ifadeyi yeniden düzenleyelim,
[
]
[
]
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
X +X
X -X
x(t)=
cos(ω t-j )+cos(ω t-j ) +
cos(ω t-j )-cos(ω t-j )
2
2
α-β
α+β
α-β
α+β
cos α+cos β=2 cos
cos
    ve     cos α-cos β=-2 sin
sin
          
2
2
2
2
Trigonometrik bağıntılarından yararlanarak,
1
2
1 2
1
2
1
2
1 2
1
2
(ω +ω )t-(j -j )
A(t)=(X +X )cos
2
ve
(ω +ω )t-(j -j )
B(t)=-(X -X )sin
2



Tanımları altında,
1
2
1
2
1
2
1
2
ω +ω
j +j
ω +ω
j +j
x(t)=A(t) cos
t-
+B(t) sin
t-
2
2
2
2
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
ø
è
ø


Yazılabilir. Burada,
-1
1
2
j +j
B(t)
X(t)= A(t)+B(t)          ve       j(t)=
+tan
2
A(t)






[
]
2
2
1
2
1
2
1
2
1 2
-1
1
2
1
2
1
2
1 2
1
2
X(t)= X +X +2 X X cos (ω -ω )t-(j -j )
j +j
X -X
ω -ω
j -j
j(t)=
+tan
tan
t-
2
X +X
2
2
é
ù
æ
ö÷
ç
ê
ú÷
ç
÷
ç
ê
ú
è
ø
ë
û


ifadeleri kullanılarak,
1
2
ω +ω
x(t)=X(t) cos
t-j(t)
2
æ
ö÷
ç
÷
ç
÷
çè
ø


toplam ifadesi bulunur.

m
1
2
ω =ω -ω
vuru frekansı veya modülasyon frekansı
1
2
ω +ω
ω=
2
taşıyıcı frekans
m
1
2
2π
T =
ω -ω
vuru peryodu
1
2
4π
T=
ω +ω
taşıyıcı peryodu
m
1
2
1
2
T
ω +ω
n
=
T
2  (ω -ω )
@
T
m
vuru peryodunda gerçekleşecek 
titreşim sayısı
Vuru Titreşim Parametreleri

clear
t=0:0.01:30;
x1=100*exp(i*2*pi*t);
x2=50*exp(i*2.2*pi*t);
x=x1+x2;
plot(t,x)
i 2π t 
1
 i 2.2π t 
2
x (t)=100  e
x (t)=50 e
x(t)=?
t
x
X
1
+X
2
X
1
+X
2
|X
1
-X
2
|
|X
1
-X
2
|
T
m
T
)
t
(
X
~
)
t
(
x
Vuru Olayı

Titreşim Sistemlerinin 
Elemanları
• Kütle
• Yay
• Sönüm
• Kuvvet
x
x

Yay Elemanları
Helisel Yaylar

Yaprak Yaylar

Yay Karakteristikleri
F (N)
X (m)
F (N)
X (m)
Lineer (doğrusal) yay 
karakteristiği
Non-Lineer (doğrusal 
olmayan) yay karakteristiği


Yay Katsayısı
F
k=tan α=       (N/m)
x
Kuvvet
Yerdeğiştirme

Yay Katsayısı Tablosu
E I
k=
L
E A
k=
L
4
3
G d
k=
64 n R
3
3EI
k=
L
p
G I
k=
L

L/2
3
48 E I
k=
L
L/2
3
192 E I
k=
L
L/2
3
768 E I
k=
7 L

a
b
x
y
(
)
2
2
2
x
2 2
3 E I L
P b x
k=
          y =
L -x -b
a b
6  E  I  L

EI
L
3
12E I  
k=
L

(
)
2
3E I
k=
L+a  a
L
a
(
)
2
24E I
k=
a 3L+8  a
L
a

Sönüm Elemanları
• Viskoz sönüm
• Coulumb (kuru sürtünme) sönümü
• Malzeme (histeresiz) sönüm
• Sıkıştırılmış yağ (squeeze-film) damperi
• Elekro-manyetik damper
• Elektro-viskoz damper
• Piezo-elektrik damper

Kütle ve Atalet Elemanları
Bir cismin bir dönme eksenine göre 
kütlesel atalet
momentinin 
tanımı:
dönme ekseni
D
dm
r
2
D
J= r dm
ò

Problem: Orta noktasından mafsallı ve sabit kesitli bir 
çubuğun kütlesel atalet momentinin bulunması
x
A
dx
L
y
x
L/2

Çözüm:
dV=A dx
dm=ρ dV
2
D
J= r dm
ò
L
L
2
2
2
2
L
L
-
-
2
2
J= ρ A x dx=ρ  A x dx
ò
ò
L
3 2
3
L
-
2
x
1
J=ρ  A
=
ρ A L
3
12
2
1
m
 A L       
        J
m L
12
r
=

