Titreşim Analizine

Problem: Aşağıda denge konumunda verilen sistemin 
diferansiyel denklemini çıkarıp tabii frekansını hesaplayınız
k
M
x
m,r

Çözüm:
j
x
k
M
x
m
J j
x
M 


Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
Top
M
J j
S =

m
J
M x.r
-k x.r
j +
=


x
r.sin  
r 
x
r 
x
r 
j
j
j
j
=
=
=
=




0   
   sin 
    cos 
1
j
j
j
j
<<

@
@
yazılabilir.
2
m
1
J
m  r
2
=

düzenleme yapılırsa,
2
1
m r  
M x.r
-k x.r
2
j
æ
ö÷
ç
+
=
÷
ç
÷
çè
ø


2
2
2
1
m r
M r  
k r
0
2
1
m M   k 
0
2
j
j
j
j
æ
ö÷
ç
+
+
=
÷
ç
÷
çè
ø
æ
ö÷
ç
+
+
=
÷
ç
÷
çè
ø


n
k
k
2  k
1
m
m 2  M
m M
2
w =
=
=
+
+
rad/s

Average & RMS
value
 
square
 
mean
 
root
 
=
 
value
 
square
-
mean
 
=
 
 
value
 
average
 
=
 
value
 
peak
 
2
0
2
2
0
1
1
x
x
dt
t
x
T
x
dt
t
x
T
x
A
rms
T
T
T
T










)
(
lim
)
(
lim

The Decibel or dB scale
It is often useful to use a logarithmic scale to plot vibration 
levels (or noise levels). One such scale is called the 
decibel
or 
dB scale. The dB scale is always relative to some reference 
value 
x
0
. It is define as:














0
10
2
0
10
20
10
x
x
x
x
dB
log
log
For example: if an acceleration value was 19.6m/s
2 
then relative 
to 1
g 
(or 9.8m/s
2
) the level would be 6dB,
 
dB
6
2
20
8
9
6
19
10
10
2
10








log
.
.
log

x(t)
 Asin(

n
t


)
x(t)
 A
1
sin

n
t
 A
2
cos

n
t
x(t)
 a
1
e
j

nt
 a
2
e
 j

nt
Diğer Çözüm Formları

TEPE DEĞERLERİ
m ax
m ax
2
m ax
m ax   veya  tep e  d eğ eri :
d ep lasm an :   
h ız: 
ivm e:   
n
n
x
A
x
A
x
A




 



0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
0
1
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-20
0
20
v
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-200
0
200
Time (sec)
a
A=1, 

n
=12

Problem:Aşağıdaki titreşim sisteminin üzerine m kütlesi h 
yüksekliğinden düşüp yapışıyor. M kütlesinin hareket 
denklemini yazınız.
h
m
M
k
x

Çözüm:
h
m
M
k
x
m
k
M
x
V
2gh
=
0
mg
x
k
=
0
0
m 2gh
x
V
M m
=
=
+

(
)
M m   x
+

kx

m kütlesi ile M’nin çarpıştığı andaki momentumunu yazalım. 
(
)
0
0
0
0
m 2gh
m  V
(M m)  V  
  m  2gh
M m   V  
  V
x
M m
=
+

=
+

=
=
+

m kütlesinden dolayı k yayı bir miktar sıkışır.
st
0
mg
x
k
d =
= -
Newton’un 2. kanunu uygulanırsa,
(
)
(
)
F
m a   
   M
m  x
-k x   
   M
m  x
k x
0
å =

+
=

+
+
=



0
0
n
n
n
x
x(t)
x cos  t
sin  t
w
w
w
=
+

Sistemin tabii frekansı.
n
k
k
m
M m
w =
=
+
Sönümsüz serbest titreşim hareketinin başlangıç şartlarına bağlı
hareket denklemi aşağıdaki gibiydi:
değerler yerine konulura;
( )
(
)
mg
k
2gh
k
x t
cos
  t
m
sin
  t
k
M m
k M m
M m
æ
ö
æ
ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
= -
+
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
÷
÷
ç
ç
+
+
+
è
ø
è
ø

Lineerleştirme
•
Yapısal nonlineerlik (Malzeme nonlineerliği)
•
Geometrik nonlineerlik
- Ağırlık kuvveti
- Merkezkaç kuvveti
- Sürtünme kuvveti

Tek serbestlik dereceli bir sistemin diferansiyel denklemi 
aşağıdaki gibidir.
( )
m x f x
0
+
=

