To’g’ri burchak koordinatalar sistemasida yuzalarni hisoblash Qutb koordinatalarda egri chiziqli sektorning yuzi Egri chiziq yoyining uzunligi
Download 0.7 Mb.
|
Aniq integralning tatbiqlari
- Bu sahifa navigatsiya:
- Misol 4. a (1 cos ) koordinataning uzunligini toping.
- Foydalanildi
Misol. acos 20 lemniskata bilan chegaralangan yuzani toping. 4 Yechish. Agar burchak 0 dan gacha o’zgarsa radius-vektor izlanayotgan yuzaning chorak qismiga teng: 2 4 2 0 0 0 1 1 4 1 2 2 2 4 2 a sin 20 a 4 Q d a cos 20d 4 2 2 Demak, Q a2 . 1.To’g’ri burchakli koordinatalarda egri chiziq yoyining uzunligi. koordinatalarda egri chiziq y f (x) tenglama bilan berilgan bo’lsin.3. Egri chiziq yoyini uzunligi Tekislikda to’g’ri burchakli Bu egri chiziqning x a va x b vertical to’g’ri chiziqlar orasida joylashgan AB yoyining uzunligini topamiz. AB yoydan A, M1, M2 ,..., Mi ,..., B nuqtalarni x0 a, x1, x2 ,..., xi ,...,b xn bo’lsin. AM1, M1M2 ,..., Mn1B bu nuqtalarning olamiz, absissalari vatarlarni o’tkazamiz va bu vatarlarning uzunliklarini mos ravishda s1,s2 ,...,sn bilan belgilaymiz. Bu holda AB yoyga ichki chizilgan n AM1M2...Mn1B siniq chiziqqa ega bo’lamiz. Siniq chiziqning uzunligi sn si ga teng. i1 s lim siAB yoyning s uzunligi deb n max si 0 i1 (1) limitga aytiladi. Yuqoridagi kabi mulohazalarni takrorlab topamiz: b s 1 [ f '(x)]2 dx a yoki dy ]2 dx dx b s 1 [ a (2) Misol 1. x2 y2 r2 aylana uzunligini toping. Yechish. Avval aylana chorak qismining uzunligini topamiz. Bu holda AB quyidagicha: r2 x dx r2 y x2 , bu yerdan dy
Demak, x2 0 r2 0 1 4 1 dx
x r 2 |r r r r 0 r r2 dx r arcsin
s Butun aylananing uzunligi s 2 r ga teng. x (t), y (t) ( t )Endi egri chiziq parametric ko’rinishida berilganda yoy uzunlikligini topamiz, bu yerda (t) va (t) - hosilalari bilan uzluksiz bo’lgan uzluksiz funksiyalar, bunda '(t) berilgan uchastkada nolga teng emas. Bu holda yoy uzunligi s [ '(t)]2 [ '(t)]2 dt (5) formula bilan topiladi. Misol 2. x a cos3 t, y asin3 t giposikloidning uzunliklarini toping. Yechish. Egri chiziq ikkala koordinata o’qlariga nisbatan simmetrik bo’lganligi uchun avval birinchi chorakda qismining uzunligini topib olamiz: dt dx 3a cos2 t sin t, dy 3asin2 t cost dt t parametr 0 dan gacha o’zgaradi. 2 Demak, 2 2 2 4 2 2 4 2 0 0 1 s 9a cos t sin t 9a sin t cos tdt 3a sin2 t cos2 tdt 4 2 0 sin2 t 3a 2 2 3a sin t costdt 3a 0 |2 s 6a x (t), y (t), z (t) (6) parametrik ko’rinishida berilgan fazoviy egrichiziqning t bo’lgandagi uzunligi s [ '(t)]2 [ '(t)]2 [ '(t)]2 dt (7) Misol 4. a(1 cos ) koordinataning uzunligini toping.Yechish. qutb burchagi 0 dan gacha o’zgarganda chiziqning yarmini olamiz. Bu yerda ' asin Demak, 0 2 0 0 2 2 2cosd 4a cos 0 d 8a sin | 8a s 2 a2 (1 cos2 ) a2 sin2 d 2a 4.Aniq integrallarni taqribiy hisoblash Ma’lumki, [a,b] intervalda uzluksiz bo’lgan har qanday y f (x) funksiya shu intervalda boshlang’ichga ega, ya’ni F '(x) f (x) tenglikni qanoatlantiradigan F (x) funksiya mavjuda. Ammo har qanday boshlang’ich funksiya, hattoki u mavjud bo’lgan holda ham, elementar funksiyalar orqali chekli ko’rinishda ifodalanmaydi. Bunday hollarda aniq integrallarni Nyuton-Leybnits formulasi yordamida hisoblash ancha mushkul ish va aniq integralni hisoblashning turli taqribiy usullar qo’llaniladi. Hozir biz taqribiy integralning bir necha usullarini keltiramiz. I.To’g’ri to’rtburchaklar