=
Elemanter hacim
Elemanter kütle
Kütlesel atalet momentinin tanımından
bulunur.
burada,

Problem: Bir diskin dönme eksenine göre kütlesel atalet 
momentinin bulunması.
r
dr


d
R
dA
L

Çözüm:
Elemanter alan
Elemanter hacim
Elemanter kütle
dA=r.sin dθ.dr
dV=L.dA=L. r. sin dθ.dr
dm=ρ.dV=ρ.L.r.sin dθ.dr         
dm=ρ.Lr.dθ.dr
bulunur.
sin  d
d          
q
q
@

2π R
2
3
4
D
0
0
1
J= r dm=
ρ.L.r .dθ.dr= ρ.L.π.R
2
ò
ò ò

2
2
1
m
.V
. .R .L       
         J
m.R
2
r
r p
=
=

=

Titreşim yapan bir kütlenin hareket özellikleri, tam olarak, 6 farklı
hareketin birleşimiyle ifade edilebilir. Bu hareketler 3 eksen yönündeki 
yerdeğiştirmeler ve 3 eksen etrafındaki dönme hareketleridir. Bu 6 
hareket tipi Şekil-2'de gösterilmiştir. Her kütlenin karmaşık hareketleri 
bu 6 hareket kullanılarak ifade edilebilir. Bu nedenle bir kütlenin 
normaldeki serbestlik derecesi 6'dır. Ancak bu hareketlerden bazıları
sistemin özellikleri dolayısıyla kısıtlanmış olabilir. Örneğin Şekil-1deki 
yayın ucuna bağlı olan kütlenin muhtemel 6 hareketinden 5 tanesi 
kısıtlanmıştır. (Kütlenin kağıt düzlemi içinde salınım yapabildiğini 
varsayıyoruz.) Bu kütle yalnızca yukarı ve aşağı hareket 
edebilmektedir. Aynı biçimde, şekildeki sarkaç da yalnızca sarkaç
kolunun bağlı bulunduğu nokta etrafinda dönme hareketi 
yapabilmektedir. Bu nedenle bu sistemlere tek serbestlik dereceli 
sistemler adı verilir. Titreşim hareketini incelerken anlaşılmasının daha 
kolay olması maksadıyla tek serbestlik dereceli bir sistemi örnek 
alacağız. Herhangi bir sistemin ayrıntılı olarak incelenmesi pratikte pek 
mümkün değildir. O nedenle sistemlerin özelliklerine uygun fiziki 
modelleri çıkarılır. Tek serbestlik dereceli bütün sistemler (lineer olmak 
şartıyla) gösterilen basit modelle incelenebilir.

Ayrık ve Sürekli Sistemler
• Sonlu  sayıda serbestlik dereceli sistemlere 
ayrık sistem
denir.
• Serbestlik derecesi sonsuz olan sistemlere 
sürekli sistem
denir.
Sürekli sistem

SERBEST CİSİM DİYAGRAMI
HAREKET DENKLEMİ
k
c
m
y
x
mg
N
x(t)
f
k
f
c
Friction-free
surface
• Newton’s Law:
0
0
)
0
(
,
)
0
(
0
)
(
)
(
)
(
)
(
v
x
x
x
t
kx
t
x
m
t
kx
t
x
m










Sönümsüz Serbest Titreşim
Düşey konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:
Statik denge konumu
x
x
t
L
0
st

k
k
k

st
k d
G
m.g
=
Serbest cisim diyagramı
Statik denge konumu:
y
ΣF =0
st
2
n
st
n
st
G=m.g=k.δ
k
g
=
=ω
m δ
k
g
ω =
=
m
δ
Burada,
n
ω
sistemin tabii frekansıdır.

Newton’un 2. kanunu uygularsak,
(
)
st
F
m.a   
   m x
-k 
x
G
d
S =

=
+ +

st
G=m.g=k.δ
olduğundan,
m x+k x=0

bulunur.
x
st
k(
x)
d +
G
m.g
=
x
m 


Yatay konumda kütle-yay sisteminin hareket denklemi:
Newton’un 2. kanunu uygularsak,
ΣF=m.a 
x
k
m
x
x
m 
x
k
m
m x
-k x    
   m x k x
0
=

+
=


bulunur.

Hareketin Diferansiyel Denkleminin 
Enerji Metodu ile Bulunması
Bu metoodun kullanılabilmesi için titreşim sisteminin;
• Sönümsüz
• Tek serbestlik dereceli olması gerekir.
k
p
E +E =C=sabit
(
)
k
p
d
E +E =0
dt

Sönümsüz Serbest Titreşim 
Hareket Denkleminin Bulunması
m x k x
0
+
=

Bu diferansiyel denklemin çözümünün
s t
x
A  e
=
biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon 
sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek, 
s t
2
s  t
x
s  A  e
x
s A  e
=
=


Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine 
konursa,

(
)
2
st
m s
 k  A e
0
+
=
Burada,
s t
A ,  e
0
¹
dır.
2
m s
k
0
+ =
Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. 
Karakteristik denklemin kökleri,
1,2
n
k
s
i 
m
w
=
-
=


dir.