Burada          yay fonksiyonudur.
( )
f x
lineer olmayan bir formda ortaya çıkmış olsun.
( )
f x
Koordinat başlangıcını,           denge konumunda seçelim, 
x
0
=
olsun bu durumda           fonksiyonunu   
civarında kuvvet serisine açalım.
yani;
( )
f 0
0
=
( )
f x
x
0
=
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
3
k
2
3
k
2
3
k
k 0
df 0
d f 0
d f 0
d f 0
1
1
1
f x
f 0
x
x
x
x
dx
2  ! dx
3  ! dx
k  ! dx
¥
=
=
+
+
+
+
=
å


Elde edilen lineerleştirilmiş
yay fonksiyonu dif. denklemde
yerine konulursa,                        lineerleştirilmiş dif. denklem elde 
edilir.
( )
f x
k  x
@
m x k x
0
+
=

1
( )
df 0
k
dx
=
0
f(x)
x
2
3
x
   
   x ,  x
<<


ihmal edilirse;
( )
( )
df 0
f x
x
dx
@
olur.
( )
df 0
k
dx
=
eşitliğinden.
( )
f x
k  x
@
bulunur.

Yay-kütle-damper Sistemleri
k
c
m
y
x
mg
N
x(t)
f
k
f
c
Friction-free
surface
• Newton’s 
kanunundan:
0
0
)
0
(
  
,
)
0
(
     
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
        
)
(
v
x
x
x
t
kx
t
x
c
t
x
m
t
kx
t
x
c
f
f
t
x
m
k
c

















Sönümlü Serbest Titreşim Hareket 
Denkleminin Bulunması
Bu diferansiyel denklemin çözümünün
s t
x
A  e
=
biçiminde olduğunu biliyoruz. Burada, A ve s integrasyon 
sabitleridir. Çözüm kabulünü türetirsek, 
s t
2
s  t
x
s  A  e
x
s A  e
=
=


Bulunur. Bunlar yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine 
konurda,
m x c x k x
0
+
+
=



(
)
2
st
m s
c s 
 k  A e
0
+
+
=
Burada,
s t
A ,  e
0
¹
dır.
2
m s
c s k
0
+
+ =
Bulunur, bu denkleme karakteristik denklem denir. 
Karakteristik denklemin kökleri,
dir.
2
2
1,2
c
c
4mk
c
c
k
s
2m
2m
2m
m
æ
ö
- 
-
÷
ç
=
= -

-
÷
ç
÷
çè
ø

Sistemin birbirinden bağımsız iki gerçek kökü vardır. Bu durumda, 
hareket denklemi: 
1
2
s t
s t
1
2
x(t)
A e
A e
=
+
A
1
ve A
2
başlangıç şartlarından bulunacak katsayılardır.

Kritik Sönüm Katsayısı ve 
Sönüm Oranı
Kritik sönüm katsayısı c
kr
aşağıdaki gibi tanımlanır.
2
kr
c
k
0
2m
m
æ
ö÷
ç
-
=
÷
ç
÷
çè
ø
kr
n
k
c
2m
2 k  m
2m
m
w
=
=
=
Sönüm oranı ise,
kr
c
c
x =
olarak tanımlanır.

Eğer karakteristik denklem,
2
m s
c s k
0
+
+ =
n
         
x
w
ve         cinsinden yazılırsa,


2
n
n
2
2
2
n
n
2  
c
k
s
s
0     
    s
2
s
0
m
m
x w
w
xw
w
+
+
=

+
+
=
denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur.
( )
(
)
(
)
2
2
n
n
1   t
1   t
1
2
x t
A   e
A   e
x
x
w
x
x
w
- +
-
- -
-
=
+

1.Durum: Zayıf Sönümlü Sistem
Kritik altı sönümlü sistemlerde            negatif olur. Bu durumda,
(
)
2
1
x -
(
)
(
)
2
1
n
2
2
n
s
i 1
 
s
i 1
 
x
x
w
x
x
w
= - +
-
= - -
-
olur. Sistemin bir çift eşlenik kompleks kökü olduğundan,
m
k
2m
c
    
,
c
c
    
, 
1
kr




( )
(
)
(
)
( )
(
)
2
2
n
n
2
2
n
n
n
i 1
  t
i 1
  t
1
2
i 1
t
i 1
t
 
t
1
2
x t
A e
A e
x t
e
A e
A e
x
x
w
x
x
w
x w
x w
x w
- +
-
- -
-
-
-
-
-
=
+
=
+

( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
n
n
1
2
n
n
  t
2
2
1
n
n
2
2
2
n
n
  t
2
2
1
2
n
1
2
n
B
B
-   t
2
n
-   t
x t
e
A cos 1
t i  sin 1-
t
                     A cos 1
t i sin 1-
t
x t
e
A
A   cos 1-
t i  A
A   sin 1-  
t
x t
X  e
sin 1
t
x t
X  e
cos 1
x w
x w
x w
x w
x w
x w
x w
x w
x w
x w
x w
f
-
-
é
=
-
+
+
êë
ù
-
-
úû
é
ù
ê
ú
=
+
+
-
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ë
û
=
-
+
=
-



