To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Egri chiziq yoyining uzunligi

Agar y  f1(x), y  f2 (x) egri chiziqlar va x  a , x  b ordinatalar bilan chegaralangan yuza f1(x)  f2 (x) shart bajarilganda

b b b
Q   f1(x)dx   f2 (x)dx  [ f1(x)  f2 (x)]dx (2)
a a a
bo’ladi.
Misol. Ellips bilan chegaralangan soha yuzini toping.
x  a cost, y  bsint
Yechish. Ellipsning yuqori yarmi yuzasini topamiz va a dan demak, t  dan 0 gacha o’zgaradi:
a gacha o’zgaradi,
0
2 4
 1  cos 2t  t sin 2t 
dt  2ab  2 
  ab
0 0 
Q  2(bsin t)(a sin tdt)  2absin2 t dt  2absin2 t dt 
  0
 2ab
0
2. Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi
Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq
  f ( )
tenglama bilan berilgan bo’lsin, bu yerda f ( ) -      da uzluksiz funksiya.
  f ( ) egri chiziq hamda   ,  
radius-vektolar bilan chegaralangan OAB sektorning yuzini topamiz.
Berilgan yuzani 0  ,  1,...,n   radius-vektorlar yordamida n qismlarga ajratamiz. O’tkazilgan radius-vektorlar orasida burchaklari 1,2 ,...,n bilan belgilaymiz.
i1 va i
orasida joylashgan qandaydir i burchakka mos kelgan radius-vektorning uzunligini i bilan belgilaymiz.
i i
2
1
2
i i i
Radiusi  va markaziy burchagi  bo’lgan doiraviy sektorni qaraymiz. Uning yuzasi 
Q    ga teng. Ushbu
2
2
1
2
1
2
n
n
n
i i
i i
i1 i1
Q 
  
[ f ( )] 


esa “zinasimon” sektorning yuzini beradi.
Bu yig’indi      kesmada  2 [ f ( )]2 funksiya uchun integral yig’indi bo’lganligi uchun uning max  0 bo’lgandagi
i i
limiti

1  
2
d
2 
aniq integral bo’ladi. U biz i burchakning ichida qaysi i radius-vektorni olishimizga bo’gliq emas.
Shunday qilib, OAB sektorning yuzi
1 
2 
Q    2d
(1)
yoki
1 
2 
Q  [ f (i )] d
2
(1’)
formula bilan topiladi.