Bu durumda, hareket denklemi: 
1
2
n
n
s t
s t
i t
i t
1
2
1
2
x(t)
A e
A e
A e
A e
w
w
-
=
+
=
+
A
1
ve A
2
başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.
i t
e
cos  .t i.sin .t
q
q
q
=


eşitliği kullanılırsa,
(
)
(
)
(
)
(
)
1
n
n
2
n
n
1
2
n
1
2
n
x(t)
A cos  t i 
sin t
A cos  t i 
sin t
x(t)
A
A  cos  t i  A
A  sin  t
w
w
w
w
w
w
=
-
+
+
=
+
-
-
(
)
1
1
2
B
A
A
=
+
ve
(
)
2
1
2
B
A
A
=
-
olmak üzere,

1
n
2
n
x(t)=B cos ω t+B sin ω t
olur.
Başlangıç şartları
0
0
x(0)
x
t
0   
x(0)
x
ì
=
ïï
ïï
=
 í
ïï
=
ïïî

olsun.
Bu durumda,
1
0
B =x     ,
0
2
n
x
B =
ω

bulunur.
Buradan başlangıç şartlarına bağlı hareket denklemi aşağıdaki 
şekilde bulunur.
0
0
n
n
n
x
x(t)=x cos ω t+
sin ω t
ω


İKİNCİ MERTEBEDEN 
DİFERANSİYEL DENKLEM
2
  : ( )
( ) 0
  doğa  frekans rad/s
( )
sin(
)
n
n
n
mileböl x t
x t
k
l
m
x t
A
t











PERİYODİK HAREKET
2


n
x(0)
Time sec
Displacement 
amplitude
Faz açısı
Maximum
Velocity 

Frekans
peryot
   
s
 
2
Hz
2
s
 
2
cycles
 
rad/cycle
 
2
rad/s
 
frekans
 
doğoğ
  
rad/s
: 
n
n
n
n
n
n
T
f













Frekans genellikle Hz olarak ifade edilir
Fakat trigonemetrik fonksiyonlarda
rad/s olarak kullanılır.

Genlik ve Faz

x
0
 Asin(

n
0


)
 Asin

v
0


n
A cos(

n
0


)


n
Acos

Solving yields
A

1

n

n
2
x
0
2
 v
0
2
 
Amplitude






,  

 tan
1

n
x
0
v
0






Phase






Titreşim genliği üç farklı biçimde ifade edilir.
peak to peak (P-P)(İki tepe arasındaki uzaklık): Kütlenin titreşim esnasında 
ulaştığı iki uç nokta arasındaki uzaklıktır. Değeri 2a'dır.
Zero to peak (0-P): Denge konumu ile tepe noktası arasındaki uzaklıktır. 
Değeri a'dır.
RMS (Root mean square)(Kareler toplamının karekökü): Titreşimin efektif
değeridir. Elinizi titreşim yapan makina üzerine koyduğunuzda 
hissettiğiniz titreşim seviyesidir. Basit harmonik harekette 0-P değerinin 
0.7071 katıdır. RMS değeri daha sonra tekrar ele alınacaktır.
Ancak bu değer yalnızca belli bir 
frekanstaki düzgün harmonik bir titreşim 
için geçerlidir. Yani 1500 CPM 
frekansında ve 0-P genliği 0.1 μm olan 
sinüzoidal bir titreşimin RMS değeri 
0.07071 μm 'dir. Ancak frekans 
düzleminde (spektrum grafiği) birçok 
farklı frekansta titreşimler mevcuttur. Bu 
durumda ise RMS değeri aşağıdaki 
formül kullanılarak bulunur.

• Tepeden tepeye mesafe titreşimin genliğinin alacağı
büyük ve en , küçük değerleri gösterdiğinden özellikle 
titreşim yerdeğiştirmesinin önemli olduğu veya en büyük 
gerilmelerin dikkate alınması gerektiği yada mekanik 
boşlukların önem taşıdığı yerlerde kullanışlıdır. Tepe 
değeri özellikle kısa zaman aralığında olan şok 
titreşimleri göstermesi açısından önemlidir.
• Ortalama değer zaman içindeki değişimi de göz önüne 
almakla beraber  uygulamadan  fiziki  bir değere  
doğrudan doğruya bağlantırılmadığından fazlaca   bir   
önem   taşımaz.   RMS   değeri   ise   titreşim 
ölçümlerinde en uygun değeridir. Bunum sebebi 
titreşimin zamana bağlı olarak değişmesini de dikkate 
almakla beraber, titreşimin ihtiva ettiği enerji miktarı, yani 
titreşimin tahrip gücüyle doğrudan bağlantırılabilir.