(
)
2
n
t
x w
f
-

2
2
1
2
1
2
1
X
B
B
B
tan
B
f
-
üï
=
+
ïïï
ýï
=
ïï
ïþ
olarak yazılabilir.
Başlangıç şartları,
0
t 0
0
t 0
x
x
x
x
=
=
ì
=
ïïï
íï
=
ïïî

ise,
1
0
0
n
0
2
2
n
B
x
x
 
x
B
1
x w
w
x
=
+
=
-

olarak bulunur. Bu durumda,
( )
x t

( )
( )
( )
n
  t
0
n
0
0
d
d
2
n
x
 
x
x t
e
x cos
t
sin
t
1
x w
x w
w
w
w
x
-
ì
ü
ï
ï
+
ï
ï
ï
ï
=
+
í
ý
ï
ï
-
ï
ï
ï
ï
î
þ

olarak bulunur.
( )
(
)
(
)
n
  t
2
2
0
n 0
0
n
n
2
n
x
 
x
x t
e
x cos 1
t
sin 1
t
1
x w
x w
x w
x w
w
x
-
ì
ü
ï
ï
+
ï
ï
ï
ï
=
-
+
-
í
ý
ï
ï
-
ï
ï
ï
ï
î
þ

2
d
n
1
w
x w
=
-
dir.

( )
x t
t
X
d
d
2
T
p
w
=
n
t
X e
x w
-
n
t
X e
x w
-
-
(
)
d
sin
t
w
f
+
f
0
x
1
0
tan x
a
-
=


2.Durum: Kritik Sönümlü Sistem
m
k
2m
c
    
,
c
c
    
, 
1
kr




Katlı kök olduğundan,
kr
1
2
n
c
s
s
2m
w
=
= -
= -
m x c x k x
0
+
+
=


denklemin çözümü:
( ) (
)
n
-
t
1
2
x t
A
A t   e
w
=
+
formunda olacaktır.
Başlangıç şartları,
0
t 0
0
t 0
x
x
x
x
=
=
ì
=
ïïï
íï
=
ïïî

ise,
1
0
2
0
n
0
A
x
A
x
x
w
=
=
+

olarak bulunur ve çözüm:

( )
(
)
n
-
t
0
0
n
0
x t
x
x
x
  e
w
w
é
ù
=
+
+
ë
û

bulunur. Dikkat edilirse,                        
n
-
t
t
 
 
 
 
e
0
w
 ¥ 

t
( )
x t
0
x
0
>

0
x
0
=

0
x
0
<


3.Durum: Aşırı Sönümlü Sistem
kr
c
k
1 ,    c c ,     
2m
m
x >
>
>
m x c x k x
0
+
+
=


Diferansiyel denkleminin karakteristik denklemi,
2
m s
cs k
0
+ + =
‘in kökleri:
(
)
2
1,2
n
s
1  
x
x
w
= - 
-
dir.
eğer,                                                olur.        
2
1   
   
1 0
x
x
>

- >
Bu durumda, kökler reel ve ayrık olacaktır. Denklemin çözümü:
( )
(
)
(
)
2
2
n
n
1   t
1   t
1
2
x t
A   e
A   e
x
x
w
x
x
w
- +
-
- -
-
=
+

Başlangıç şartları,
0
t 0
0
t 0
x
x
x
x
=
=
ì
=
ïïï
íï
=
ïïî

ise,
(
)
(
)
2
0
n
0
1
2
n
2
0
n
0
2
2
n
x
1
x
A
2
1
x
1
x
A
2
1
w x
x
w x
w x
x
w x
+
- +
=
-
-
-
- -
=
-



(
)
2
n
1   t
1
A   e
x
x
w
- +
-
(
)
2
n
1   t
2
A   e
x
x
w
- -
-
( )
x t
t
1
A
2
A

Logaritmik Azalma
( )
x t ¥
t
1
x
2
x

Logaritmik azalma
, sönümlü serbest titreşimlerde genliklerin 
azalma hızını ifade eder ve herhangi ardışık iki genlik oranının 
tabii logaritması şeklinde tanımlanır.  
( )
(
)
n
-   t
d
1   
   x t
X e
cos
t
x w
x
w
f
<