formulasi [a,b] kesmada uzluksiz y f (x) funksiya berilgan bo’lsin. Ushbu b f (x)dx a aniq integralni hisoblash talab etiladi. [a,b] kesmani a x0 , x1, x2 ,..., xn b nuqtalar yordamida uzlukligi x bo’lgan n ta teng qismlarga bo’lamiz: x b a n bilan f (x) funksiyaning x0 , x1, x2 ,..., xn nuqtalardagi qiymatlarini belgilaymiz: y0 f (x0 ), y1 f (x1),..., yn f (xn ) y0 , y1, y2 ,..., yn1, yn Endi y0x y1x ... yn1x y1x y2x ... ynx yig’indilarni tuzamiz. Bu yig’indilardan har biri f (x) funksiya uchun [a,b] kesmada integral yig’indi bo’ladi va shuning uchun b f (x)dx a n b a y0 y1 y2 ... yn1 (1) b f (x)dx a n b a y1 y2 ... yn (1’) Mana shu to’g’ri to’rtburchaklar formulasidir. Rasmdan ko’rinib turibdiki, agar f (x) - musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula ichlaridan to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinasimon figuraning yuzasini ifodalaydi. (1’) formula esa tashqariga chiqib turgan zinasimon figurani yuzasini ifodalaydi. n soni qanchalik kata bo’lsa, (ya’ni x b a bo’lishi qadami qanchalik kichik bo’lsa) integralni to’g’ri to’rtburchaklar n formulasi yordamida hisoblashdagi hatolik shunchalik kam bo’ladi. II.Trapetsiyalar formulasi. Agar berilgan y f (x) egri chiziq o’rniga zinasimon funksiyani emas, balki ichki chizilgan aniq chiziqni olsak (2-rasm) biz aniq integralning yanayam aniqroq qiymatini olamiz. Bu holda aABb egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi o’rniga yuqoridan AA1, A1 A2 ,..., An1B vatarlar bilan chegralangan to’g’ri chiziqli trapetsiyalar yuzalarining yig’indisini olamiz. Bu trapetsiyalardan birinchisining yuzasi y0 y1 x 2 ga 2 ikkinchisiniki y1 y2 x g ava v.h.zga teng bo’lganligi uchun 2 2 2 b a y y y y y y f (x)dx 0 1 x 1 2 x ... n1 n x yoki b f (x)dx n 2 a b a y y 0 1 y1 y2 ... yn1 (2) Bu trapetsiyalar formulasidir. (2) formulaning o’ng tomonida turgan son (1) va (1’) formulalarning o’ng tomonlarida turgan sonlarning o’rta arifmetigidir. n soni ixtiyoriy tanlanadi. Bu son qanchalik kata bo’lsa, demakki, x b a qadam shunchalik kichik bo’ladi, n (2) taqribiy tenglikning o’ng tomonida turgan yig’indi integralning qiymatini shunchalik aniq beradi. III.Parabolalar formulasi (Simpson formulasi). [a,b] kesmani juft sondagi n 2m teng bo’laklarga bo’lamiz. Dastlabki ikkita [x0 , x1] va [x1, x2 ] kesmalarga mos kelgan va berilgan y f (x) egri chiziq bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini M (x0 , y0 ), M1(x1, y1), M2 (x2 , y2 ) uchta nuqtalarbilan chegaralangan va Oy o’qqa parallel o’qqa ega bo’lgan egri chiziqli trapetsiya yuzasi bilan almshtiramiz. Bunday egri chiziqli trapetsiya parabolic trapetsiya deyiladi. O’qi Oy o’qqa parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi y Ax2 Bx C ko’rinishida bo’ladi. A, B,C koeffitsientlar parabolaning berilgan uchta nuqtalardan o’tish shartidan topiladi. quramiz. Parabolic Kesmalarning boshqa juftlari uchun ham shunga o’xshagan parabolalarni trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi. Avvalo bitta parabolik trapetsiyaning yuzasini hisoblaymiz. Foydalanildi:G O O G L E . C O M W I K I P E D I A K I T O B L A R A.G`oziyev,I. Isroilov,M. Yaxshiboyev Matematik analiz v a misol masalala r to`plami E`tiboringiz uchun rahmat! Download 0.7 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling
ma'muriyatiga murojaat qiling