=
-
idi, tanım gereği;
(
)
(
)
(
)
(
)
n 1
n 1
n 2
n 2
-   t
-   t
d 1
d 1
1
-   t
-   t
2
d 2
d 2
X  e
cos
t
 
e
cos
t
x
x
X  e
cos
t
 
e
cos
t
x w
x w
x w
x w
w
f
w
f
w
f
w
f
-
-
=
=
-
-
2
1
d
d
d
2 
t
t
T         T
p
w
= +
=
dir.
(
)
(
)
(
)
d 2
d
1
d 1
d 1
d
2 
cos
t
cos
t
cos
t
2
cos
t
p
w
f
w
f
w
p f
w
f
w
-
=
+
-
=
+
-
=
-
é æ
ö
ù
÷
ç
ê
ú
÷
ç
÷÷
ç
ê
ú
è
ø
ë
û

1
n d
2
2
2
2
d
x
2   
c 
ln
  T
  
  
x
m 
1-
4
p x
p
d
d
x w
x
w
x
p
d
æ ö÷
ç ÷
=
=
=
=

=
ç ÷
ç ÷
çè ø
+
(
)
n 1
n 1
n d
n d
n 1
n 1
d
-   t
-   t
T
1
  T
-   t
-   t
T
2
x
 
e
e
e
x
e
 
e
 
e
 
x w
x w
x w
x w
x w
x w
-
+
=
=
=
Şeklinde elde edilir. 
Logaritmik azalma
ile gösterilirse;
d
Eğer             ise,                  alınabilir. Bu durumda                 dir.
1
x <<
2 
d
px
»
2 
d
x
p
=

Eğer, ardışık iki genlik yerine, tam periyot katlarında iki genlik 
verilmiş ise:  
1
n 1
x          x
+
ve            gibi,
  

(
)
 
T
 
T
 
T
T
n d
n d
n d
n d
n d
n d
3
1
1
2
n
n 1
2
3
4
n 1
e
e
e
e
n
 
T
n    
T
1
n 1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
x
x w
x w
x w
x w
x w
x w
+
+
+
=
=
=

her iki tarafın logaritması alınacak olursa, 
(
)
d d
n     T
1
1
1
n d
n 1
n 1
n 1
x
x
x
1
ln
ln e
  
ln
n 
 T   
  ln
x
x
n
x
x w
d
x w
d
+
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
=

=

=
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
ø
è
ø
è
ø


Logaritmik azalmanın sönüm oranı ile 
değişimi
kr
c
c
x =
Sönüm oranı
Logaritmik azalma
d

Çözüm: Verilenler; m, c, k, x
0
, v
0
bulunacak x(t)
(boyutsuz)
 
oranı
 
sönüm
 
2
=
   
    
          
0
)
(
)
(
2
)
(
  
denklemini
Hareket 
2





km
c
m
k
t
x
t
x
t
x
bölersek
ile
m
n
n
n








2
2
2
1, 2
    ( )
  o larak   k ab u l  ed er  &   h arek et  d en k lem in d e 
yerin e  k o yarsak
        
2
0
:
         
1
q u ad ratik   d en k lem in   k ö k leri.
d isk rim in an t 
t
t
t
t
n
n
n
n
x t
a e
a
e
a
e
a e
b a ğ lı b irceb rikd en klem eld e ed ilir





  



 






 


2
1,  
kö klerin in ka ra kteristiğ in i b elirler











1
0
0
1




Üç Durum: 
0
0
2
0
1
2
1
  
,
  
:
conditions
 
initial
 
 the
Using
)
(
       
2
2
1
=
damped
 
critically
 
called
repeated
&
equal
are
roots
1
 )
1
x
v
a
x
a
te
a
e
a
t
x
m
km
c
c
n
t
t
n
cr
n
n




















1
2
)
1
(
      
1
2
)
1
(
 
where
)
(
)
(
1
   
:
roots
 
real
distinct 
 
 two
-
g
overdampin
 
called
 ,
1
 )
2
2
0
2
0
2
2
0
2
0
1
1
2
1
1
2
2
,
1
2
2











































n
n
n
n
t
t
t
n
n
x
v
a
x
v
a
e
a
e
a
e
t
x
n
n
n

1
     
re
       whe
          
          
1
        
:
as
 
form
complex 
 
in
 
roots
 
write
pairs
 
conjugate
 
as
 
roots
complex 
 
Two
common
most 
-
motion
 
d
underdampe
 
called
 ,
1
  
)
3
2
2
,
1







j
j
n
n






Underdamped 0 < 
 < 1

























0
0
0
1
2
0
2
0
0
2
1
2
1
1
tan
)
(
)
(
1
frequency
 
natural
 
damped
 ,
1
)]
cos(
)
sin(
[
=
)
sin(
      
)
(
)
(
2
2
x
v
x
x
x
v
A
t
B
t
A
e
t
Ae
e
a
e
a
e
t
x
n
d
d
n
d
n
d
d
d
t
d
t
t
j
t
j
t
n
n
n
n
n




















Reduces to undamped formulas
for 
 = 0
 Ae


n
t
sin(

d
t


)